Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Trường THCS Cổ Bì

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
B×nh Giang:
Môn: TOÁN 9
Tr­êng THCS Cæ B×
Thời gian: 120’ ( không kể thời gian giao đề )
Bµi 1: (2 ®iÓm)
Cho biÓu thøc: 
Rót gän biÓu thøc .
T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bài 2 (2 đ): Rút gọn các biểu thức:
	a)
	b) 
Bài 3 (2 đ): a)Cho: . 
Tính giá trị biểu thức: A= 
b) Chứng minh: Với x > 1, ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 4 (2 đ): Có 37 cây táo có số trái bằng nhau, 17 trái hỏng , còn lại chia đều cho 79 người. Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy trái ?
Bài 5 (2 đ): 
 	Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, kẻ HE AC(EAC), gọi I là trung điểm HE. Chứng minh : AI BE.
HƯỚNG DẪN CHẤM
1
Bài 1 (2 đ):Gợi ý:
a). Phân tích để được:
12
29
-
=
-
2
3
5
5
 Suy ra: A=3 (1 điểm)
b(1 điểm) Đáp số B =
Bài 2 (2 đ): Từ giả thiết: ta có:
 0,5 đ
ó a + b + c = 0 hoặc a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac = 0. 0,5 đ 
* Nếu : a + b + c = 0
Thì: A=. 0,5 đ
* Nếu : a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac = 0.
 Thì: 2a2 + 2b2 + 2c2 –2ab – 2bc – 2ac = 0.
 ó ( a – b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 = 0.
 ó a = b = c .
Khi đó: A = = (1+1)(1+1)(1+1) = 8 . 0,5 đ
Bài 3 (2 đ):
 Gọi a là số trái của mỗi cây táo , b là số trái táo của mỗi người.
Ta có phương trình : 37 a -17 = 79 b (1), a, b Î Z+
 Ta có : (1) Û a = , 
a, b Î Z+ Þ Î Z+ Þ b = 7c - 3 + 
b, c Î Z+ Þ 2( c-1 ) 5 Û c = 5 d + 1, d Î N .
Do đó ta có : a = 9 + 79 d
 b = 4 + 37d 
 a, b > 0 nên d ³ 0 . Suy ra : a ³ 9 .
 a đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi d = 0 
Vậy số trái ít nhất của mỗi cây táo là 9 trái .
Bài 4 (2 đ):
Gọi K là trung điểm EC thì HK //BE , tam giác AHC vuông tại H, HE là đường 
cao : 
 Hai tam giác AIE và HKE đồng dạng(c-c)
 gócIAE= gócKHE mà AE HE nên AIHK(góc t.ư
vuông góc),và vì HK //BE nên AI BE.