Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn - Đề 58A (Có đáp án)

 Sở GD-ĐT Thanh Hóa đề thi tuyển sinh vào lớp 10 lam sơn
Trường THPT Triệu Sơn 4 Năm học: 2006-2007
 Môn: toán (Thời gian: 180 phút)
 Câu 1: Cho biểu thức: (với)
 1. Rút gọn A.
 2. Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của A?
 Câu2: 
 1. Giả sử a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình:
x2 –2x –ab(a+b-2c)-bc(b+c-2a) –ca(c+a-2b)+1=0
luôn có nghiệm. Khi đó tìm điều kiện để phương trình có nghiệm kép.
 2. Giải phương trình:
 .
 Câu 3: 
 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
 y=(x-2).(3x2+x-14) với .
 2. Cho hai hàm số và .
Tìm m sao cho hai đồ thị hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
 Câu 4: 
 1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn phương trình:
 x2-2x+y-6+10=0.
 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:
 (có tất cả 2006 dấu căn thức).
 Câu 5: 
Một hình chữ nhật có kích thước là a,b. Hãy tìm vị trí các đỉnh của hình bình hành MNPQ (để diện tích của MNPQ là lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó?
	 N
 B	 C
 M P
	 A	 D	
 Q 
Chứng minh rằng trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thẳng hàng?
Ghi chú: 1, Tất cả các câu đều được sáng tác ( trừ câu 5.2 lấy từ cuốn Thực hành giải toán).
 2, Thang điểm 10 (mỗi bài 01 điểm).
Đáp án
Nội dung
Điểm
Câu I: 1. A=
=
1đ
2. Do a2 + a +1 = ị A³
Vậy minA=- (không thoã mãn điều kiện )
Vậy không tồn tại GTNN của A.
1đ
Câu II: 1. x2 –2x –ab(a+b-2c)-bc(b+c-2a) –ca(c+a-2b)+1=0
D’=1+ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(a+c-2b)-1
 = ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)
 = abc
 = abc
Theo bđt Côsi: 
ị D’³0 đ pt luôn có nghiệm
pt có nghiệm kép ô D’=0 ô a=b=c
1đ
2. 
ĐK: 
VF = (x-3)2 + 2 ³ 0 + 2 =2
Ta c/m VF Ê 2 thật vậy 
 ô2+2
 ô đúng
Vậy pt ô thoã mãn điều kiện
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3.
1đ
Câu III: 1. y=(x-2)(x-2)(3x+7)
 =(2-x)(2-x)(2x+
Do -, 2x+
áp dụng bđt Côsi ta có:
y
Vậy maxy = 4.
1đ
2. yêu cầu bài toán ô pt: có hai nghiệm trái dấu
ô pt: x2 + 2mx –8 +4m =0 có hai nghiệm trái dấu
ô a.c = 4m –8 <0 ô m<2
1đ
Câu IV: 1. x2 – 2x + y -6 + 10=0
ô (x-1)2 + (
1đ
2. 
Từ pt với k,m ẻN
Vậy pt có nghiệm nguyên duy nhất x=y=0
1đ
Câu V: 1. Đặt MB =BN=DP=DQ=x ta có:
SMNPQ = SABCD - SMBN - SNAP - SPDQ - SQCM 
 = ab –x2 –(a-x)(b-x)=-2x2 + (a+b)x
 = -2(x2 - 
Vậy max SMNPQ =2.(
1đ
L
B
A
H
G
O
D
F
C
2. 
(1)
Kéo dài CO lấy L sao cho OC=OL
ị đ LB//AH
Tơng tự, LA//BH đ LBHA là hình bình hành
đ LB = AH (2)
Từ (1) và (2) đ mà G là trọng tâm đ 
Vậy (*)
Mà (**)
Từ (*) và (**) đ DOGD đồng dạng với DHGA đ 
Mà D,G A thẳng hàng đO,G,H thẳng hàng.
1đ