Giải bài tập Đại số Lớp 8 - Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức - Hồ Hồng Điệp

Đại số chương I
 * Nhân đơn thức với đa thức - Nhân đa thức với đa thức 
Bài 2: Rút gọn và tính 
a) x(x - y) + y(x + y)
 tại x = -6; y = 8
 = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2
 =(-6)2 + 82 = 100
b)
 x(x2 - y) - x2(x + y) + y(x2 - x)
 tại x= ; y=-100 
 = x3 - xy - x3 - x2y + x2y - xy = -2xy
 = -2()(-100)=100
* Bài 3: Tìm x
 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) =30
 Û 36x2 - 12x - 36x2 + 27 = 30
 Û 15x = 30 Û x = 2
4. Bài 11. Chứng minh
a) (x-5)(2x+3) -2x(x-3) + x+7
 = 2x2+ 3x-10x-15 - 2x2+ 6x + x+7
 = - 8 
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
b) (3x-5)(2x+11)-(2x+3)(3x+7)
 =(6x2+33x-10x- 55) - (6x2+14x+ 9x+ 21)
 =6x2+ 33x -10x-55 - 6x2- 14x- 9x -21
 = -76
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
 Bài 12:Tính giá trị của biểu thức
 (x2 - 5)(x + 3)+( x + 4)( x- x2) 
trong mỗi trường hợp 
x
0
15
-15
0,15
A
15
 A=(x2 -5)(x+3) +(x + 4)(x- x2)
 = x3+ 3x2- 5x-15 +x2- x3- 4x2+ 4x
 = -x - 15
Thay số có
x
0
15
-15
0,15
A
-15
-30
0
-15,15
Bài 13: Tìm x biết
 (12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x) = 81
 Û 48 x2 - 12x - 20 x + 5 + 3x - 48x2 - 7 + 112 x = 81
 Û 83x = 83 Û x=1
Bài 14: 
 Tìm 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp
 Gọi 3 số phải tìm là x, x+2, x+3 (x là số tự nhiên chẵn)
(x+4)(x+2)-x(x+2) = 192
Û 4x = 184 Û x= 46 
Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 18: Còn có các đáp án khác
x2+6xy+M=(N+3y)2
	 = N2+6Ny+9y2
M=N2+6Ny+9y2-(x2+6xy)
(N là đa thức tuỳ ý)
Bài 20: Nhận xét sự đúng sai của kết quả sau
 "x2+2xy+4y2= (x+2y)2_Sai
 vì (x+2y)2 = x2+4xy+4y2 (≠x2+2xy+4y2)
Bài 21: Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu 
Đáp án:
a, (3x-1)2
b, (2x+3y+1)2
 Bài 22:Tính nhanh 
a) 1012 = ( 100+1)2
 = 1002+2.100 +1=10201
b) 1992 = (200-1)2
 = 2002- 2.200+1 =39601
c) 47.53 = (50-3)(50+3)
 = 502-32 =2500-9 =2491
 Bài 23:Chứng minh rằng 
 a) (a-b)2 = (a+b)2- 4ab
 Có VP = a2+2ab + b2 - 4ab
 = a2- 2ab + b2 = (a-b)2
Vậy (a - b)2 = (a+b)2- 4ab
Thay a + b =7và ab =12
Ta có:(a -b)2 =72- 4.12 = 1
b) (a+b)2= (a-b)2+ 4ab
Có: VP = a2-2ab + b2+ 4ab
 = a2+ 2ab + b2 
 = (a+b)2
Thay a- b =20 và ab =3
Ta có:
 (a+b)2 = 202 + 4.3 = 412
Bài 34
* (a+b)2- (a- b)2= . . . .
 = 4ab
* (a+b)3- (a- b)3- 2b3
 = . . . . .
 = 2a2b
*(x+y+z)2-2(x+y+z)(x+y)+(x+y)2 = .... = z2
. Bài35	
a) 342 + 662 + 68.66
 = 342 + 2.34.66 +662
 = (34+66)2 = 1002 =10000
b) 742+242- 48.74
 = 242- 2.24.74+742
 = (24-74)2 = (-50)2 =2500
. Bài 36
a) x2+ 4x +4 = (x+2)2
 Tại x= 98 
 (x+2)2=(89+2)2= 104
b) x3+3x2+3x+1 = (x+1)3
 Tại x=99
 (x+1)3= (99+1)3=106
Phân tích đa thức thành nhân tử
 bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Bài 39: Phân tích đa thức thành nhân tử
a, 3x - 6y = 3(x- 2y)
b, x2+5x3 +x2y 
 = x2(+5x + y)
c, 14x2y - 21xy2+28x2y2
 = 7xy(2x-3y+4xy)
d, x(y-1)- y(y-1)
 = (y-1)(x-y)
e, 10x(x-y)-8y(y-x)
 = 2(x-y)(5x + 4y) 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
* Bài 43
b, 10x - 25 - x2 = - (x2 -10x + 25) = - (x-5)2
* Bài 44: Tương tự bài 43
* Bài 45: Tìm x
 Biết 2 - 25x2 = 0
 Û Û 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
bằng phương pháp nhóm các hạng tử
Bài 47. Phân tích
a, x2- xy +x - y = x(x- y) + (x- y)
 = (x- y)(x+1)
b, xz + yz- 5(x+y) = z(x+y) - 5(x+y)
 = (z-5)(x+y)
c, 3x2 - 3xy- 5x +5y = 3x(x- y) - 5(x - y)
 = (3x - 5)(x- y)
Bài 48: Phân tích
a, x2 + 4x- y2+ 4 = (x+2)2 - y2
 = (x+y+2)(x-y+2)
b, 3x2 + 6xy + 3y2- 3z2 = 3((x+y)2-z2)
 = 3(x + y + z)(x+y-z)
Bài 49: Tính nhanh
a, 37,6.6,5 - 7,5.3,4 - 6,6.7,5 +3,5.3,75
 =3,75(6,5+3,5)-7,5(6,6+3,4)
 = 375 - 75 = 300
b, 452+ 402- 152 + 80.45
= (45+40)2- 152
= (85-15)(85+15) = 7000
Bài 50: Tìm x
x(x-2) +x-2= 0 (x-2)(x+1) = 0
x+1= 0 hoặc x-2= 0
x= -1 hoặc x =2
b, 5x(x-3)+(3-x) = 0 Û (5x-1)(x-3) = 0 
 Û 5x-1= 0 hoặc x-3 = 0
 Û x=1/5 hoặc x = 3
Phân tích đa thức thành nhân tử 
bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Bài 54. Phân tích
a, x3 + 2x2y + y2 - 9x = x((x2 + 2xy + y2) -9)
 = x((x + y)2 - 32)
 = x(x + y + 3)(x + y - 3)
b, 2x - 2y - x2 + 2xy - y2 = 2(x - y) - (x - y)2 
 = (x - y)(2 - x + y)
Bài 55. Tìm x
a, x3-x = 0 Û x(x2-) = 0
 Ûx(x+)(x-)= 0
 Û x= 0 hoặc x-= 0 
 hoặc x+=0
 Û x= 0 hoặc x=
 hoặc x=-
b, (2x-1)2 - (x+3)2 = 0
 Û (2x-1+x+3)(2x-1-x-3) = 0
 Û (3x +2)(x- 4) = 0
 Û 3x+2 = 0 hoặc x- 4 = 0
 Û x = - hoặc x= 4
Bài 56. Tính nhanh
a, x2 + x += (x+)2
x = 49,75 = 49 Thay số có
(49 ++)2= 502= 2500
b, x2 - y2- 2y -1 = x2 - (y2 + 2y + 1)
 = x2- (y+1)2 
 = (x- y -1)(x + y+1)
Thay x = 93, y = 6 có
 (93 - 6 -1)(93 + 6 +1) = 85.100
 = 8500
Bài 57. Phân tích 
a, x2- 4x +3
Cách 1:
 = (x2 - 4x + 4) -1 = (x- 2 -1)(x -2 +1)
 =(x-3)(x-1)
Cách 2:
 = x2- 2x+1- 2x + 2 = (x-1)2-2(x-1)
 = (x-1)(x-3)
Cách 3:
 = x2-1 + 4 - 4x = (x-1)(x+1) - 4(x-1)
 = (x-1)(x-3)
Bài 58:
 n3- n= n(n+1)(n-1)
 n -1; n; n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp 
ị n(n+1)(n-1) chia hết cho 3
ị n(n+1)(n-1) chia hết cho 2
Vậy n3- n chia hết cho 6 "n
chia đơn thức cho đơn thức
+ Bài 60: 
 x10 : (-x)8 = x2
+ Bài 61:
chia đa thức cho đơn thức
Bài 63.
 15xy2 chia hết cho 6y2
 17xy3 chia hết cho 6y2
 18y2 chia hết cho 6y2
ị (15xy2+17xy3+18y2) chia hết cho 6y2
+ Bài 67:
 Sắp xếp các đa thức 
 a (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3)
-
x3 - 7x + 3 - x2
x - 3
x3 - 3x2
x2 + 2x -1
-
0 + 2x2 - 7x + 3
 2x2 - 6x
-
0 - x + 3
 - x + 3
3
Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Bài 68. áp dụng HĐT rồi chia
a, (x2+2xy+y2):(x+y) = (x+y)2: (x+y) = (x+y)
b, (125x3+y3):(5x+y)
= (5x+y)(25x2- 5xy+y2):(5x+y)
= 25x2-5xy+y2
Bài 69. 
 3x4+x3 +6x-5 x2+1
 3x4 +3x2 
 x3-3x2+6x-5 3x2+x-3
 x3 +x 
 -3x2+5x-5
 -3x2 -3
 5x-2
 3x4+x3 +6x-5 = (x2+1)( 3x2+x-3)+(5x-2)
 *Bài 70. Chia 
a, (25x5-5x4+10x2):5x2
 = 5x3-x2+2
b, (15x3y2-6x2y-3x2y2):6x2y
 = xy- 1- y 
*Bài 73. Tính nhanh 
a, 4x2- 9y2 = (2x+3y)(2x-3y)
ị (4x2- 9y2): (2x-3y)
 = (2x+3y)
ôn tập chương I
Bài 75
a, 5x2(3x2-7x+2) = 15x4-35x3+10x2
Bài 76
x
a, 5x2-2x+1
 2x2-3x
+
 10x4- 4x3+2x2
 -15x3+6x2-3x
 10x4-19x3+8x2-3x
Bài 78
a, (x-2)(x+2)-(x-3)(x+1) = x2 - 4 - ( x2- 2x - 3)
 = x2- 4 -x2 + 2x + 3
 = 2x- 1
Bài 77
a, M= x2 + 4y2 - 4xy = (x- 2y)2 
 Thay x = 18, y = 4 có
 M= (18 - 2.4)2 =100
Bài 79:
a, x2 - 4+(x-2)2
 = (x+2)(x+2+x-2)
 = (x-2)(2x) = 2x(x-2)
c, x3- 4x2-12x +27
 = (x3+27) - (4x2+12x)
 = (x+3)(..)- 4x(x+3)
 = (x+3)(x2-7x+1)
Bài 80
a, 
 6x3-7x2 - x+2 2x+1
 6x3+3x2 
 -10x2 -x+2 3x2-5x+2
 -10x2-5x 	
 4x+2
 4x+2
 0
b, 
 x4 - x3 +x2 - 3x x2-2x+3
 x4 -2x3+3x2 
 x3-2x2+3x x2+x
 x3 -2x2 +3x 
 0 
Bài 81:
a, x(x2- 4) = 0 Û x(x +2)(x - 2) = 0
 Û x = 0 hoặc x+2 = 0 hoặc x-2= 0
 Û x = 0 hoặc x = -2 hoặc x = 2
Bài 82: Chứng minh
 x2-2xy+y2+1 > 0 " x, y ẻ R
 Có x2- 2xy+y2+1 = (x-y)2+1
 Có (x-y)2≥ 0 " x,y ẻ R
ị (x-y)2 + 1 ≥ 1 " x,y ẻ R
ị (x-y)2 + 1 > 0 " x,y ẻ R
6. Dạng toán: Số học
Bài 83: Tím n ẻ Z để
2n2-n +2 chia hết cho 2n+1
(2n2-n+2):(2n+1)= a
a = 
 = 
 = n-1 + 
n ẻZ n-1 thì n-1ẻZ 
Vậy a ẻ Z Û 2n+1 ẻ Ư(3)
ị 2n+1 = 1 Û n= 0
 2n+1 = -1 n=-1 
 2n+1 = 3 n= 1 
 2n+1 = -3 n=-2 
Thử lại : n= -2; -1; 0; 1 đều thoả mãn
Vậy: n= -2; -1; 0; 1 thì 
2n2-n +2 chia hết cho 2n+1 
Chương II : Phân thức đại số
+ Bài 1 : 
 Dùng định nghĩa 2 phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng
 a. 
 Ta có 5y. 28x = 7.20 xy
 vì 5y.28x = 140xy; 7.20xy = 140xy
 nên 5y.28x = 7.20xy
 b. 
 (x2 - x - 2)(x-10 = x3-2x2+2-x
 (x+1)(x2 - 3x + 2) = x3 - 2x2 - x + 2
 ị(x2 - x - 2)(x-1) = (x+1)(x2 - 3x + 2)
+ Bài 4:
 Lan làm đúng vì đã nhân cả tử và mẫu của VT với x
Hùng làm sai vì đã chia tử của VT cho NTC, x ạ 1 thì cũng phải chia mẫu của nó cho (x+1) phải sửa là
 Hoặc 	
Giang làm đúng theo quy tắc đổi dấu. Huy làm sai vì:
 (x-9)3 = [-(9-x)3 = -(9-x)3
 nên 
Hoặc 
+ Bài 7: Rút gọn phân thức
+ Bài 12:
Phân tích tử thức và mẫu thành nhân tử và rút gọn phân thức
b. 
+ Bài 13: 
a. áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức
b. Rút gọn phân thức
+ Bài 17:
Tuấn và Lan đều đúng vì Tuấn tìm MTC theo nhận xét SGK, Lan đã quy đồng MT sau khi đã rút gọn phân thức
+ Bài 18:
 Quy đồng mẫu thức các phân thức
a)
MTC: 2(x+2)(x-2)
NTP: x-2; 2
ị
b. 
MTC: 3(x+2)2
NTP: 3, x + 2
+ Bài 14(sbt):
a)
MTC: 2x(x+3)(x-3)
NTP: (x-3), 2x
c)
MTC: x3 - 1 = (x-1)(x2 + x + 1)
NTP: x - 1; x2 + x + 1
b). 
MTC: 2x(1-x)2
MTP: 2(1-x); x
d). 
MTC: 10x(x-2y)(x+2y); 5x
+ Bài 19: Quy đồng MT các phân thức sau
a) 
b. x2 + 1	và 
MTC: x2 - 1
NTP: x(2-x); 2+ x
c)
MTC : y(x - y)3
NTP: y ; ( x - y)2
+ Bài 20:
-
x3 + 5x2 - 4x - 20
x2 + 3x - 10
x3 + 3x2 - 10x
x + 2
-
0 + 2x2 + 6x - 200 
 2x2 + 6x - 20
0
+ Bài 23: Làm các phép tính sau:
a)
b)
c) 
 (x2 - 4 = (x-2)(x+2))
(x2 + 4x + 4)(x-2) = (x+1)2 (x-2)
MTC: (x+2)2 (x-2)
b. 
 (x2 - 4 = (x-2)(x+2))
(x2 + 4x + 4)(x-2) = (x+1)2 (x-2)
MTC: (x+2)2 (x-2)
d). 
MTC: (x+2)(4x+7)
+ Bài 25:
Làm tính cộng các phân thức:
a)
b)
c) 
+ Bài 26:
a. Thời gian xúc 5000m3 đầu tiên là (người)
Thời gian làm nốt công việc còn lại là (giây)
Thời gian làm việc để hoàn thành công việc
 (người)
b. Thay x = 250 vào biểu thức
 = 20 - 24 = 44 người
+ Bài 30(b):
Thực hiện phép tính
 x2 + 1 - 
+ Bài 31(b):
Chứng tỏ hiệu sau là phân thức có tử bằng 1
+ Bài 32:
Tính nhanh
+ Bài 34:
Dùng quy tắc đổi dấu thực hiện
a. 
b. 
+ Bài 35:
a. 
b)
+ Bài 36:
a. Số sản phẩm phải sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch 
 - 
b. Thay x = 25 ta có:
 - = 420 - 400 
 = 20 SP/ ngày
+ Bài 40:
Rút gọn
C1:
C2:
+ Bài 42: Làm tính chia
a. 
b. 
+ Bài 43: Thực hiện các phép tính sau
a)
+ Bài 46(a): Biến đổi biểu thức sau thành phân thức đại số
 =
 = 
+ Bài 47(b):
Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi phân thức sau được xđ
a. ≠≠ 0
ú 2x ≠ - 4 ú x ≠ -2 
b. ú x2- 1 ≠ 0 ú x ≠ -+ 1
+ Bài 48:
Cho PThức 
a.Với đk nào của x thì giá trị phân thức xác định
 ú x+2 ≠ 0 ú x ≠ -2
b. Rút gọn phân thức 
 = 
c. Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1
 x+2= 1 => x=-1 Thoả mãn đk
 với x=-1 thì giá trị của pthức = 1
d. Có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0 hay không
 x+2 = 0 => x= -2 ( Không TMĐK)
Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng 0 
+ Bài 52:
Chứng tỏ rằng với x 0 và (a là một số nguyên giá trị của biểu thức)
 Là một số chẵn
 =
 =
 =đ A là một số chẵn do a nguyên
+Bài 44(sbt):
Biến đổi các biểu thức sau thành các phân thức.
a, 
=
b, 
=
=
=
+ Bài 46(sbt):
Tìm điều kiên của biến để giá trị của phân thức xác định.
a, xác định với 
b, giá trị phân thức xác định với x ≠ -2004
c, giá trị phân thức xác định với 
d, giá trị phân thức xác định với x ≠ -2
+ Bài 47(sbt):
Phân tích mẫu tử của các phân thức sau thành ntử rồi tìm giá trị của x để giá trị phân thức xác định:
a, 
b, 
ĐKXĐ 8x3 + 12x2 + 6x + 1 ≠ 0
c, 
ĐKXĐ 16 - 24x + 9x2 ≠ 0
d, 
ĐKXĐ (x-2y)(x+2y) ≠ 0
+ Bài 55:
 Cho phân thức 
a, Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định.
 ĐKXĐ x2 - 1 ≠ 0 
b, Chứng tỏ phân thức rút gọn đã cho là 
c, Với x = 2, giá trị của phân thức được xác định do đó phân thức có giá trị 
Với x = -1 giá trị của phân thức không xác định, vậy bạn Thắng tính sai, chỉ có thể tính được giá trị của phân thức đã cho nhờ phân thức rút gọn với những giá trị của biến thoả mãn điều kiện
d, Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 5.
 ĐK x ≠ 1
 x+1 = 5(x-1) Û x-5x = -1-5
Û - 4x = - 6 Û (TMĐK)
Ôn tập học kỳ I
+ Bài 1: 
+ Bài 2: Rút gọn biểu thức
a, (2x+1)2 + (2x-1)2 -2(1+2)(2x-1)
= (2x+1-2x+1)2 = 22 = 4
b,(x-1)3-(x+2)(x2-2x+4)+3(x+1)(x-1)
= x3-3x2+3x-1-(x3+x2)+3(x2-1)
= x3-3x2+3x-1-x3-1+3x2
= 3x-12 = x(x-4)
+ Bài 3:
Tính nhanh giá trị của mỗibiểu thức sau:
a, x2+4y2-4xy tại x = 12; y = 4
= (x-2y)2 = (18-24)2 = 100
b. 3454 - (152+1)(152-1)
= (3.5)4 - (154-1) = 154-154+1 = 1
+ Bài 4: Làm tính chia
a, (2x3+5x2-2x+3) : (2x2-x+1)
 (2x3+5x2-2x+3) (2x2-x+1)
2x3- x2 + x x + 3
0 + 6x2-3x+3
 -	6x2-3x+3
 0
+ Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử
a, x3-3x2-4x+12
= x2(x-3)-4(x-3) = (x-3)(x2-4)
= (x-3)(x+2)(x-2)
c, x3+3x2 -3x-1 
= (x3-1)+(3x2-3x)
= (x-1)(x2+x+1)+3x(x-1)
= (x-1)(x2+x+1+3x) 
= (x-1)(x2+4x+1)
b, 2[(x2-y2)-3(x+y)]
= 2[(x-y)(x+y)-3(x+y)]
= 2(x+y)(x-y-3)
d, x4-5x2 + 4 
= x4-x2- 4x2+ 4
=x2(x2-1)- 4(x2-1)
=(x2-1)(x2-4)
= (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
+ Bài 6: Tìm x biết
a, 3x3-3x = 0
 Û 3x(x2-1) = 0
 Û 3x(x-1)(x+1) = 0
 Û x= 0 hoặc = 1 hoặc x = -1
b, x2+36 = 12x
 ô x2 - 12x + 36 = 0
 ô (x-6)2 = 0
 ô x – 6 = 0
 ô x = 6
+ Bài 7: Chứng minh đa thức
 Ta có: 
 Vậy: 
 Vì đGTNN của tại 
+ Bài 8: Tìm GTLN và GTNNcủa các biểu thức sau:
GTNN của B là tại 
b, C = 4x - x2 = - (x2-4x)
 C = -(x2-2.x.2+4-4)
 C = -(x-2)2 + 4 ≤ 4
Vậy GTLN của C là 4 tại x = 2