Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn - Đề 91B (Có đáp án)

kì thi tuyển vào lớp 10 - THPT chuyên lam sơn.
môn thi: Toán học
bảng: B
Thời gian: 150 phút
đề bài
Bài 1 	(2 điểm) 
 Xét biểu thức : M = 
a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm giá trị của x để M = 
Bài 2 (2 điểm)
 Xét biểu thức A = y2 + 5xy +6x2.
a. Phân tích A thành nhân tử.
b. Tìm các cặp số (x; y) thoả mãn điều kiện:
x - y + 1 = 0 và A = 0.
Bài 3 (2 điểm)
 Giải phương trình sau:
 2x2 + 
Bài 4 (2 điểm)
 Giải phương trình:
 x3 + x2 - 4x - 4 = 0.
Bài 5 (2 điểm).
 Giải hệ phương trình sau:
Bài 6 (2 điểm)
 Cho a, b là hai số nguyên, xác định a để: 
 ax17 + bx16 + 1 chia hết cho x2 - x - 1.
Bài 7 (2 điểm). 
 Trong một tam giác đều cạnh a, người ta gieo vào đó một cách tuỳ ý
5 điểm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một cặp điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn .
Bài 8 (2 điểm).
 Cho góc xOy và một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc đó tại A và B. Qua A kẻ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn tại điểm C. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng OB, đường thẳng AK cắt đường tròn tại điểm E.
a. Chứng minh rằng 3 điểm O, E, C thẳng hàng.
b. Đường thẳng AB cắt OC tại điểm D. Chứng minh rằng:
Bài 9 (2 điểm).
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
f(x) = 
Bài 10 (2 điểm).
 Giả sử f(x) là một đa thức bậc 4 với hệ số nguyên.
Chứng minh rằng: Nếu f(x) với thì từng hệ số của f(x) cũng .
đáp án Đề thi đề xuất
kì thi vào 10 - thtp chuyên lam sơn.
môn thi: Toán học
bảng: B
Thời gian: 150 phút
Bài làm
Đáp án
Thang điểm
Bài 1 (2 điểm):
 ĐK: x 
0.25 đ
a. Ta có M = 
 = 
 =
0.75 đ
b. M = với các điều kiện nêu trên phơng trình trở thành:
 x3 - 7x
0.25đ
 Đặt t = x
0.25đ
 + x
0.25đ
 + x
0.25đ
Bài 2 (2 điểm) 
 a. Ta có A = y2 - 2xy - 3xy + 6x2 = y(y - 2x) - 3x(y - 2x)
 = (y - 2x)(y - 3x).
1đ
b. Ta có A = 0
0.25đ
 Để thoả mãn bài toán ta có hệ:
0.75đ
Bài 3 (2 điểm).
 ĐK: 
0.25đ
 Chuyển vế phơng trình ta đợc:
 Bình phơng hai vế ta đợc phơng trình hệ quả:
0,75đ
 Giải (1) ta đặt 
0,5đ
 Ta đợc phơng trình: 1 - 4t +8(1 - t2)t = 0
 Û 8t3 - 4t - 1 = 0.
 Û (2t + 1)(4t2 - 2t - 1) = 0.
 ị từ đó 
 Thử lại ta thu đợc nghiệm của phơng trình là:
 x = 0; 
0,5đ
Bài 4 (2 điểm) 
 Giải phơng trình:
 x3 + x2 - 4x - 4 = 0 Û x2(x + 1) - 4(x + 1) = 0.
 Û (x + 1)(x2 - 4) = 0
 Û (x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0
1đ
 Û
 Vậy phơng trình có 3 nghiệm: x = -1; x = 2; x = -2.
1đ
Bài 5 (2 điểm) 
 Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với hệ:
0,5đ
 + Nếu x = 0 thì kết hợp với (1) ta đợc y = 1.
 + Nếu y = 0 thì kết hợp với (1) ta đợc x = 1.
 + Nếu x + y = 0 Û x = -y Û x3 + y3 = 0 nên từ (1) không thoả mãn
0,5đ
 Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm là: (x;y) = (0;1), (1;0)
0,5đ
 Bài 6 (2 điểm)
 Đặt f(x) = ax17 + bx16 + 1, f(x) chia hết cho x2 - x - 1 có nghĩa là f(x) chia hết cho (x - a)(x - b) với a, b là hai nghiệm của phơng trình 
x2 - x - 1 = 0
0,5đ
 Vậy ta có:
0,5đ
0,5đ
 Vì a, b là nghiệm của phơng trình x2 - x - 1 = 0 nên ta có:
 a = 
 Dùng tổng và tích, bằng cách giảm bậc ta có a = 987.
0,5đ
Bài 7 (2 điểm)
 Chia tam giác đều ABC thành A
 4 tam giác đều bằng nhau, bằng
 cách vẽ 3 đờng trung bình của
 tam giác ABC (nh hình vẽ)
 Khi đó ta có: M N
 MN = NK = MK = a/2 (*) E
 Theo giả thiết, ta phải gieo F
5 điểm vào 4 tam giác vừa dựng.
Theo nguyên tắc Đirichlet thì
 có ít nhất một tam giác không B C
 chứa quá hai điểm. Giả sử tam K
giác MNK chứa 2 điểm E, F.
 Mặt khác, trong tam giác đều MNK, khoảng cách giữa hai điểm không lớn hơn độ dài cạnh của nó. Thật vậy, giả sử E ẻ MN, F ẻ MK
 Ta có: NF Ê NK (1)
 EF < max(MF, NF) (2).
 MF Ê MK = NK (3)
 Từ (1), (2) và (3) suy ra EF Ê MK, dấu '=' xảy ra khi E, F trùng với hai đỉnh của tam giác MNK.
 Do vậy EF Ê MN (**)
 Từ (*) và (**) suy ra: EF Ê a/2
2đ
 A
Bài 8 (2 điểm) 
 C
 I E
 H
 O
 K
 B
 Ta có D EKB đồng dạng với D KAB (vì có chung, cùng chắn cung BE)
 Nên 
 Mà chung nên D EKB đồng dạng D KAB.
 ị 
0,5đ
 Ta lại có (2) cùng chắn cung AE
 Từ (1) và (2) suy ra 
0,25đ
 Xét hai tam giác D OEK và D AEC thì 
 Suy ra O, E, C thẳng hàng
0,25đ
 b. Qua E kẻ đờng thẳng song song với OB cắt AO tại I, cắt AB tại H
 ta có EI = EH
0,25đ
 Mặt khác 
0,25đ
 (3)
0,25đ
 Từ (1), (2) và (3) ta có 
0,25đ
Bài 9 (2 điểm)
 Ta có x2 + 2x5 = (x + 1)2 + 4 > 0 "x nên f(x) luôn xác định "x
0,25đ
 Thực hiện phép chia đa thức ta đợc:
 f(x) = 4x2 + 8x + 20 + 
 f(x) = 4(x2 + 2x + 5) + 
 Đặt y = x2 + 2x + 5 > 0, ta có f(x) = 4y + 
0,75đ
 Dấu "=" xảy ra khi 4y = 
 y = - 8. không thoả mãn y > 0
0,25đ
 Với y = 8 ta có x2 + 2x + 5 = 8 Û x2 + 2x - 3 = 0 Û x = -3 hoặc x = 1.
0,5đ
 Vậy với x = -3 hoặc x = 1 thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 64
0,25đ
Bài 10 (2 điểm)
 Giả sử f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
 Do f(0) = e nên e 
0,25đ
 Mặt khác 
0,5đ
0,5đ
 Vậy 
 và 
0,5đ
 Vậy các hệ số của f(x) đều chia hết cho 7
0,25đ