Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 8 - Lê Ánh Tuyết

 Chuyờn đề 1
 TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYấN
I. Mục tiờu
Sau khi học xong chuyờn đề học sinh cú khả năng:
1.Biết vận dụng tớnh chất chia hết của số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư và tìm điều kiện chia hết.
2. Hiểu cỏc bước phõn tớch bài toỏn, tỡm hướng chứng minh
3. Cú kĩ năng vận dụng cỏc kiến thức được trang bị để giải toỏn.
II. Cỏc tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nõng cao và một số chuyờn đề toỏn 8
- Toỏn nõng cao và cỏc chuyờn đề đại số 8
- Bồi dưỡng toỏn 8
- Nõng cao và phỏt triển toỏn 
- 
III. Nội dung
Tiết :1 Chứng minh quan hệ chia hết 
1. Kiến thức cần nhớ
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (nN hoặc n Z)
a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó có một thừa số là m 
+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó 
+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k 
b/. Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia m cho n 
* Ví dụ1: 
C/minh rằng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n 
Giải:
Ta có 5040 = 24. 32.5.7 
A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n. [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6]
 = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) 
Ta lại có n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) 
=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) 
Tương tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d
Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) 
Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp: 
Tồn tại một bội số của 5 (nên A 5 ) 
Tồn tại một bội của 7 (nên A 7 ) 
Tồn tại hai bội của 3 (nên A 9 )
Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A 16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau A 5.7.9.16= 5040
Ví dụ 2: Chưng minh rằng với mọi số nguyên a thì : 
a/ a3 –a chia hết cho 3 
b/ a5-a chia hết cho 5 
Giải:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3 
b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) 
Cách 1:
Ta xết mọi trường hợp về số dư khi chia a cho 5
Nếu a= 5 k (kZ) thì A 5 (1)
Nếu a= 5k 1 thì a2-1 = (5k21) 2 -1 = 25k2 10k5 A 5 (2)
Nếu a= 5k 2 thì a2+1 = (5k2)2 + 1 = 25 k220k +5 A 5 (3) 
Từ (1),(2),(3) A 5, n Z
Cách 2: 
Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 :
+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp
+ Một số hạng chứa thừa số 5 
Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) 
 = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) 
Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp )
 5a (a2-1) 5 
Do đó a5-a 5
* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a và tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
Ta có: 
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) 
= a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5
 a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 
Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 a5-a 5(Tính chất chia hết của một hiệu)
c/ Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta còn sử dụng các hằng đẳng thức:
an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ +abn-2+ bn-1) (HĐT 8)
an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - - abn-2+ bn-1) (HĐT 9)
Sử dụng tam giác Paxcan:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
..
Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.
Do đó: Với a, b Z, n N: 
an – bn chia hết cho a – b( ab)
a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a-b)
(a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số của a)
(a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n = Bsa +1
(a-1)2n+1 = Bsa -1
* VD3: CMR với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn.
Giải:
+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, kN thì:
A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hết cho 162 – 1( theo nhị thức Niu Tơn)
Mà 162 – 1 = 255 17. Vậy A17
- Nếu n lẻ thì : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mà n lẻ thì 16n + 116+1=17 (HĐT 9) 
A không chia hết cho 17
+Cách 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo công thức Niu Tơn)
Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17
Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17 
Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn, n N
d/ Ngoài ra còn dùng phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết.
VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004.2004
Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004
 a2 = 2004 2004
 a3 = 2004 2004 2004
 .
 a2004 = 2004 20042004
 2004 nhóm 2004
Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003.
Gọi hai số đó là am và an ( 1 n <m 2004) thì am - an 2003
Ta có: am - an = 2004 20042004 00000
 m-n nhóm 2004 4n
 hay am - an = 2004 20042004 . 104n
 m-n nhóm 2004
 mà am - an 2003 và (104n , 2003) =1
nên 2004 20042004 2003
 m-n nhóm 2004
Tiết:2 2. Tìm số dư 
* VD1:Tìm số dư khi chia 2100 
a/ cho 9 b/ cho 25
Giải:
a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1
Ta có : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn)
= BS9 – 2 = BS9 + 7
Vậy 2100 chia cho 9 dư 7
b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1
Ta có: 
2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn)
Vậy 2100 chia cho 25 dư 1
* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân
Giải:
Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 2 và 54 = 625
Ta thấy số tận cùng bằng 0625 khi nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625
Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. (0625)= 5625
Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994 ch 10000 = 24.54
 Ta thấy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hết cho 54 – 1 (52 + 1) (52 - 1) 16
Ta có 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mà 56 54 và 51988 – 1 = (54)497 – 1 chia hết cho 16
 ( 51994)3. 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625
51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 dư 15625
Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625
Tiết 3 . Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:
A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n
Giải: 
n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n
n3 – n2 n + 3
 3n2 - 3n + 2 
 3n2 – 3n
 2
Ta có: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) +
Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B n2 – n Ư(2) 
 2 chia hết cho n(n – 1) 
 2 chia hết cho n
Ta có bảng: 
n
1
-1
2
-2
n – 1
0
-2
1
-3
n(n – 1)
0
2
2
6
Loại
T/m
T/m
Loại
Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B
VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Giải: 
 n5 + 1 n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1
(n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)
n – 1 n2 – n + 1
n(n – 1) n2 – n + 1
Hay n2 – n n2 – n + 1
(n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1
 1n2 – n + 1
Xét hai trường hợp:
+ n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài
+ n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn
VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7
Giải:
Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1
Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k8 – 1 = 7
Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1
 = 2. BS7 + 1 
2n - 1 không chia hết cho 7
Nếu n = 3k +2(k N) thì 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 
 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3 
2n - 1 không chia hết cho 7
Vậy 2n - 17 n = 3k (k N)
Tiết 4 2. Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng:
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn
b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ
Giải
a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)]
 = n(n+2)(n + 4)
Với n chẵn, n = 2k ta có:
n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8
 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) 
 = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3)
Với n lẻ, n = 2k +1, ta có:
n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3)
 = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16
Bài 2: Chứng minh rằng
a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
Giải:
Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)]
 = n2(n2 + 2)(n2 – 1).
Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1
Xét các trường hợp:
+ Với n = 2kA = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8
+ Với n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8
Tương tự xét các trường hợp n = 3a, n= 3a 1 để chứng minh A9
Vậy A8.9 hay A72
Bài 3: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a2 – 1 chia hết cho 24
Giải:
Vì a2 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻa2 là số chính phương lẻ 
a2 chia cho 8 dư 1
 a2 – 1 chia hết cho 8 (1)
Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3 
a2 là số chính phương không chia hết cho 3a2 chia cho 3 dư 1
 a2 – 1 chia hết cho 3 (2)
Mà (3,8) = 1 (3)
Từ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hết cho 24
Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a6 -1 chia hết cho 7
Giải: 
Bài toán là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:
- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p
- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chia hết cho p
Thật vậy, ta có a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1)
Nếu a = 7k 1 (k N) thì a3 = ( 7k 1)3 = BS7 1 a3 - 17
Nếu a = 7k 2 (k N) thì a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 17
Nếu a = 7k 3 (k N) thì a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 17
Ta luôn có a3 + 1 hoặc a3 – 1 chia hết cho 7. Vậy a6 – 1 chia hết cho 7
Bài 5: Chứng minh rằng:
Nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504
Giải:
Ta có 504 = 32 . 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một
Vì n là lập phương của một số tự nhiên nên đặt n = a3
Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504
Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8
 Nếu a lẻ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp(a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8
Vậy A8 , nN (1)
+ Nếu a7 a37 A7
 Nếu a không chia hết cho 7 thì a6 – 17(a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma)
Vậy A7 , nN (2)
+ Nếu a3 a39 A9
Nếu a không chia hấe cho 3 a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS91 
a3 – 1 = BS9+1 – 1 9
 a3 + 1 = BS9- 1 + 1 9
Vậy A9 , nN (3)
Từ (1), (2), (3) A9 , nN 
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:
a/ 12n2 – 5n – 25
b/ 8n2 + 10n +3
c/ 
Giải:
a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 
= 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)
Do 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố và 4n +5 > 0 nên 3n – 5 > 0.
 Ta lại có: 3n – 5 < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 – 5n – 25 là số ngưyên tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2
Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố.
Vậy với n = 2 thì giá trị của biểu thức 12n ... DẪN:
A = 
Áp dụng (a + 1) ³ 2a
a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ³ 0. b) Áp dụng cõu a.
Xem bài 1
 + + Ê + + = + + = .
 + + ³ ³ = 
 A = + = ( + ) + ³ + = 6 ( vỡ 2ab Ê (a+b) )
 B = + = 3( +) + 
 (a + ) + + (b + ) + = + ³ 5(a + ) + 5(b + ) 
 	= 5( a + b) + 5( + ) ³ 5( a + b) + 5. = 25
 Suy ra: (a + ) + (b + ) ³ 
 + ³ ; + ³ ; + ³ 
Cộng theo vế 3 BĐT trờn ta được Đpcm
Ta cú: + = ( + ) ³ 2. 
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trờn ta được đpcm. Đẳng thức xỏy ra khi và chỉ khi a = b = c.(Hóy kiểm tra lại)
Áp dụng BĐT 
 a + b ³ ( a + b ) ³ ³ 
 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + + 
= (a+b+c) ( + + ) ³ (a+b+c) . = Suy ra: 
Áp dụng BĐT ở vớ dụ 6 cho 3 số rồi tiếp tục ỏp dụng lần nửa cho 3 số 
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta cú đpcm.
Áp dụng BĐT .Nhõn từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM
A cú 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT Với từng cặp số hạng thớch hợp sẽ cú đpcm
Chuyờn đề 10 
Tiết 48,49
Vớ dụ 8:
Rỳt gọn Biếu thức Với a 
Thực hiện phộp tớnh: (a 2.)
Giải:
a.
b.
Vớ dụ 9: Thực hiện phộp tớnh: .( Với x y)
Giải:
Vớ dụ 10: Cho biểu thức : .
Rỳt gọn biểu thức A.
Chứng minh rằng A khụng õm với mọi giỏ trị của x .
Giải:
b.
Vớ dụ 11: Tớnh giỏ trị biếu thức : 
với a = 2007.
Giải:
Vớ dụ 12: Tớnh giỏ trị biếu thức : .
Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - .
Giải: 
x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - 
Tiết 50,51,52
Bài tập:
Chứng minh rằng Biếu thức
P =
khụng phụ thuộc vào x.
Cho biểu thức M = .
Tỡm tập xỏc định của M.
Tớnh giỏ trị của x để M = 0.
Rỳt gọn M.
Cho a,b,c là 3 số đụi một khỏc nhau. Chứng minh rằng :
Cho biểu thức : B = 
Rỳt gọn B
Chứng minh rằng : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 16 với n Z
Rỳt gọn biểu thức : với x -3; x 3; y -2.
Cho Biếu thức : A = .
Tỡm điều kiện cú nghĩa và Rỳt gọn biểu thức A.
Tỡm giỏ trị của x để A > 0.
Tỡm giỏ trị của A trong trường hợp .
 a.Thực hiện phộp tớnh: 
a.A = .
b. Rỳt gọn C = .
Cho a,b,c là 3 số nhau đụi một.
Tớnh S = .
 Tớnh giỏ trị của biểu thức : biết:
Cho a + b + c = 1 và .
Nếu . Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0.
b.Nếu a3 + b3 + c3 = 1. Tớnh giỏ trị của a,b,c
Bài 11: Cho Biếu thức : .
Tớnh giỏ trị của A khi a = -0,5.
Tớnh giỏ trị của A khi : 10a2 + 5a = 3.
 Chứng minh nếu xyz = 1 thỡ: .
Chứng minh đẳng thức sau: 
Thực hiện phộp tớnh: .
Tớnh tổng : S(n) = .
 Rỳt gọn rồi tớnh giỏ trị của biểu thức :
A = .
Biết a là nghiệm của Phương trỡnh : .
 Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giỏc biết rằng:
 Chứng minh rằng tam giỏc đú là tam giỏc đều.
 Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thỡ : 
Thực hiện phộp tớnh: 
A = 
 Rỳt gọn biểu thức : A = .
 Chứng minh rằng biểu thức sau luụn dương trong TXĐ: 
B = 
 Rỳt gọn rồi Tớnh giỏ trị biếu thức với x + y = 2007.
	A = .
 Cho 3 số a,b,c 0 thỏa món đẳng thức: .
Tớnh giỏ trị biểu thức P = .
Cho biểu thức : . Chứng minh rằng nếu :
 	x + y + z = 0 thỡ A = 1.
HƯỚNG DẪN:
 P =
 M = .
 =
= 
a.Rỳt gọn B = 
b. n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 
a.A = .
b.A > 0
c.
x = 11 
x = 3 A khụng xỏc định
a.A = .
b. Rỳt gọn C = .
 S = 
 Từ:(1) 
Biến đổi A = (2)
Thế (1) vào (2) ; A = - 3 
 Từ a + b + c = 1 và suy ra:
ab + bc + ca = 0 (1)
a. Nếu 
suy ra : 
Suy ra xy + yz + zx = 0.
b. Áp dụng
Từ a3 + b3 + c3 = 1. Suy ra: Từ đú tớnh được a , b , c.
Xem bài 21
 Từ xyz = 1 Biến đổi 
.
Chứng minh : 
.
 	.
 .
.
Rỳt gọn 
=
. Cộng từng vế được A = 0.
A = .
TXĐ: ;B = 
A = .
Từ: .
Suy ra: 
Suy ra: 
Suy ra: hoặc a + b + c = 0 hoặc a = b = c.
P = -1 hoặc P = 8
Từ: x + y + z = 0 suy ra: 
. 
=========o0o=========
xKIẾM TIỀN QUA MẠNG VIỆT NAM
Quý thầy cụ và bạn hóy dành thờm một chỳt thời gian để đọc bài giới thiệu sau của tụi và hóy tri õn người đăng tài liệu này bằng cỏch dựng Email và mó số người giới thiệu của tụi theo hướng dẫn sau. Nú sẽ mang lại lợi ớch cho chớnh thầy cụ và cỏc bạn, đồng thời tri õn được với người giới thiệu mỡnh:
 Kớnh chào quý thầy cụ và cỏc bạn. 
 Lời đầu tiờn cho phộp tụi được gửi tới quý thầy cụ và cỏc bạn lời chỳc tốt đẹp nhất. Khi thầy cụ và cỏc bạn đọc bài viết này nghĩa là thầy cụ và cỏc bạn đó cú thiờn hướng làm kinh doanh 
 Nghề giỏo là một nghề cao quý, được xó hội coi trọng và tụn vinh. Tuy nhiờn, cú lẽ cũng như tụi thấy rằng đồng lương của mỡnh quỏ hạn hẹp. Nếu khụng phải mụn học chớnh, và nếu khụng cú dạy thờm, liệu rằng tiền lương cú đủ cho những nhu cầu của thầy cụ. Cũn cỏc bạn sinh viờnvới bao nhiờu thứ phải trang trải, tiền gia đỡnh gửi, hay đi gia sư kiếm tiền thờm liệu cú đủ? 
 . Vậy tại sao chỳng ta khụng bỏ ra mỗi ngày 5 đến 10 phỳt lướt web để kiếm cho mỡnh vai triệu mỗi thỏng.
	 Ở Việt Nam trang web thật sự uy tớn đú là :  .Lỳc đầu bản thõn tụi cũng thấy khụng chắc chắn lắm về cỏch kiếm tiền này. Nhưng giờ tụi đó hoàn toàn tin tưởng, đơn giản vỡ tụi đó được nhận tiền từ cụng ty.( thầy cụ và cỏc bạn cứ tớch lũy được 50.000 thụi và yờu cầu satavina thanh toỏn bằng cỏch nạp thẻ điện thoại là sẽ tin ngay).Tất nhiờn thời gian đầu số tiền kiếm được chẳng bao nhiờu, nhưng sau đú số tiền kiếm được sẽ tăng lờn. Cú thể thầy cụ và cỏc bạn sẽ núi: đú là vớ vẩn, chẳng ai tự nhiờn mang tiền cho mỡnh. Đỳng chẳng ai cho khụng thầy cụ và cỏc bạn tiền đõu, chỳng ta phải làm việc, chỳng ta phải mang về lợi nhuận cho họ. Khi chỳng ta đọc quảng cỏo, xem video quảng cỏo nghĩa là mang về doanh thu cho Satavina, đương nhiờn họ ăn cơm thỡ chỳng ta cũng phải cú chỏo mà ăn chứ, khụng thỡ ai dại gỡ mà làm việc cho họ.
Vậy chỳng ta sẽ làm như thế nào đõy. Thầy cụ và cỏc bạn làm như này nhộ: 
1/ Satavina.com là cụng ty như thế nào:
Đú là cụng ty cổ phần hoạt động trong nhiều lĩnh vực, trụ sở tại tũa nhà Femixco, Tầng 6,  231-233 Lờ Thỏnh Tụn, P.Bến Thành, Q.1, TP. Hồ Chớ Minh.
 GPKD số 0310332710 - do Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.HCM cấp. Giấy phộp ICP số 13/GP-STTTT do Sở Thụng Tin & Truyền Thụng TP.HCM cấp.quận 1 Thành Phố HCM.
 Khi thầy cụ là thành viờn của cụng ty, thầy cụ sẽ được hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cỏo và xem video quảng cỏo( tiền này được trớch ra từ tiền thuờ quảng cỏo của cỏc cụng ty quảng cỏo thuờ trờn satavina)
2/ Cỏc bước đăng kớ là thành viờn và cỏch kiếm tiền:
Để đăng kớ làm thành viờn satavina thầy cụ làm như sau:
Bước 1: 
Nhập địa chỉ web:  vào trỡnh duyệt web( Dựng trỡnh duyệt firefox, khụng nờn dựng trỡnh duyệt explorer) 
Giao diện như sau:
 Để nhanh chúng quý thầy cụ và cỏc bạn cú thể coppy đường linh sau:
 ( Thầy cụ và cỏc bạn chỉ điền thụng tin của mỡnh là được. Tuy nhiờn, chức năng đăng kớ thành viờn mới chỉ được mở vài lần trong ngày. Mục đớch là để thầy cụ và cỏc bạn tỡm hiểu kĩ về cụng ty trước khi giới thiệu bạn bố ) 
 Bước 2:
 Click chuột vào mục Đăng kớ, gúc trờn bờn phải( cú thể sẽ khụng cú giao diện ở bước 3 vỡ thời gian đăng kớ khụng liờn tục trong cả ngày, thầy cụ và cỏc bạn phải thật kiờn trỡ). 
 Bước 3:
 Nếu cú giao diện hiện ra. thầy cụ khai bỏo cỏc thụng tin:
Thầy cụ khai bỏo cụ thể cỏc mục như sau:
+ Mail người giới thiệu( là mail của tụi, tụi đó là thành viờn chớnh thức): 	 
+ Địa chỉ mail: đõy là địa chỉ mail của thầy cụ và cỏc bạn. Khai bỏo địa chỉ thật để cũn vào đú kớch hoạt tài khoản nếu sai thầy cụ và cỏc bạn khụng thể là thành viờn chớnh thức.
+ Nhập lại địa chỉ mail:.....
+ Mật khẩu đăng nhập: nhập mật khẩu khi đăng nhập trang web satavina.com
+ Cỏc thụng tin ở mục: 
Thụng tin chủ tài khoản: thầy cụ và cỏc bạn phải nhập chớnh xỏc tuyệt đối, vỡ thụng tin này chỉ được nhập 1 lần duy nhất, khụng sửa được. Thụng tin này liờn quan đến việc giao dịch sau này. Sai sẽ khụng giao dịch được.
+ Nhập mó xỏc nhận: nhập cỏc chữ, số cú bờn cạnh vào ụ trống
+ Click vào mục: tụi đó đọc kĩ hướng dẫn.....
+ Click vào: ĐĂNG KÍ
Sau khi đăng kớ web sẽ thụng bỏo thành cụng hay khụng. Nếu thành cụng thầy cụ và cỏc bạn vào hũm thư đó khai bỏo để kớch hoạt tài khoản. Khi thành cụng quý thầy cụ và cỏc bạn vào web sẽ cú đầy đủ thụng tin về cụng ty satavina và cỏch thức kiếm tiền. Hóy tin vào lợi nhuận mà satavina sẽ mang lại cho thầy cụ. Hóy bắt tay vào việc đăng kớ, chỳng ta khụng mất gỡ, chỉ mất một chỳt thời gian trong ngày mà thụi.
 Kớnh chỳc quý thầy cụ và cỏc bạn thành cụng.
 Nếu quý thầy cụ cú thắc mắc gỡ trong quỏ trỡnh tớch lũy tiền của mỡnh hóy gọi trực tiếp hoặc mail cho tụi:
 Người giới thiệu: 
Email người giới thiệu: leanhquyet29@yahoo.com.vn Mó số người giới thiệu: 00070300 
2/ Cỏch thức satavina tớnh điểm quy ra tiền cho thầy cụ và cỏc bạn:
+ Điểm của thầy cụ và cỏc bạn được tớch lũy nhờ vào đọc quảng cỏo và xem video quảng cỏo.
Nếu chỉ tớch lũy điểm từ chớnh chỉ cỏc thầy cụ và cỏc bạn thỡ 1 thỏng chỉ được khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cụ cần phỏt triển mạng lưới bạn bố của thầy cụ và cỏc bạn.
3/ Cỏch thức phỏt triển mạng lưới:
- Xem 1 quảng cỏo video: 10 điểm/giõy. (cú hơn 10 video quảng cỏo, mỗi video trung bỡnh 1 phỳt)
- Đọc 1 tin quảng cỏo: 10 điểm/giõy. (hơn 5 tin quảng cỏo)
_Trả lời 1 phiếu khảo sỏt.:100,000 điểm / 1 bài.
_Viết bài....
Trong 1 ngày bạn chỉ cần dành ớt nhất 5 phỳt xem quảng cỏo, bạn cú thể kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, như vậy bạn sẽ kiếm được 300đồng . 
- Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cỏo (gọi là Mức 1 của bạn), 10 người này cũng dành 5 phỳt xem quảng cỏo mỗi ngày, cụng ty cũng chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày.
- Cũng tương tự như vậy 10 Mức 1 của bạn giới thiệu mỗi người 10 người thỡ bạn cú 100 người (gọi là mức 2 của bạn), cụng ty cũng chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày.
- Tương tự như vậy, cụng ty chi trả đến Mức 5 của bạn theo sơ đồ sau :
- Nếu bạn xõy dựng đến Mức 1, bạn được 3.000đồng/ngày
→ 90.000 đồng/thỏng.
- Nếu bạn xõy dựng đến Mức 2, bạn được 30.000đồng/ngày
→ 900.000 đồng/thỏng.
- Nếu bạn xõy dựng đến Mức 3, bạn được 300.000đồng/ngày
→ 9.000.000 đồng/thỏng.
- Nếu bạn xõy dựng đến Mức 4, bạn được 3.000.000đồng/ngày
→ 90.000.000 đồng/thỏng.
- Nếu bạn xõy dựng đến Mức 5, bạn được 30.000.000đồng/ngày
→ 900.000.000 đồng/thỏng.
Tuy nhiờn thầy cụ và cỏc bạn khụng nờn mơ đạt đến mức 5. Chỉ cần cố gắng để 1thỏng được 1=>10 triệu là quỏ ổn rồi. 
Như vậy thầy cụ và cỏc bạn thấy satavina khụng cho khụng thầy cụ và cỏc bạn tiền đỳng khụng. Vậy hóy đăng kớ và giới thiệu mạng lưới của mỡnh ngay đi.
Lưu ý: Chỉ khi thầy cụ và cỏc bạn là thành viờn chớnh thức thỡ thầy cụ và cỏc bạn mới được phộp giới thiệu người khỏc.
 Hóy giới thiệu đến người khỏc là bạn bố thầy cụ và cỏc bạn như tụi đó giới thiệu và hóy quan tõm đến những người mà bạn đó giới thiệu và chăm súc họ( khi là thành viờn thầy cụ và cỏc bạn sẽ cú mó số riờng).Khi giới thiệu bạn bố hóy thay nội dung ở mục thụng tin người giới thiệu là thụng tin của thầy cụ và cỏc bạn. Chỳc quý thầy cụ và cỏc bạn thành cụng và cú thể kiếm được 1 khoản tiền cho riờng mỡnh.
 Website: 
HÃY KIấN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CễNG
Chỳc bạn thành cụng!