Câu4: Cho x, y là các số thực không âm thoã mãn:
x2 – 2xy + x - 2y 0. Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức:
M = x2 – 5y2 + 3x
Câu5: Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh: AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM.
đề thi Olympic năm học 2009 - 2010 Môn: toán - lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút) -------------------------- Câu1: Cho biểu thức: A = Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A. Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Câu2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3 b) áp dụng giải phương trình: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3 Câu3: a) Giải phương trình: = 2x + 1 b) Cho số thực x thoã mãn: Tính giá trị của biểu thức: B = Câu4: Cho x, y là các số thực không âm thoã mãn: x2 – 2xy + x - 2y 0. Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức: M = x2 – 5y2 + 3x Câu5: Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM. ---------------------- Hướng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán - lớp 8 Câu1: (3đ) a) (2đ) +)Điều kiện: +) Quy đồng mẫu số và biến đổi được: A = b) (1đ) Ta có A = = -1 + . Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 1 – 2x = x = 0 hoặc x = 1. Đối chiếu ĐK ban đầu x = 0 và x = 1 không thoã mãn. Vậy không có giá trị x nào thoã mãn yêu cầu bài toán. Câu2:(4đ) (2đ) Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc áp dụng ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3 = (3x – 2)3 + ( - x + 3)3 + ( - 2x - 1)3 = 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1). b) (2đ) Ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3 (3x – 2)3 – (x – 3)3 - (2x + 1)3 = 0 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) = 0 x = hoặc x = 3 hoặc x = - Câu3:(4đ) a)(2đ) +) Với x 0: Phương trình đã cho trở thành = 2x + 1 . Giải được x = 0 +) Với x 0: Phương trình đã cho trở thành = 2x + 1. Giải được x Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: b)(2đ) Từ giả thiết suy ra x2 – x + 1 = 2x hay x2 = 3x – 1. Suy ra x0 và x3 = (3x – 1)x = 3x2 – x = 8x – 3 x4 = (8x – 3)x = 8x2 – 3x = 21x -8 Do đó B = = =5 Câu4: (3đ) Ta có x2 – 2xy + x - 2y =(x – 2y)(x + 1) vì x nên x + 1 > 0). Do đó M = x2 – 5y2 + 3x 4y2 – 5y2 + 6y = -y2 + 6y = -(y – 3)2 + 9 9. M = 9 khi và chỉ khi y = 3, x = 6. Vậy giá trị lớn nhất của M là 9. Câu5: (6đ) a)(3đ) Ta có CDE ~ CAB(hai tam giác vuông có góc C chung) ~ (Vì AHD vuông cân) vuông cân AE = AB(đfcm). b)(3đ) Từ ABE vuông cân kết hợp với GT suy ra AM BE.Kéo dài AM cắt BC tại K. Ta có: AHK ~ BMK ~ HKM(vì ABE vuông cân nên AM vừa lầ đường trung tuyến vừa là đường phân giác suy ra ) A C B H E D K M 1 1 C A 1 1
Tài liệu đính kèm: