Đề thi HSG Toán 8 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 8 VÒNG HUYỆN, NĂM HỌC: 2012-2013
 Đề thi môn: Toán 8
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 ________________________
Câu 1: (5điểm) 
a. (2.5điểm) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 
= 0.
 x 17 x 21 x 1
b. (2.5điểm) Tìm x biết: 4
 1990 1986 1004
Câu 2: (5điểm) 
 x 3 y 3 z 3 3xyz
a. (3điểm) Rút gọn biểu thức sau: 
 (x y) 2 (y z) 2 (z x) 2
b. (2điểm) Cho 3 số phân biệt a, b, c. Chứng minh biểu thức: A = a 4 (b-c)+b4 (c-a)+c4 (a-b) 
luôn khác 0. 
Câu 3: (5điểm) Cho abc = 1. Tính M – N. Biết:
 2 2 2
 1 1 1 1 1 1 
M = a b c ; N = a b c 
 a b c a b c 
Câu 4: (5điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các 
cạnh AB, BC, CD, DA và I, K là trung điểm của các đường chéo AC, BD. Chứng minh:
a. Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành. 
b. Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng qui. 
 HẾT
 1 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 8 VÒNG HUYỆN, NĂM HỌC: 2012-2013
 Hướng dẫn chấm môn: Toán 8
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 _______________________ 
Câu 1: (5điểm) 
a. (2.5điểm)
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 (1điểm)
 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) (0.5điểm)
Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 (0.5điểm)
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 (0.25điểm)
Vậy (x, y, z) = (1, 3, -1) (0.25điểm)
b. (2.5điểm)
 x 17 x 21 x 1
 4 
 1990 1986 1004
 x 17 x 21 x 1
 ( 1) ( 1) ( 2) 0 (0.5điểm)
 1990 1986 1004
 x 2007 x 2007 x 2007
 0 (0.5điểm)
 1990 1986 1004
 1 1 1
 (x 2007)( ) 0 (0.5điểm)
 1990 1986 1004
 (x 2007) 0 (0.5điểm)
 x = 2007 (0.5điểm)
Câu 2: (5điểm) 
 x 3 y 3 z 3 3xyz
a. (3điểm): 
 (x y) 2 (y z) 2 (z x) 2
 (x y)3 3xy(x y) z 3 3xyz
 (0.5điểm)
 x 2 2xy y 2 y 2 2yz z 2 z 2 2xz x 2
 [(x y)3 z 3 ] [3xy(x y) 3xyz]
 (0.5điểm)
 2x 2 2y 2 2z 2 2xy 2yz 2xz
 (x y z)[(x y) 2 (x y)z z 2 ] 3xy(x y z)
 (0.5điểm)
 2(x 2 y 2 z 2 xy yz xz)
 (x y z)(x 2 2xy y 2 xz yz z 2 3xy)
 (0.5điểm)
 2(x 2 y 2 z 2 xy yz xz)
 (x y z)(x 2 y 2 z 2 xy yz xz)
 (0.5điểm)
 2(x 2 y 2 z 2 xy yz xz)
 x y z
 (0.5điểm)
 2
b. (2điểm)
 2 Biến đổi b - c = b – a + a - c ta được; (0.25điểm)
 4 4 4
 A = a b-a + a-c +b c-a +c a-b (0.25điểm)
 = a 4 b-a +a 4 a-c +b4 c-a +c4 a-b 
 4 4 4 4
 = a-b c -a + a-c a -b (0.25điểm)
 2 2 2 2
 = a-b c+a c-a c +a + a-c a-b a+b a +b (0.25điểm)
 2 2 2 2 
 = a-b a-c a+b a +b - a+c a +c (0.25điểm)
 = a-b a-c a3 +a 2b+ab2 +b3 -a3 -a 2c-ac2 -c3 
 2 2 2 3 3 
 = a-b a-c a b-c +a b -c + b -c (0.25điểm)
 = a-b a-c b-c a 2 +ab+ac+b2 +bc+c2 
 1 2 2 2
 = a-b a-c b-c a+b + b+c c+a (0.25điểm)
 2 
 Vì a, b, c là ba số phân biệt nên A 0 (đpcm) (0.25điểm)
Câu 3: (5điểm) 
 2 2 2
 1 1 1 1 1 1
M = a b c = a 2 2 b 2 2 c 2 2 0.5đ 
 a b c a 2 b 2 c 2
 1 1 1
 = 6 a 2 b 2 c 2 0.5đ 
 a 2 b 2 c 2
 1 1 1 a b 1 1 
N = a b c = ab c 0.5đ 
 a b c b a ab c 
 ab ac a bc b c 1
 = abc 0.5đ 
 c b bc a ac ab abc
 abc abc a 2 abc b 2 c 2 1
 = abc 0.5đ 
 c 2 b abc a abc abc abc
 1 1 1
 =1 a 2 b 2 c 2 1 0.5đ 
 c 2 b 2 a 2
 1 1 1
 = 2 a 2 b 2 c 2 0.5đ 
 a 2 b 2 c 2
 1 1 1 1 1 1
M – N = 6 a 2 b 2 c 2 2 a 2 b 2 c 2 1đ 
 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2
 = 4 (0.5đ )
Câu 4: (5điểm) Vẽ hình, viết GT, KL đúng được 0,5điểm.
 3 D
 P
 C
 K
 Q
 O
 I N
 B
 A M
a) (3,5đ)
 Chứng minh MNPQ, INKQ là hình bình hành
 *Ta có: QD = QA và PD = PC (gt) 0.25
 QP là đường trung bình của DAC 0.25
 1
 QP //AC và QP = AC
 2 0.25
 Tương tự AM = MB và BN = NC (gt) 0.25
 MN là đường trung bình của BAC 0.25
 1
 MN //AC và MN = AC
 2 0.25
 Tứ giác MNPQ có: MN//PQ và MN = PQ nên MNPQ là hình bình 
 hành. 0.25
 * Ta có: QD = QA và KD = KB (gt) 0.25
 QK là đường trung bình của DAB 0.25
 1
 QK//AB và QK = AB 0.25
 2
 Tương tự: NC = NB và IC = IA (gt) 0.25
 IN là đường trung bình của CAB 0.25
 1
 IN//AB và IN = AB 0.25
 2
 Tứ giác INKQ có QK//IN và QK = IN nên INKQ là hình bình hành. 0.25
b)(1đ) Chứng minh MP, NQ, IK đồng qui.
 - Tứ giác INKQ là hình bình hành nên nếu gọi O là giao điểm của 
 hai đường chéo QN và IK thì O là trung điểm của QN. 0.5
 - Tứ giác MNPQ là hình bình hành, QN và PM là hai đường chéo, 
 mà O là trung điểm của QN nên O là trung điểm của PM. 0.25
 - Vậy MP, NQ, IK đồng qui tại O. 0.25
 4