Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

www.VNMATH.com 
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoỏ 
Sở giáo dục vμ đμo tạo Kỳ thi tuyển sinh vμo lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn 
 Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012 
 Môn : Toán (dùng chung cho tất cả thí sinh) 
 Thời gian lμm bμi 120 phút không kể thời gian phát đề 
 Ngμy thi: 18 tháng 6 năm 2011 
Câu1 (2 điểm) Cho biểu thức A
3
32
1
23
32
1115




x
x
x
x
xx
x 
1.Rút gọn biểu thức A (với x 0 ,x 1 ) 
2. Chứng minh rằng A
3
2 
Câu 2(2 điểm) 
Cho parabol (P): 2
2
1 xy  vμ đ−ờng thẳng (d): y= mx –m +2 (với m lμ tham số) 
1. Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoμnh độ x=4 
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
Câu 3 : (2 điểm) 
1. Giải hệ ph−ơng trình :





1925
1232
yx
yx
2. Giải ph−ơng trình 26
9
3
2
 x
xx 
Câu 4: (3 điểm) Gọi C lμ một điểm nằm trên đoạn thẳng AB ( BCAC  , ). Trên nửa mặt 
phẳng có bờ lμ đ−ờng thẳng AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy 
điểm I (IA). Đ−ờng thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K ; đ−ờng tròn đ−ờng 
kính IC cắt IK tại P. 
1.Chứng minh rằng: 
a) Tứ giác CPKB nội tiếp đ−ợc trong đ−ờng tròn. Xác định tâm của đ−ờng tròn đó. 
b)Tam giác ABP lμ tam giác vuông. 
2. Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có 
diện tích lớn nhất. 
Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c lμ ba số thực d−ơng thỏa mãn a+b+c = 2. Tính giá trị lớn nhất 
của biểu thức: P=
bca
ca
abc
bc
cab
ab
222  
------------Hết------------- 
(cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) 
Họ vμ tên thí sinh..Số báo danh 
Chữ ký của giám thị số 1: ..chữ ký của giám thị số 2 
 Đề CHíNH THứC 
www.VNMATH.com 
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoỏ 
Đáp án 
Câu1 : Rỳt gọn biểu thức A
3
32
1
23
32
1115




x
x
x
x
xx
x 
A= 
3
32
1
23
)3)(1(
1115




x
x
x
x
xx
x = 
)3)(1(
)1)(32()3)(23(1115


xx
xxxxx 
A=
)3)(1(
332262931115


xx
xxxxxxx =
)3)(1(
527


xx
xx = 

)3)(1(
)52)(1(
xx
xx 
A=
)3(
)52(


x
x 
2- với A
3
2 ta cú 
)3(
)52(


x
x 
3
2 nờn 
3
2 - 
)3(
)52(


x
x  0 
)3.(3
)52.(3)3(2


x
xx  0 

)3.(3
15662


x
xx  0 
)3.(3
17
x
x  0 là đỳng vỡ x 0 nờn 17 x 0 và 3.( x +3) > 0 
vậy A
3
2 được chứng minh 
Câu 5-a)Vì a + b+ c = 2  2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab) 
 = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b) 
vỡ a ; b ; c > 0 nờn 01  ca và 0
1  cb ỏp dụng cosi ta cú 
 ca
1
cb 
1 2.
))((
1
cbca  dấu (=) khi  ca
1
cb 
1  a + c = b + c a = b 
hay )11(
2
1
))((
1
bcacbcac  
   


 bc
ab
ac
ab
bcac
ab
abc
ab
2
1
)(2
 (1) 
Chứng minh t−ơng tự ; 


 ca
bc
ba
cb
abc
bc
2
1
2
 (2) dấu = khi b = c 
 


 ab
ca
bc
ca
cab
ac
2
1
2
 (3) dấu = khi a = c 
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta cú 
 : P=
bca
ca
abc
bc
cab
ab
222  2
1 (
bc
ab
ac
ab
 + ac
cb
ab
cb
 + bc
ac
ab
ac
 ) 
  P 
2
1 


 ba
ac
ba
cb
bc
ac
cb
ab
ac
cb
ac
ab ()()( =
2
1







ba
abc
cb
cba
ac
bca ).().().( 
 P=
bca
ca
abc
bc
cab
ab
222    12.2
1
2
1  cba 
min P = 1 khi a = b = c =
3
2 
Câu 2:Cho parabol (P): 2
2
1 xy  vμ đ−ờng thẳng (d): y= mx –m +2 (với m lμ tham số) 
www.VNMATH.com 
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoỏ 
y
P
A B
x
K
C
I
O
O'
3. Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoμnh độ x=4 
4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
Giải : 
a) toạ độ giao điểm của parabol (P): 2
2
1 xy  vμ đ−ờng thẳng (d): y= mx –m +2 
là nghiệm của hệ 





2.
2
1 2
mxmy
xy phương trỡnh hoành độ giao điểm là : 
 2.
2
1 2  mxmx vi (d) cắt (P ) tại điểm có hoμnh độ x=4 thay vào ta cú : 
8 = 4m - m +2  3m = 6  m = 2 vậy thỡ (d) cắt (P ) tại điểm có hoμnh độ x=4 
b) để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi hệ 





2.
2
1 2
mxmy
xy 
hay 2.
2
1 2  mxmx  x2 -2mx +2m - 4 = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt  > 0 
mà  = 4m2 -4(2m - 4 ) = 4m2 -8m + 16 = (2m)2 – 2.2m.2+ 4+12 = ( 2m – 2)2 + 12 > 0 
với mọi giỏ trị của m .Vậy với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
Câu 3 : 1- Giải hệ phương trỡnh :





1925
1232
yx
yx
 Đặt a = 
y
1 và b = 
x
1 ta cú hệ 



1925
1232
ab
ab
  



57615
2464
ab
ab  



3311
1232
b
ab 
 



3
1232
b
ab  



3
2
b
a 
y
1 =2 y =
2
1 
 và 
x
1 = 3  x =
3
1 vậy nghiệm của hệ 





2
1
3
1
y
x
2-Giải ph−ơng trình 26
9
3
2
 x
xx điều kiện x >3 hoặc x <-3 
ta thấy x = 0 khụng phải là nghiệm ư 
nờn 
xx
26
9
31
2


  126
9
3
2

 xx
 121272
9
3
22  xxx 
Câu 4: 1.Chứng minh rằng: 
a) Tứ giác CPKB nội tiếp đ−ợc trong đ−ờng tròn. Xác định 
tâm của đ−ờng tròn đó. 
Xột đường trũn tõm O đường kớnh IC ta cú P(O) 
Nờn CPI ˆ = 900 do đú CPK ˆ = 900 ( kề bự với 
CPK ˆ = 900 ) 
theo bài ra ta cú By  AB mà K  By ; C  AB 
CBK ˆ = 900  CPK ˆ + CBK ˆ = 1800 mà CBK ˆ và CPK ˆ 
www.VNMATH.com 
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoỏ 
là hai gúc đối của tứ giỏc CPKB vậy CPKB nội tiếp đ−ợc trong đ−ờng tròn mà CBK ˆ = 900 
nờn KC là đường kớnh 
b)Tam giác ABP lμ tam giác vuông. 
Xột ( O ; 
2
IC ) ta cú PICCAP ˆˆ  ( nội tếp cựng chắn cung PC ) (1) 
Xột ( O’ ; 
2
KC ) ta cú CBPCKP ˆˆ  ( nội tếp cựng chắn cung PC ) (2) 
Theo bài ra thỡ IC KC tại C nờn KCI ˆ = 1V nờn IKCPIC ˆˆ  = 1V (3) thay (1) ; (2) vào 
(3) ta cú CAP ˆ + CBP ˆ = 1V vậy Tam giác ABP lμ tam giác vuông.tại P 
2-Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có 
diện tích lớn nhất . Ta cú tứ giỏc ABKI cú AI//BK ( cựng AB) và Bˆ = 1V nờn ABKI 
là hỡnh thang vuụng nhận AI và BK là hai đỏy và AB là đường cao 
 SABKI = 2
1 (AI+ BK) . AB mà A ; B ; I cố đinh nờn AI ; AB khụng đổi nờn để SABKI đạt 
Max khi BK đạt Max BK =AI lỳc bấy giờ (O) và (O’) bằng nhau nờn CI = CK 
CIK cõn CP và đường cao nờn PI = PK 
mà PC // BK ( cựng vuụng gúc AB) nờn PC là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABKI 
nờn C là trung điểm của AB