Đề thi Olympic Toán Khối THCS - Năm học 2009-2010

đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1:
 a) Rút gọn A = 
b) Tính B = 
c) So sánh với 
Câu 2: 
 Cho phân số A = ( n Z )
Tìm n để A có giá trị nguyên
Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
Câu3:
 a) Tìm x Z biết 
b) Chứng minh rằng nếu a, b N và a + 5b 7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7
c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau
Câu 4:
 Cho góc AMC = . Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx, MT là tia phân giác của góc xMy
Tính AMy
Chứng minh góc CMT = 
Câu 5:
Cho S = 
Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên
Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi . Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi . Hỏi mỗi loại có mấy xe?
----------------------------
Hướng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 6
Câu 1: ( 5 điểm)
a) (2điểm) A = 
b) (1,5điểm)
B = 
 = = 
 = 
c)(1,5điểm) Ta có = 
 Vì 
Câu 2 (3điểm)
 a) (2điểm) 
A Z ú Ư(6) = 1,-1;2;-2;3;-3;6;-6	
5n - 3
1
-1
2
-2
3
-3
6
-6
5n
4
2
5
1
6
0
9
-3
n
1
0
b)(1điểm) 
A có giá trị lớn nhất có GTLN5n – 3 là số nguyên dương nhỏ nhất 
5n – 3 = 2 5n = 5 n = 1 Khi đó GTLN của A là 5
Câu 3: (6 điểm)
a) (2 điểm) 
b) (2 điểm) Xét hiệu 5(10a + b) – (a + 5b) = 49a 7 mà a + 5b 7 => 5(10a + b) 7 
do (5;7) = 1 => 10a + b 7 (đpcm)
c) (2 điểm) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d = > 6n +5 d và 2n + 1d =>
6n + 5 – 3(2n + 1) d => 2 d Do d là ước của số lẻ => d = 1 => (2n + 1; 6n +5) = 1
Câu 4: (3 điểm) y C
a) (2 điểm)Vì góc xMC và góc CMA kề bù => 
gócxMC = 
Vì My là tia phân giác của góc xMC
=> góc xMy = mà góc góc xMy kề bù với T
góc AMy => góc AMy = 
 x M A
b)( 1 điểm)
 Do MC là ti phân giác của góc AMy. MT là tia phân giác của yMx
mà góc AMy và góc yMx là hai góc kề bù => My năm giữa 2 tia MC và MT 
gócCMT = góc CMY + góc yMT = góc AMy + góc yMx = .120 + .60 = 
Câu 5: (3 điểm) (Mỗi câu đúng cho 1,5 điểm)
Ta có 
 49 s/h B
 = 49 – B
B = 
Ta lại có 
B = 
=> 48 (đpcm)
b) Gọi x là loại số xe 12 chỗ
 y là loại số xe loại 7 chỗ ( ĐK x , y )
 Ta có 12x + 7y = 64 (1)
Ta thấy 12x 4 , 64 4 => 7y 4 mà (4;7) =1 => y 4.(2) 
 Từ (1) => 7y y y = 4; 8
Với y = 4 => 12x +28 = 64 => x = 3 (TM)
Với y = 8 => 12x + 56 = 64 => 12x = 8 Không thoả mãn
 Vậy có 3 xe loại 12 chỗ và 4 xe loại 7 chỗ
---------------
đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu1.
a.Tính: 
b. So sánh: và 
Câu 2:
Cho . 
 Chứng minh rằng:
(Với và các mẫu khác o)
b. Cho hàm số: xác đinh với moi giá tri của . Biết rằng với mọi ta đều có . Tính.
Câu 3. 
a. Tìm x biết:
b. Tìm tất cả các giá tri nguyên dương của x và y sao cho:
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho BM=MN=NC. Gọi H là trung điểm BC. 
a. Chứng minh: AM=AN và AHBC
b. Chứng minh 
c. Kẻ đường cao BK. Biết AK= 7cm; AB=9cm. Tính độ dài BC.
---------------------------
Cõu 1(4đ)
1.a(2đ)
1.b(2đ)
Cõu 2(4đ)
2.a(2đ)
2.b(2đ)
Cõu 3(4đ)
3.a(2đ)
3.b(2đ)
Cõu4(2đ)
Câu 5(6đ)
5.a(2đ)
5.b(2đ)
5.c(2đ)
Hướng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
 Môn: toán – lớp 7
Ta cú:
Ta cú:
Vậy A<B
Từ giả thiết suy ra:
Từ (1), (2), (3) ta cú:
Hay 
Vậy 
Với x=2 ta cú: 
Với ta cú 
Giải ra tỡm được 
Giải ra tỡm được x=4 hoặc x=5 hoặc x=6.
Từ 
Vỡ x, y nguyờn dương thuộc ước của 25.
Giải ra tỡm được cỏc cặp giỏ trị x; y nguyờn dương thoả món điều kiện bài toỏn là: (x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30).
Áp dụng tớnh chất và , dấu “=” xảy ra khi và dấu “=” xảy ra khi a=0. Ta cú:
Dấu “=” xảy ra khi 
và dấu “=” xảy ra khi x=2009.
 dấu “=” xảy ra khi 2010.
 dấu “=” xảy ra khi x=2009 và y=2010.
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2011 khi x=2009 ; y=2010.
-Chứng minh đựơc ABM=ACN(cgc)AM=AN
- Chứng minh đựơc ABH=ACH(cgc)
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA
Chứng minh được và AM=AN=BD
-Chứng minh được BA>AMBA>BD
-Xét có BA>BD hay 
Vì AK nên chỉ có hai trường hợp xảy ra
TH1:
- nhọn k nằm giữa hai điểm A,C
Mà AC=AB 
- vuông tại K 
- vuông tại K nên ta có
BC=
TH2:
- tù A nằm giữa hai điểm K,C KC=AK+AC=16cm
- vuông tại K 
- vuông tai K 
Vậy BC=6cm hoặc BC=
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5
1đ
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
H
M
B
A
C
N
K
đề thi Olympic năm học 2009-2010 
Môn: toán – lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
--------------------------
Câu1: Cho biểu thức: A = 
Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A.
Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Câu2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
 (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3
 b) áp dụng giải phương trình:
 (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
Câu3: a) Giải phương trình: = 2x + 1
 b) Cho số thực x thoã mãn: 
 Tính giá trị của biểu thức: B = 
Câu4: Cho x, y là các số thực không âm thoã mãn:
 x2 – 2xy + x - 2y 0. Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức:
 M = x2 – 5y2 + 3x
Câu5: Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh: AE = AB
Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM.
----------------------
Hướng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 8
Câu1: (3đ)
a) (2đ) +)Điều kiện: 
 +) Quy đồng mẫu số và biến đổi được: A = 
b) (1đ) Ta có A = = -1 + . Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 1 – 2x = x = 0 hoặc x = 1.
Đối chiếu ĐK ban đầu x = 0 và x = 1 không thoã mãn. Vậy không có giá trị x nào thoã mãn yêu cầu bài toán.
Câu2:(4đ) 
(2đ) Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
 áp dụng ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3 
 = (3x – 2)3 + ( - x + 3)3 + ( - 2x - 1)3
 = 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1).
 b) (2đ) Ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
 (3x – 2)3 – (x – 3)3 - (2x + 1)3 = 0
 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) = 0
 x = hoặc x = 3 hoặc x = - 
Câu3:(4đ) 
 a)(2đ) +) Với x 0: Phương trình đã cho trở thành 
 = 2x + 1 . Giải được x = 0
 +) Với x 0: Phương trình đã cho trở thành
 = 2x + 1. Giải được x 
 Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: 
b)(2đ) Từ giả thiết suy ra x2 – x + 1 = 2x hay x2 = 3x – 1.
 Suy ra x0 và x3 = (3x – 1)x = 3x2 – x = 8x – 3
 x4 = (8x – 3)x = 8x2 – 3x = 21x -8
Do đó B = = =5
Câu4: (3đ) Ta có x2 – 2xy + x - 2y =(x – 2y)(x + 1) vì x nên x + 1 > 0).
 Do đó M = x2 – 5y2 + 3x 4y2 – 5y2 + 6y = -y2 + 6y = -(y – 3)2 + 9 9.
M = 9 khi và chỉ khi y = 3, x = 6.
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9.
Câu5: (6đ) 
a)(3đ) Ta có CDE ~ CAB(hai tam giác vuông có góc C chung)
 ~ (Vì AHD vuông cân) vuông cân AE = AB(đfcm).
b)(3đ) Từ ABE vuông cân kết hợp với GT suy ra AM BE.Kéo dài AM cắt BC tại K. Ta có: AHK ~ BMK ~ HKM(vì ABE vuông cân nên AM vừa lầ đường trung tuyến vừa là đường phân giác suy ra ) 
A
C
B
H
E
D
K
M
1
1
C
A
1
1