Đề thi Olympic huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2005-2006 - Trường THCS Bình Thịnh

Phòng giáo dục và đào tạo đức thọ- hà tĩnh
Trường thcs bình thịnh
đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 8
Năm học 2005-2006
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - 6
Bài 2. Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 x4 + y4 + z4 Biết x + y + z = 2
Bài 3. Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn: 
 Chứng minh: 
Bài 4. Cho a, b, c, là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = AB. Đường thẳng MC cắt NA tại E, đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại F
Chứng minh AF = AM.
Gọi H là trung điểm của FC, Chứng minh EH = BM
Hướng dẫn chấm ôlim pic
 Môn toán lớp 8
năm học 2005-2006
Bài 1 . (4 điểm)
 Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - 6
Ta thấy: f( -2) = 0; f(3) = 0, nên f(x) có 2 thừa số là (x + 2)(x - 3), do đó 
 (2đ)
 f(x) chia hết cho x2 - x - 6; => f(x) = (x + 2)(x - 3)( x2 + x + 1) (1đ)
 (Vì x2 + x + 1 = x2 + x + > 0) (1đ)
Bài 2. (4 điểm)
 Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 x4 + y4 + z4 Biết x + y + z = 2
áp dụng công thức Buhiacopski ta có:
 (2đ)
 => => (1đ)
 Vậy giá trị nhỏ nhất của 
 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = (1đ)
Bài 3. (4 điểm)
 Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn: 
Chứng minh: 
Từ giả thiết =>
 (bx4 + ay4)(a + b) =ab(x2 + y2)2 (1đ)
 b2x4 +a2y4 - 2abx2y2 = 0 (bx2 - ay2)2 = 0 (1đ)
 bx2 - ay2 = 0 (1đ)
 (Điều phải cm) 
 (1đ)
Bài 4. (4 điểm)
 Chứng minh bất đẳng thức:
Kí hiệu vế trái là A vế phải là B, xét hiệu A - B
 (0.5đ)
 = (0.5đ)
 = . (0.5đ)
 Do a, b, c bình đẳng nên giả sử , khi đó b(a - c) 0, c(b - a) 0, a(c - b) 0 (0.5đ)
 a3 b3 c3 =>abc + a3 abc + b3 abc + c3 => (0.5đ)
 =>A - B = (0.5đ)
 = (0.5đ)
 Mà nên A - B 0 (ĐPCM) Dấu bằng xẩy ra a = b = c (0.5đ)
Bài 5. (4 điểm)
 Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = AB. Đường thẳng MC cắt NA tại E, đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại F
Chứng minh AF = AM.
Gọi H là trung điểm của EC, Chứng minh EH = BM
Đường thẳng EC cắt đường thẳng BN tại K. (2đ)
Ta có: ACAB (gt), KBAB (gt) =>FC//KB
A
F
K
N
E
C
B
M
Từ (1) và (2) => (ĐPCM)
 b)Từ chứng minh trên suy ra: AFB = AMC => é ABF = éACM
 mà éABF + éAFB = 1v => éACM + éAFB = 1v => éFEC = 1v =>EH = mà (ĐPCM) (2đ)