1. Chứng minh: và a2 + b2 + c2 = 90 thì . (2điểm)
2. Đơn giản biểu thức: với (1điểm)
3. Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0. Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là:
(*)( với giả thiết là phương trình có nghiệm). (2điểm)
4. Cho tam giác ABC (A = 900) hai cạnh góc vuông là là b và c. Lấy điểm sao cho = và . Chứng minh:
(2điểm)
5. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a và CD = 2a.
a) Chứng minh
b)Tính thể tích tứ diện ABCD.
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút Đề thi bảng A 1. Chứng minh: và a2 + b2 + c2 = 90 thì . (2điểm) 2. Đơn giản biểu thức: với (1điểm) 3. Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0. Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là: (*)( với giả thiết là phương trình có nghiệm). (2điểm) 4. Cho tam giác ABC (A = 900) hai cạnh góc vuông là là b và c. Lấy điểm sao cho = và . Chứng minh: (2điểm) 5. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a và CD = 2a. Chứng minh b)Tính thể tích tứ diện ABCD. (1điểm) 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + x3 + x4 + x5 = 271440 (2điểm) Hớng dẫn chấm Câu 1: a) ta có = b) áp dụng đẳng thức trên với n = 1, n = 2n = 99. Ta có .. -------------------------------------- cộng theo từng vế S = 1 - Vậy S = 1.0 0.25 0.5 Câu 2: Điều kiện : x 0 Gọi M (x, y) là điểm cần tìm => (x, y) là nghiệm của Hệ Giải (2) ta có y1 = 2 y2 = Với y1 = 2 (1) trở thành x + 1 = ú (2 = 0 ú x = 1 Với y2 = (1) trở thành x + 1 = ú x - + 1 = 0 ú (-)2 + = 0 vô n0 vậy điểm M cần tìm: M (1, 2) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3: Giải sử n2 + 2006 là số chính phơng => n2 + 2006 = m2 (m Z) Ta có m2 - n2 = 2006 ú (m - n) (m + n) = 2006 Nếu m, n khác tính chẵn lẻ => m2, n2 khác tính chẵn lẻ => m2 - n2 là số lẻ => vô lí Hay m, n cùng tính chẵn lẻ Khi đó Nhng 2006 không chia hêt cho 4 vậy không tồn tại n N để n2 + 2006 là số chính phơng 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4: Gọi C là giao điểm của 0A và (0) I là trung điểm 0C => I cố định Xét tam giác 0IM và tam giác 0MA Có góc Ô chung. (gt) => tam giác 0IM ~ tam giác 0MA => AM = 2IM. Vậy MA + 2MB = 2 (IM + MB) 2BI không đổi Đẳng thức xảy ra ú B, M, I thẳng hàng. KL: P = MA + 2MB nhỏ hhất = 2BI khi B, M, I thẳng hàng. Khi đó M là giao điểm của BI và (0). 0.25 0.25 0.25 0.254 Câu 5: áp dụng định lý ta lét nhân 2 vế với AE.AF ta có BE. AF + AE.DF = AE. AF Lại có AE. AF = AC . EF = 2 SAEF Nên BE. AF + AE . DF = AC. EF (1) Mặt khác: AF2 = CP . EF => AF = DF2 = CE. EF -> DF = Thay vào (1): BE ú BE + DF = AC 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 6: Ta có : x, y, z N* x + y + z = xyz ú (1) Do x ,y, z có vai trò bình đẳng nh nhau nên ta giả sử 1 x y z nên (1) 1 = -> x2 3 do x N* => x = 1 khi đó ta có 1 + y + z = yz ú (z-1) (y-1) = 2 do => => vậy 3 số cần tìm là 1, 2 , 3 0.25 0.25 0.25 0.25
Tài liệu đính kèm: