Đề thi Olympic Toán tuổi thơ năm 2011

OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ 2011 – THCS
ĐỀ THI CÁ NHÂN
Thời gian làm bài: 30 phút
Người ta hỏi anh An: “ Bức ảnh trên tường là chân dung của ai vậy?”. Anh An trả lời “Bố của người đó là người con trai duy nhất của ông bố người đang trả lời bạn.” Đó là ai?
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2 + 14 là số nguyên tố.
Trong 1000 số tự nhiên đầu tiên có bao nhiêu số chia hết cho 3?
Cho hàm số f(x). Biết f(x) + f(y) = f(x+y) và f(1) = 2. Tính f(2011)
Giá trị của biểu thức tại x = -8, y = 6 là bao nhiêu?
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x +2 + 3 
Tìm phân số tối giản biết nếu cộng mẫu số vào tử số thì giá trị phân số tăng 4 lần.
Tìm đa giác đều biết các đường chéo của nó có độ dài bằng nhau.
Tam giác ABC có góc A bằng 600, đường cao BH và CK. Biết SABC = 20cm2. Tính SAHK.
Để vẽ hình bên cần ít nhất bao nhiêu “nét vẽ” (Mỗi “nét vẽ” là một đường thẳng hoặc gấp khúc liên tục)
Trên một đường thẳng lấy các điểm A, B, C sao cho AB = 3cm, BC = 5cm. Tính AC.
Một đa giác có tổng các góc trong bằng 12600. Tính số đường chéo của đa giác đó?
Biết và a2 + b2 = 100. Tính a?
Tìm a, b, c, để các số sau đều là các số lẻ: abc + a; bca + b; cab + c.
5
5
1
1
6
4
Tính diện tích của hinh sau: 
Cho ba số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của hai số bất kì trong ba số đó không bé hơn tích của chúng.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CÁ NHÂN
Từ câu 1 đến câu 15: Mỗi câu đúng cho 5 điểm. Nếu thiếu đáp số thì không cho điểm.
Câu 16 cho 25 điểm. Nếu không tìm khi nào dấu = xảy ra thì trừ 10 điểm
Con anh An
	p = 3 thoả mãn
	p ≠ 3 thì p2 chia 3 dư 1 => p2 + 14 chia hết cho 3. Mà p2 + 14 > 3 => p2 + 14 là hợp số.
334
f(2011) = 2011.f(1) = 4022
-8
3
Hình vuông và ngũ giác đều
5 cm2
4 nét vẽ
8cm hoặc 2cm
27
6 và -6
Không có
40
Gọi ba số đó là a, b, c. Ta có
	a, b, c > 0; a + b + c = 4. Ta cần chứng minh a + b ≥ abc
	Xét a + b – abc 	= a + b – ab(4 – a – b) = a + b – 4ab + a2b + ab2
	= a(b2 - 2b + 1) + b(a2 – 2a + 1)
	= a(b – 1)2 + b(a – 1)2 ≥ 0
	Vậy a + b ≥ abc
	Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1 và c = 2
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI
Thời gian làm bài: 65 phút = 30 phút
Để đánh số trang một cuốn sách, người ta phải dùng 966 chữ số. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang.
Tìm số các số x với x, y nguyên thoả mãn x + y + xy = 5
Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 0 và ab + bc + ca = 0. 
	Tính giá trị biểu thức P = (a + 1)2011 + (b – 1)2012 + c2013
Cho hình thang cân có hai cạnh đáy dài 3cm và 11cm. Góc tạo bởi 1 cạnh bên và đáy lớn là 450. Tính diện tích hình thang.
Tìm m để đa thức 8x2 – 26x + m chia hết cho đa thức 2x – 3
Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600. Đường thẳng qua C cắt tia đối của tia BA và DA lần lượt tại M và N. DM cắt BN tại K. Tính số đo góc MKB?
358 trang
8
P = 2
28cm2
m = 21
600