Đề thi HSG Toán Casio 8 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 8 VÒNG HUYỆN, NĂM HỌC: 2012-2013
 Đề thi môn: GTBMT CASIO 8
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 ________________________
Câu 1: (5điểm) 
a. (2.5điểm) Cho đa thức P(x) = x 5 – 15x4 + 85x3 – 223x2 + 274x – 119 và Q(x) = (x–1) 
(x–2) (x-3). Gọi R(x) là đa thức dư khi chia P(x) cho Q(x). Xác định R(x) 
b. (2.5điểm) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn: Chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, 
chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia cho 7 dư 6, chia cho 8 dư 7, chia 
cho 9 dư 8, chia cho 10 dư 9.
Câu 2: (4điểm) Cho ABC vuông ở A biết: BC = 8,916 và AD là phân giác của góc A. 
Biết BD = 3,178. Tính AB, AC và lập qui trình bấm phím.
Câu 3: (4điểm) Cho đa thức P(x) = x5+a x4 + bx3 + cx2 + dx + e có P(1) = 15; 
P(2)=21; P(3)= 31; P(4)= 45. Tính A = 
Câu 4: (5điểm) Tìm nghiệm của phương trình, kết quả viết dưới dạng phân số:
 4 1 2
 4 
 1 8
 2 1 
 1
 3 9
 2 4 
 2 x 1 4
 4 1
 1 2 
 5 7 
 1 
 8 
Câu 5: (2điểm) Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sau ra phân số:
0,(27) 0,87(6) 2,(345) 5,12(72)
 HẾT
 1 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 8 VÒNG HUYỆN, NĂM HỌC: 2012-2013
 Hướng dẫn chấm môn: GTBMT CASIO 8
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 _______________________ 
Câu 1: (5điểm) 
a. (2.5điểm) 
Giả sử P(x) = x5 – 15x4 + 85x3 – 223x2 + 274x – 119 = Q(x).A(x) + R(x) 
 (0,25điểm)
P(x) = (x–1)(x–2)(x-3) . A(x) + ax2 + bx + c ( vì đa thức chia Q(x) có bậc là 3 nên R(x) 
= ax2 + bx + c) (0,25điểm)
Ta có: P(1) = a + b + c = 3 (0,25điểm)
P(2) = 4a + 2b + c = 9 (0,25điểm)
P(3) = 9a + 3b + c = 19 (0,25điểm)
 a b c 3
Từ đó ta có hệ phương trình 4a 2b c 9 (0,25điểm)
 9a 3b c 19
 a 2
 b 0 (0,5điểm) 
 c 1
Vậy R(x) = 2x2 + 1 (0,5điểm)
b. (2.5điểm)
Gọi số cần tìm là a (0,25điểm)
Ta có: a + 1 chia hết cho 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 (0,5điểm)
Vậy a + 1 = BCNN (2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10) (0,5điểm)
= 23. 32. 5. 7 (0,5điểm)
= 2520 (0,5điểm)
Do đó a = 2520 – 1 = 2519 (0,25điểm)
Câu 2: (4điểm) 
 C
 D
 
 A B
Ta có AB2 AC 2 BC 2 (0,25điểm)
 AB BD
 (0,25điểm)
 AC DC
 AB2 BD2
 (0,25điểm)
 AC 2 DC 2
 2 AB2 AC 2 BC 2
 (0,5điểm)
 DB2 DC 2 DB2 BC DB 2
 BC
 AB DB (0,5điểm)
 DB2 BC DB 2
 BC 2
 AC BC DB (0,5điểm)
 BD2 BC DB 2
Qui trình lập phím
Ấn 8,916 Shift Sto A (0,25điểm)
 3,178 Shift Sto B (0,25điểm)
Ấn tiếp 
 Alpha A  Alpha B X 2 Alpha A Alpha B X 2 Alpha B 
 (1điểm)
Kết quả AB = 4,3198
Tính AC dùng đưa con trỏ lên chữ B cuối cùng của dòng biểu thức trên màng 
hình, sửa chữ B thành (A-B) và ấn = (0,25điểm)
Kết quả AC = 7,7996
Câu 3: (4điểm) 
Ta có:
P(1) = 15 = 2. 1 2 + 13; (0.25điểm)
P(2) = 21= 2. 2 2 + 13; (0.25điểm)
P(3) = 31 = 2. 3 2 + 13; (0.25điểm)
P(4) = 45 = 2. 4 2 + 13; (0.25điểm)
Đặt Q(x) = P(x) –(2x2 + 13) Khi đó Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0 (0.25điểm)
Chứng tỏ: Q(x) = P(x) –(2x2 + 13) chia hết cho (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) 
 (0.25điểm)
Vì P(x) có bậc 5 nên Q(x) có bậc 5 Q(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - r) 
 (0.25điểm)
Ta có : Q(x) = P(x) –(2x2 + 13) P(x) = Q(x) + (2x2 + 13) (0.25điểm)
Hay P(x) = ( x- 1)(x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - r) + (2x2 + 13) (0.25điểm) 
Ta có: P(50) = 49. 48. 47. 46. (50 - r) + 2. 50 2 + 13 (0.25điểm)
P(-45) = (-46).(-47).(-48) .(-49).(-45 - r) + 2.(-45)2 + 13 (0.25điểm) 
Vậy A = 
= 
 3 (0.5điểm)
= (0.25điểm)
= (0.25điểm)
= 120769557,5 (0.25điểm)
Câu 4: (5điểm) 
 4 1 2
 4 
 1 8
 2 1 
 1
 3 9
 2 4 
 2 x 1 4
 4 1
 1 2 
 5 7 
 1 
 8 
 2 4 4 
 2 x 1 (1điểm)
 4 2 1 1
 1 4 2 
 8 1 7 
 5 1 2 1 
 1 
 9 3 8 
 4
 28 2040 49
 x (1điểm)
 9 2359 19
 28 2040 19 49 2359
 x (1điểm)
 9 2359 19
 28 154351
 x (Tính riêng biểu thức của tử và mẫu) (1điểm)
 9 44821
 154351 9
 x (0,5điểm)
 44821 28
 1389159
 x (Tính riêng biểu thức của tử và mẫu) (0,5điểm)
 1254988
Câu 5: (2điểm; mỗi ý đúng 0.5điểm) 
 27 3 87 0,(6) 87 6 263
 0,(27) ,0,87(6) 
 99 11 100 100 100 900 300
 345 781 512 72 282
 2,(345) 2 ,5,12(72) 
 999 333 100 9900 55
 4