Đề thi tuyển học sinh giỏi vòng trường Toán Lớp 8 - Trường THCS Vân Khánh Đông

Trường THCS Vân Khánh Đông. ĐỀ THI TUYỂN HSG VÒNG TRƯỜNG
Tổ Khoa Học Tự Nhiên. MÔN: TOÁN 8
 Thời gian: 120 phút.
ĐỀ BÀI:
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; 	 	b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
 Cho biểu thức : 
Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
Tìm giá trị của x để A > 0?
Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
Khi mới nhận lớp 8A cô giáo chủ nhiệm dự định chia lớp thành 3 tổ có số học sinh như nhau. Nhưng sau đó lớp nhận thêm 4 học sinh nữa nên cô giáo chia đều số học sinh thành 4 tổ. Hỏi lớp 8A hiện nay có bao nhiêu học sinh? Biết rằng so với dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện tại có ít hơn 2 học sinh?
Câu 4: (6,0 điểm)
 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 
Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án
Điểm
Bài 1
a
2,0
3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 =
1,0
= 3x(x -2) – (x - 2)
0,5
= (x - 2)(3x - 1).
0,5
b
2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
1,0
= ax(x - a) – (x - a) =
0,5
= (x - a)(ax - 1).
0,5
Bài 2:
5,0
a
3,0
ĐKXĐ : 
1,0
1,0
0,5
0,25
Vậy với thì .
0,25
b
1,0
Với 
0,25
0,25
0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0.
0,25
c
1,0
0,5
0,25
Với x = 11 thì A = 
0,25
Bài 3
5,0
Gọi (hs) là số học sinh hiện tại của lớp 8A.
0,5
Điều kiện: nguyên dương và > 4.
0,5
Số học sinh của mỗi tổ hiện tại là: (hs)
0,5
Số học sinh lớp 8A ban đầu là: (hs)
0,5
Số học sinh mỗi tổ ban đầu là: (hs)
0,5
Do dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện nay có ít hơn 2 học sinh nên
0,5
theo đề bài ta có phương trình:
 - = 2 (*)
0,5
Giải phương trình (*)
(*) - = 2
0,5
 = 40 (TMĐK)
0,5
Vậy hiện tại lớp 8A có 40 học sinh.
0,5
Bài 4
6,0
0,25
a
2,0
Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF
0,5
Chứng minh : 
0,5
=> BE = DF
0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
0,25
b
2,0
Ta có: 
0,5
Chứng minh : 
1,0
0,5
b,
1,75
Chứng minh : 
0,25
0,25
Chứng minh : 
0,25
0,25
Mà : CD = AB 
0,5
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đpcm).
0,25