Đề thi Olympic Toán Khối THCS - Năm học 2009-2010

Đề thi Olympic Toán Khối THCS - Năm học 2009-2010

 a) Rút gọn A =

b) Tính B =

c) So sánh với

Câu 2:

 Cho phân số A = ( n Z )

a) Tìm n để A có giá trị nguyên

b) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?

Câu3:

 a) Tìm x Z biết

b) Chứng minh rằng nếu a, b N và a + 5b 7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7

c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau

Câu 4:

 Cho góc AMC = . Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx, MT là tia phân giác của góc xMy

a) Tính AMy

b) Chứng minh góc CMT =

Câu 5:

a) Cho S =

Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên

b) Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi . Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi . Hỏi mỗi loại có mấy xe?

 

doc 10 trang Người đăng tuvy2007 Lượt xem 823Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi Olympic Toán Khối THCS - Năm học 2009-2010", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1:
 a) Rút gọn A = 
b) Tính B = 
c) So sánh với 
Câu 2: 
 Cho phân số A = ( n Z )
Tìm n để A có giá trị nguyên
Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
Câu3:
 a) Tìm x Z biết 
b) Chứng minh rằng nếu a, b N và a + 5b 7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7
c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau
Câu 4:
 Cho góc AMC = . Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx, MT là tia phân giác của góc xMy
Tính AMy
Chứng minh góc CMT = 
Câu 5:
Cho S = 
Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên
Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi . Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi . Hỏi mỗi loại có mấy xe?
----------------------------
Hướng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 6
Câu 1: ( 5 điểm)
a) (2điểm) A = 
b) (1,5điểm)
B = 
 = = 
 = 
c)(1,5điểm) Ta có = 
 Vì 
Câu 2 (3điểm)
 a) (2điểm) 
A Z ú Ư(6) = 1,-1;2;-2;3;-3;6;-6	
5n - 3
1
-1
2
-2
3
-3
6
-6
5n
4
2
5
1
6
0
9
-3
n
1
0
b)(1điểm) 
A có giá trị lớn nhất có GTLN5n – 3 là số nguyên dương nhỏ nhất 
5n – 3 = 2 5n = 5 n = 1 Khi đó GTLN của A là 5
Câu 3: (6 điểm)
a) (2 điểm) 
b) (2 điểm) Xét hiệu 5(10a + b) – (a + 5b) = 49a 7 mà a + 5b 7 => 5(10a + b) 7 
do (5;7) = 1 => 10a + b 7 (đpcm)
c) (2 điểm) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d = > 6n +5 d và 2n + 1d =>
6n + 5 – 3(2n + 1) d => 2 d Do d là ước của số lẻ => d = 1 => (2n + 1; 6n +5) = 1
Câu 4: (3 điểm) y C
a) (2 điểm)Vì góc xMC và góc CMA kề bù => 
gócxMC = 
Vì My là tia phân giác của góc xMC
=> góc xMy = mà góc góc xMy kề bù với T
góc AMy => góc AMy = 
 x M A
b)( 1 điểm)
 Do MC là ti phân giác của góc AMy. MT là tia phân giác của yMx
mà góc AMy và góc yMx là hai góc kề bù => My năm giữa 2 tia MC và MT 
gócCMT = góc CMY + góc yMT = góc AMy + góc yMx = .120 + .60 = 
Câu 5: (3 điểm) (Mỗi câu đúng cho 1,5 điểm)
Ta có 
 49 s/h B
 = 49 – B
B = 
Ta lại có 
B = 
=> 48 (đpcm)
b) Gọi x là loại số xe 12 chỗ
 y là loại số xe loại 7 chỗ ( ĐK x , y )
 Ta có 12x + 7y = 64 (1)
Ta thấy 12x 4 , 64 4 => 7y 4 mà (4;7) =1 => y 4.(2) 
 Từ (1) => 7y y y = 4; 8
Với y = 4 => 12x +28 = 64 => x = 3 (TM)
Với y = 8 => 12x + 56 = 64 => 12x = 8 Không thoả mãn
 Vậy có 3 xe loại 12 chỗ và 4 xe loại 7 chỗ
---------------
đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu1.
a.Tính: 
b. So sánh: và 
Câu 2:
Cho . 
 Chứng minh rằng:
(Với và các mẫu khác o)
b. Cho hàm số: xác đinh với moi giá tri của . Biết rằng với mọi ta đều có . Tính.
Câu 3. 
a. Tìm x biết:
b. Tìm tất cả các giá tri nguyên dương của x và y sao cho:
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho BM=MN=NC. Gọi H là trung điểm BC. 
a. Chứng minh: AM=AN và AHBC
b. Chứng minh 
c. Kẻ đường cao BK. Biết AK= 7cm; AB=9cm. Tính độ dài BC.
---------------------------
Cõu 1(4đ)
1.a(2đ)
1.b(2đ)
Cõu 2(4đ)
2.a(2đ)
2.b(2đ)
Cõu 3(4đ)
3.a(2đ)
3.b(2đ)
Cõu4(2đ)
Câu 5(6đ)
5.a(2đ)
5.b(2đ)
5.c(2đ)
Hướng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
 Môn: toán – lớp 7
Ta cú:
Ta cú:
Vậy A<B
Từ giả thiết suy ra:
Từ (1), (2), (3) ta cú:
Hay 
Vậy 
Với x=2 ta cú: 
Với ta cú 
Giải ra tỡm được 
Giải ra tỡm được x=4 hoặc x=5 hoặc x=6.
Từ 
Vỡ x, y nguyờn dương thuộc ước của 25.
Giải ra tỡm được cỏc cặp giỏ trị x; y nguyờn dương thoả món điều kiện bài toỏn là: (x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30).
Áp dụng tớnh chất và , dấu “=” xảy ra khi và dấu “=” xảy ra khi a=0. Ta cú:
Dấu “=” xảy ra khi 
và dấu “=” xảy ra khi x=2009.
 dấu “=” xảy ra khi 2010.
 dấu “=” xảy ra khi x=2009 và y=2010.
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2011 khi x=2009 ; y=2010.
-Chứng minh đựơc ABM=ACN(cgc)AM=AN
- Chứng minh đựơc ABH=ACH(cgc)
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA
Chứng minh được và AM=AN=BD
-Chứng minh được BA>AMBA>BD
-Xét có BA>BD hay 
Vì AK nên chỉ có hai trường hợp xảy ra
TH1:
- nhọn k nằm giữa hai điểm A,C
Mà AC=AB 
- vuông tại K 
- vuông tại K nên ta có
BC=
TH2:
- tù A nằm giữa hai điểm K,C KC=AK+AC=16cm
- vuông tại K 
- vuông tai K 
Vậy BC=6cm hoặc BC=
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5
1đ
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
H
M
B
A
C
N
K
đề thi Olympic năm học 2009-2010 
Môn: toán – lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
--------------------------
Câu1: Cho biểu thức: A = 
Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A.
Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Câu2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
 (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3
 b) áp dụng giải phương trình:
 (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
Câu3: a) Giải phương trình: = 2x + 1
 b) Cho số thực x thoã mãn: 
 Tính giá trị của biểu thức: B = 
Câu4: Cho x, y là các số thực không âm thoã mãn:
 x2 – 2xy + x - 2y 0. Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức:
 M = x2 – 5y2 + 3x
Câu5: Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh: AE = AB
Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM.
----------------------
Hướng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 8
Câu1: (3đ)
a) (2đ) +)Điều kiện: 
 +) Quy đồng mẫu số và biến đổi được: A = 
b) (1đ) Ta có A = = -1 + . Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 1 – 2x = x = 0 hoặc x = 1.
Đối chiếu ĐK ban đầu x = 0 và x = 1 không thoã mãn. Vậy không có giá trị x nào thoã mãn yêu cầu bài toán.
Câu2:(4đ) 
(2đ) Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
 áp dụng ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3 
 = (3x – 2)3 + ( - x + 3)3 + ( - 2x - 1)3
 = 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1).
 b) (2đ) Ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
 (3x – 2)3 – (x – 3)3 - (2x + 1)3 = 0
 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) = 0
 x = hoặc x = 3 hoặc x = - 
Câu3:(4đ) 
 a)(2đ) +) Với x 0: Phương trình đã cho trở thành 
 = 2x + 1 . Giải được x = 0
 +) Với x 0: Phương trình đã cho trở thành
 = 2x + 1. Giải được x 
 Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: 
b)(2đ) Từ giả thiết suy ra x2 – x + 1 = 2x hay x2 = 3x – 1.
 Suy ra x0 và x3 = (3x – 1)x = 3x2 – x = 8x – 3
 x4 = (8x – 3)x = 8x2 – 3x = 21x -8
Do đó B = = =5
Câu4: (3đ) Ta có x2 – 2xy + x - 2y =(x – 2y)(x + 1) vì x nên x + 1 > 0).
 Do đó M = x2 – 5y2 + 3x 4y2 – 5y2 + 6y = -y2 + 6y = -(y – 3)2 + 9 9.
M = 9 khi và chỉ khi y = 3, x = 6.
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9.
Câu5: (6đ) 
a)(3đ) Ta có CDE ~ CAB(hai tam giác vuông có góc C chung)
 ~ (Vì AHD vuông cân) vuông cân AE = AB(đfcm).
b)(3đ) Từ ABE vuông cân kết hợp với GT suy ra AM BE.Kéo dài AM cắt BC tại K. Ta có: AHK ~ BMK ~ HKM(vì ABE vuông cân nên AM vừa lầ đường trung tuyến vừa là đường phân giác suy ra ) 
A
C
B
H
E
D
K
M
1
1
C
A
1
1

Tài liệu đính kèm:

  • docDe thi olimpic 6789.doc