Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn - Đề 40B (Có đáp án)

Së gi¸o dôc ®µo t¹o thanh ho¸
Tr­êng THPT BC sè 1 TÜnh gia
§Ò thi vµo líp 10 chuyªn lam s¬n
m«n to¸n chung
§Ò ®Ò xuÊt
Thêi gian 150’
Bµi: 1(2.5®)
1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:	
2. Chøng minh r»ng:
	a\	ax2+(ab + 1)x + b = 0 cã nghiÖm víi mäi a, b
	b\	T×m a vµ b ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x=1/2
Bµi 2:(2®) Cho hÖ ph­¬ng tr×nh
	a\ Gi¶i hÖ víi m=2
	b\T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm
Bµi :3(3®)
	Cho tam gi©c ABC vu«ng t¹i A cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ BC = a, AC= b, AB=c; VÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC ta dùng 2 nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB vµ AC. C¸t tuyÕn di ®éng qua c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB ë D vµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC t¹i E.
	a\ Chøng minh r»ngtø gi¸c BDCE lµ h×nh thang vu«ng vµ trung ®iÓm O cña BC c¸ch ®Òu D vµ E.
	b\T×m quÜ tÝch trung ®iÓm M cña DE
	c\ Gäi P lµ chu vi cña tø gi¸c BDCE. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P theo a,b,c
Bµi 4:(1.5®)
	Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh bªn vµ ®¸y ®Òu b»ng a
	a\ Gäi O lµ trung ®iÓm cña ®­êng cao SH. Chøng minh r»ng AO vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (BOC)
	b\TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp O.ABC
Bµi 5:
	Cho a>0, b>0, c>0. Chøng minh r»ng:
Së gi¸o dôc ®µo t¹o thanh ho¸
Trêng THPT BC sè 1 TÜnh gia
§¸p ¸n líp 10 chuyªn lam s¬n
m«n to¸n chung
§Ò ®Ò xuÊt
Thêi gian150’
Bµi: 1(2.5®)
1. Gi¶i ph¬ng tr×nh:	
	0.5®
 	 0.25®
 	 0.25®
2. Chøng minh r»ng
a\	ax2+(ab + 1)x + b = 0 cã nghiÖm víi mäi a, b	 	
	Víi a=0; ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-b 	0.25®
 Víi a¹0 ta cã =(ab – 1)2 0 	 	0.25®
KÕt luËn:	ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi a, b
b\	T×m a vµ b ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x=1/2
	NÕu a=0; ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x=1/2 th× b=-1/2 0.25®
	NÕu a¹0 th× pt cã nghiÖm duy nhÊt khi ab=1 0.25®
	Khi ®ã 
	 0.5® 
KÕt luËn:	§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x=1/2 th× b=-1/2 vµ a=-2 0.5®
Bµi 2:(2®) a\ Gi¶i hÖ víi m=2
	§Æt S=x+y;	P=xy	0.25®
	Gi¶i ®îc S=2; P=0	0.25®	
Suy ra 	 vµ 	0.5®	
	b\§Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi ph¬ng tr×nh: x2 + (m – x)2 =4 cã nghiÖm	0.25®
	 cã nghiÖm	
	0.25®
	0.25®
KÕt luËn:	§Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi 	0.25®
Bµi :3(3®)
a\: Ta cã BD 
	 CE	Suy ra tø gi¸c BDEC lµ h×nh thang vu«ng	0.25®
	M lµ trung ®iÓm cña DE suy ra OM	B
	lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang BDEC	0.25®
	nªn OM	0.25®
	VËy O c¸ch ®Òu D vµ E	K	0.25®
	D	 O
 	 C
	 A	I
	M
	E
b\Tõ c©u a ta cã: AM	0.25®
 suy ra quÜ tÝch cña M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AO	0.25®
Giíi h¹n:
	Khi D trïng B th× E trïng A
	Khi D trïng A th× E trïng C	0.25®
Nªn quÜ tÝch cña M lµ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh KI 	0.25®
c\ §Æt BD=x; DA=y; AE=z; EC=t
ta cã P=x+y+z+t+BC	0.25®
mÆt kh¸c:	x+y
	z+t	0.25®
 vËy P lín nhÊt khi x=y; z=t vµ Pmax=(b+c)+a	0.5®
Bµi 4:(1.5®)
	S
	 O	
	C
	 A	 H
	B
a\ Ta cã HA=HB=HC=a	HO=	
	OA=OB=OC=	0.25®
¸p dông ®Þnh lý pitago suy ra OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc
 nªn OA	 	0.25®
b\	VO.ABC=	0.5®
Bµi 5: V× a>0, b>0, c>0 Ta cã:	
	0. 5®	
T¬ng tù:	 	
	0.25®	
Céng vÕ víi vÕ ta ®îc (®pcm)	0.25®