Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2009-2010 - Trịnh Thị Hương

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán 8 
(Thời gian: 120 phút không kể giao đề) 
Bài 1: (6 điểm)
 a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
 b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết 
 A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
 c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 
Bài 2: (6 điểm) 
Giải các phương trình sau:
 a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 
 b) 
Bài 3: 4 điểm) 
Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
	a) Chứng minhEDF vuông cân
 	b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 4: (4 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định
vị trí điểm D, E sao cho:
	a/ DE có độ dài nhỏ nhất
	b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
----HẾT----
H­íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm
Bài 1: (3 điểm)
a) ( 1,5 đ) 
 x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0, 5đ)
 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0, 5đ)
 = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0, 5đ) 
b) (1,5 đ) 
 Xét (0, 5đ) 
 Với x Z thì A B khi Z 7 ( 2x – 3) (0, 5đ) 
 Mà Ư(7) = x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A B (0, 5đ)
c) (3 đ) 
Biến đổi = 
 = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0, 5đ)
 = (0, 5đ)
 = (do x+y =1) (0, 5đ) 
 = = (0, 5đ) 
 = = (0, 5đ) 
 = Suy ra điều cần chứng minh (0, 5đ) 
 Bài 2: (6 điểm)
a) (2,5đ) 
(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x 	 
 y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0	 (0, 5đ) 
(y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 	 (0, 5đ) 
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x	 (0, 5đ) 
* x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0	 (0, 5đ) 
x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1	 (0, 5đ) 
Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1	 
b) (3,5đ) 
 	 (1đ) 
	 (0, 5đ) 
	 (1đ) 
Vì ; ; 	
Do đó :	 (0,25đ) 
Vậy x + 2009 = 0 x = -2009	 (0, 5đ) 
A
B
E
I
D
C
 O
 F
2
1
1
 2
Bài 3: (4 điểm) 
a) (2đ) 
Chứng minh EDF vuông cân
Ta có ADE =CDF (c.g.c)EDF cân tại D (0, 5đ)
	Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c) 	 (0, 5đ)
Mà = 900 = 900 	 (0, 5đ)
 = 900. VậyEDF vuông cân	 (0, 5đ)
b) (2đ) 
Chứng minh O, C, I thẳng
	Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD (0, 5đ)
MàEDF vuông cân DI =EF	 (0, 5đ)
	Tương tự BI =EF DI = BI 	 (0, 5đ)
 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO
A
D
B
C
 E
Hay O, C, I thẳng hàng	 (0, 5đ)
Bài 4: (4 điểm) 
a) (2đ) 
DE có độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0, 5đ)
= 2(x –)2 + 	 (0, 5đ)
	Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0, 5đ)
 BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC	 (0, 5đ)
b) (2đ) 
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Ta có: SADE =AD.AE =AD.BD =AD(AB – AD)=(AD2 – AB.AD) (0, 5đ)
= –(AD2 – 2.AD + ) + = –(AD – )2 + (0, 5đ)
	Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi	 (0,25đ)
 	Do đó min SBDEC =AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0, 5đ)
	Giáo viên ra đề
 Trịnh Thị Hương