Đề thi Olympic huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2006-2007

đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 8
Năm học 2006-2007
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Phân tích thành nhân tử.
 a) 
 b) 
Bài 2. Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6.
Bài 3. a) Cho a – b = 1. Chứng minh a2 + b2 
 b) Cho 6a – 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2
Bài 4. Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21. Tính f(-1) + f(5).
Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh:
Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.
đáp án toán 8
Bài 1. Phân tích thành nhân tử.(4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
 a) Ta nhận thấy a = 1, a = 2 là nghiệm của đa thức nên: 
Bài 2. Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6. (3 điểm)
 A = a + b + c 3 =>2A 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2
 C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c 
 = a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2)
a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 => C 6 => B 6 
Bài 3. a) Cho a – b = 1. Chứng minh a2 + b2 (*).(4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
 Từ a – b =1 => a =1 + b => a2 =1 + 2b + b2, thay vào (*) ta có: 1 + 2b + 2b2 
 => 4b2 + 4b +1 0 =>(2b + 1)2 0. BĐT này luôn đúng. Vậy a2 + b2 .
 Dấu bằng xẩy ra (2b + 1)2 b =- và a = ;
 b) Cho 6a – 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2
 Đặt x = 2a; y = - 5b. áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 
 (3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 Hay 4a2 + 25b2 .
Dấu bằng xẩy ra 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b
Bài 4. Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21. Tính f(-1) + f(5). (4 điểm)
Nhận xét: g(x) = 2x2 + 3 thoả mãn g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21.
 Q(x) = f(x) - g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x = 1, x = 2, x = 3
 Vậy Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - a); ta có: 
 f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + 3 = 29 + 24a.
 f(5) = Q(5) + 2.52 + 3 = 173 - 24a.
 => f(-1) + f(5) = 202
Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh:
Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.
 .(4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
 C
 F
M
N
A
E
B
 a)ANC vuông tại N (vì AM = MC = MN)
 CNM + MNA = 1v
 BAN + NAC = 1v
 Mà MNA = NAC => CNM = BAN
 Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN
 => BNE BAN 
 b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM = MN. 
 Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 
 => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) =>BAN BFA =>
 (Đpcm)
Cách khác: b) Ta có:ACN EAN => 
 BNE BAN =>. Từ (1) và (2) => BN = AE
 Từ 
Từ (3) và (4) => (Đpcm)