Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Gia Viễn (Có đáp án)

UBND HUYỆN GIA VIỄN
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI KHẢO SÁT
CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn: Toán
Năm học: 2014- 2015
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (5 điểm) Cho biểu thức: . 
a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. 	
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (4 điểm) Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 
a) = 0
b) 
c) 
Câu 3. (3 điểm) 
1) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1
2) Tìm a,b sao cho chia hết cho đa thức 
3) Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a > b > 0.TÝnh: 
Câu 4. (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất kì (CM < CD), vẽ hình vuông CMNP (P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H, MP cắt BD tại K. 
a) Chứng minh: DH vuông góc với BM. 
b) Tính Q = 
c) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2
Câu 5. (1,5 điểm) 
1) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng: 
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
---------------- Hết ----------------
UBND HUYỆN GIA VIỄN 
PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8
Năm học 2014 - 2015
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
(Hướng dẫn này gồm 05 câu, 05 trang)
CHÚ Ý : 
 - Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó 
 - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó
Câu
Đáp án
Biểu điểm
1
(5 điểm)
Cho biểu thức: . 

a) (3,5 điểm)
* ĐKXĐ: 1,0 điểm
Giá trị của A được xác định Û 
Û ÛÛ
- ĐKXĐ : 
(Nếu HS chỉ nêu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm) 
* Rút gọn : 3,0 điểm 
Ta có 
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,75 điểm
0,75 điểm
0,75 điểm
0,75 điểm

b) (1,0 điểm) 
Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
* Î Z Û x +1 2x Þ 2x + 2 2x Mà 2x 2x 
Þ 2 2x Þ 1 x Þ x = 1 hoặc x = -1 
* Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) 
Vậy A= Î Z Û x = 1 hoặc x = -1

0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm

2
(4 điểm)
Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 

a) (1,5 điểm) = 0
 Û (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + 1 = 0 
 Û (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 = 0 
 Û (x2 + 2x + 1)2 = 0
 Û (x+1)4 = 0 Û x + 1 = 0 Û x = -1
Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = -1 

0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
b) (1,5 điểm) 
 Û 
 Û 
 Û y + 1 = 0 hoặc = 0
 Û y = -1 hoặc x = 0
Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (0; -1)

0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
c) (1,0 điểm) (1)
- ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8
- PT (1) Û 
Û 
Û 
Û 
Û 
Û x = 0 hoặc = 
Û x = 0 hoặc x2 + 6x + 8 = x2 + 14x + 48
Û x = 0 hoặc 8x = - 40 Û x = - 5 (thỏa mãn ĐKXĐ) 
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm : x1 = 0; x2 = - 5

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm

3
(3 điểm)

1) (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết:
 p = n3 - n2 + n - 1
- HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) 
- Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài
- Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5
- Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1
 - Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2) (1,0 điểm) Tìm a,b sao cho chia hết cho đa thức 
* = (x -1)(x - 2) 
* 
Û = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi xÎ R)
- Thay x1 = 1, x2 = 2 vào (1) ta có: 
 a + b + 6 = 0 và 8a + 4b + 16 = 0
Þ a = 2 và b = -8
Vậy Û a = 2 và b = -8

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
3) (1,0 điểm) 
Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a > b > 0.TÝnh: 
- HS biến đổi được : 
 4a2 + b2 = 5ab Û (4a - b)(a -b) = 0 Û b = 4a hoặc b = a
- Mà 2a > b > 0 Þ 4a > 2b > b nên a = b 
- Ta có : =
- Vậy 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0 thì 

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
4
(6,5 điểm)
- Hình vẽ 0,25 điểm 
(2,25 điểm) Chứng minh: DH vuông góc với BM
- HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900
- CM: D DPC = D BMC (cgc)
- Chứng minh được BHP = 900 

0,75 điểm
0,75 điểm
0,75 điểm
(2,0 điểm) Tính Q = 
- HS CM : MP ^ BD 
- ; 
Tương tự : 
Þ Q = 

0,5 điểm 
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2
- CM: D MCP ~ DMKD (g.g) 
 Þ MP . MK = MC . MD (1)
- CM: DDBC ~ DDKM (g.g) 
 Þ DK . BD = DC. DM (2) 
- Từ (1) và (2) Þ MP . MK + DK . BD = DM .(MC + DC)
 Þ MP . MK + DK . BD = DM2

0,5 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
5
(1,5 điểm)
1) (0,75 điểm) 
- HSCM: ≥ 2 với mọi x, y > 0
Þ -2 ≥ 0; - 1 ≥ 1
Þ (-2)( -1) ≥ 0 
Þ 
Þ 
Dấu “=” xảy ra Û x = y > 0

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2) (0,75 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
*) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 Þ x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x Î R (1)
 y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 Þ y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y Î R (2)
+ 
 = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009
 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009
 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3)
+ Từ (1) ; (2) và (3) Þ B ≥ 2.3 + 2009 Þ B ≥ 2015
*) B = 2015 Û x = 1 và y = -3
*) Min B = 2015 Û x = 1 và y = - 3

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
---------------- Hết ----------------