Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2009-2010

Đề thi chon đội tuyển học sinh giỏi lớp 8
Năm học: 2009-2010
Môn: Toán
(Thời gian làm bài:120 phút – Vòng 1)
Bài 1(2,5 điểm): Cho đa thức: f(x)=x4+6x3+11x2+6x
	1/ Phân tích f(x) thành nhân tử.
	2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) +1 luôn có giá trị là số chính phương.
Bài 2 (3 điểm): 
	a)Cho x,y,z là những số nguyên khác 0 và a=x2-yz; b=y2-xz; c=z2-xy. Chứng minh rằng
	ax+by+cz chia hết cho a+b+c.
	b)Tìm các cặp số tự nhiên (x,y) thoả mãn phương trình.
	(x+1) y = x2+4
Bài 3(1,5 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x+y+z; Biết rằng x; y; z là các số thực thoả mãn điều kiện y2 + yz + z2 = 2 - .
Bài 4(3 điểm):
	a)Cho tam giác ABC. O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F, M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA, OA, OB, OC. Chứng minh các đoạn thẳng EM, FN, DP đồng quy.
	b)Cho tam giác ABC (AB<AC). Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD cân tại B và tam giác ACE cân tại C sao cho góc ABD = góc ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Hãy so sánh MD và ME.
Họ và tên thí sinh:..; Số báo danh:
Chú ý:Người coi thi không được giải thích gì thêm.
Đáp án, biểu điểm môn toán
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 – vòng I
Năm học 2009 – 2010
Bài
Nội dung
Điểm
1(2,5 đ)
1.Lần lượt phân tích để có kết quả f(x)=x (x+1) (x+2) (x+3)
.....................
2.Từ kết quả ở câu 1 ta có:
+ f(x) +1 = x (x+3) (x+1) (x+2) + 1 = (x2 +3x)(x2 + 3x+2) + 1
+ Đặt x2 + 3x = t; ta có A=t(t+2)=t2+2t+1=(t+1)2
+ do xZ nên t=x2+3x Z ;do đó (t+1)2 Z và (t+1)2 là số chính phương.
+ KL :với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) +1 là số chính phương 
1
..
0,5
0,75
0,25
2(3đ)
a,(1,5) ta có: ax+by+cz = x3+y3+z3-3xyz.
Mà :
x3+ y3+z3-3xyz = (x+y)3-3xy(x+y)+z3-3xyz =
= (x+y+z)( x2+y2+z2-xz-yz+2xy)-3xyz(x+y+z)=
=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx). 
x3+ y3+z3-3xyz = (x+y+z)( x2+y2+z2-xy-yz-zx).
Mặt khác : a+b+c = (x2+y2+z2-xy-yz-zx).
Từ đó ta có : ax+by+cz chia hết cho a+b+c (đpcm).
0,25
1đ
0,25
b,(1,0đ) Ta có : (x+1)y= x2+4(x+1)y-(x2-1)=5(x+1)(y-x+1)=5
Do đó : x+1N và là ước của 5 Suy ra x+1=1 ;5
Suy ra x=0,4. Thử trực tiếp ta được các cặp số tự nhiên (x,y) thoả đề là (0;4);(4;4).
0,5
0,5
0,5
3(1,5đ)
+Ta có y2+yz+z2=2-
2y2+2yz+2z2=4-3x2
3x2+2y2+2yz+2z2=4 (1)
 x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+x2-2xy+y2+x2-2xz+z2=4
(x+y+z)2+(x-y)2+(x-z)2=4
+Do (x-y)20 ; (x-z)20 nên từ (*) suy ra (x+y+z)24
Hay -2x+y+z2
+Dấu “=” xảy ra khi x-y=0 và x-z=0 hay x=y=z
Thay vào (1) ta được 9x2 = 4  x =  hoặc x= -
+KL : Với x=y=z=- thì min B = -2
 Với x = y = z = thì max B = 2
0,25
0,5
0,25
0,5
4(3đ)
a.(1,5đ) Vẽ hình chính xác
Học sinh chứng minh được MF//NE; MF=NE (Tính chất đường trung bình) Suy ra MFEN là hình bình hành nên EM, FN cắt nhau tại một trung điểm I của chúng.
Chứng minh tương tự: MDEP là hình bình hành nên ME, DP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Từ đó suy ra DP, ME, NF đồng quy tại I.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b.(1,5đ)
*Vẽ hình chính xác
Dựng hình bình hành ABFC
Học sinh chứng minh được 
 Trên cạnh CA lấy điểm A1, trên cạnh CE lấy điểm C1 sao cho
CA1=CC1.Dựng hình bình hành AEGA1 do tam giác ACE cân tại C nên góc CAE900 do đó góc CAE= góc AEC< góc AEG suy ra A1C1<A1G hay DA<AE. Xét hai tam giác AFD và AFE suy ra góc AFD = góc AFE. Xét 2 tam giác MFD và tam giác MFE suy ra MD<ME.(đpcm)
0,25
0,25
0,5
0,5
Chú ý : Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn có thể cho điểm tối đa theo thang điểm quy định.
CAÂU LAẽC BOÄ TOAÙN 8
Caõu 1: Phaõn tớch caực ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ:
3x2 - 14x + 11
x5 + x - 1
x(y3-z3) + y(z3-x3) + z(x3-y3)
x(y+z)2 + y(x+z)2 + z(x+y)2 - 4xyz
Caõu 2: Tỡm soỏ tửù nhieõn n ủeồ ủa thửực A chia heỏt cho ủụn thửực B:
 A=3xn-1y6-5xn+1y4
 B=2x3yn
Caõu 3: Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ nguyeõn n ta coự
n2(n2-1) chia heỏt cho 12
n5-n chia heỏt cho 30
Caõu 4: Chửựng minh raống 
 (x + y + z)2 3(x2 + y2 + z2)
vụựi moùi x, y, z thuoọc R
Caõu 5:Cho hỡnh chửừ nhaọt ABCD, ủieồm E thuoọc ủửụứng cheựo AC.Qua E keỷ ủửụứng thaỳng thaỳng song song vụựi BD, caột caực ủửụứng thaỳng AD, CD ụỷ M,N .Veừ hỡnh chửừ nhaọt DMKN.Chửựng minh raống K, E, B thaỳng haứng
ẹAÙP AÙN
Caõu1:
=(x-1)(3x-11)
=(x2-x+1)(x3+x2-1)
=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)
=(x+y)(y+z)(z+x)
Caõu2:
 n=4
Caõu3:
=n.n(n-1)(n+1) neõn chia heỏt cho 12
n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1) neõn chia heỏt cho 30
Caõu 4:
 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 0 
Caõu 5:
 Goùi O, I laứ giao ủieồm caực ủửụứng cheựo cuỷa caực hỡnh chửừ nhaọtABCD vaứ DMKN.
 Ta chửựng minh KE//IO vaứ KB//IO.Suy ra K, E, B thaỳng haứng
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
năm học: 2009-2010
Môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120phút)
Câu 1 (1,5 điểm): 
 a/ Tính nhanh: 999.1001+992. 
 b/ Phân tích đa thức thành nhân tử : +/ x2-7x+10.
 +/ x2-2x-y2+1.
Câu 2 (2 điểm): 
 a/ Giải phương trình: 
 b/ So sánh A và B biết: A= (1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+) và B=2.
Câu 3 (2 điểm): 
Cho T=.
 a/ Rút gọn T.
 b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn nhất. 
Câu 4 (2 điểm): Một người đi xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách nhau 80km. Một nửa giờ sau một người đi xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trước người đi xe máy 10 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe ô tô gấp 1,5 lần vận tốc xe máy.
Câu 5: (2,5 điểm): Cho vuông tại A; H nằm trên đoạn BC ( H không trùng B hoặc C). Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB, AC và HE cắt AB tại P, HF cắt AC tại Q.
 a/ Tứ giác HPAQ là hình gì? Tại sao?
 b/ Chứng minh: AC.BP=AB.AQ.
 c/ Chứng minh ba điểm: E, A, F thẳng hàng.
------------------------ @ ------------------------
hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi cấp huyện
năm học: 2090-2010
Môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120phút)
Câu 1 (1,5 điểm): 
 a/ Tính nhanh: 999.1001+992 = (1000-1)(1000+1)+(100-1)2 =10002-1+1002-200+1= 1000000+10000-200=1009800 ( 0,5 điểm)
 b/ Phân tích đa thức thành nhân tử: 
+/ x2-7x+10 = (x2-2x)-(5x-10)= x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5). ( 0,5 điểm)
+/ x2-2x-y2+1= (x2-2x+1)-y2 = (x-1)2-y2 = (x-1+y)(x-1-y) ( 0,5 điểm)
Câu 2 (2 điểm): 
 a/ Giải phương trình: 
4(x-1)=6(3x-4)-3x 4x-4=18x-24-3x => x= . ( 1 điểm)
 b/ Ta có A= (1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+) 
= (1-)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+) = (1-)(1+)(1+)(1+)(1+)
= (1-)(1+)(1+)(1+) = (1-)(1+)(1+) = (1-)(1+) = (1- )
=> A = 2(1-) = 2 - . Do > 0 => 2 - < 2 . Vậy A<B ( 1 điểm)
Câu 3 (2 điểm): Cho T=. TXĐ x1.
 a/ Rút gọn T= = = = ( 1 điểm)
 b/ Để T đạt giá trị lớn nhất thì nhỏ nhất mà (x+1)2 +1>1 . 
Vậy x=-1 thì T=1 là lớn nhất. ( 1 điểm)
Câu 4 (2 điểm): Gọi vận tốc của người đi xe máy là x km/h (x > 0)
=> vận tốc của người đi xe ô tô là 1,5x km/h . (0,5 điểm )
thời gian người đi xe máy là: (h) , thời gian người đi xe ô tô là: ( h) (0,5điểm )
theo bài ra ta có pt: - = (ô tô đi trước 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) = (h)
giải pt trên được x= 40. (0,5điểm )
Vậy vận tốc của người đi xe máy là 40 km/h, 
vận tốc của người đi xe ô tô là 60 km/h (0,5điểm )
Câu 5: (2,5 điểm) HS vẽ hình, ghi giả thiết đúng được (0,25 điểm )
F
A
B
C
H
E
P
Q
 a/ Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông 
= 900; = 900; = 900 (0,75 điểm )
 b/ Do HP// AC => => AC.BP=AB.PH=>AC.BP=AB.AQ (0,75 điểm )
 c (0,75 điểm )
đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 8
Năm học 2006-2007
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Phân tích thành nhân tử.
 a) 
b) (a2 + 4b2 - 5)2 - 16(ab + 1)2
Bài 2. Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6.
Bài 3. a) Cho a – b = 1. Chứng minh a2 + b2 
 b) Cho 6a – 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2
Bài 4. Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21. Tính f(-1) + f(5).
Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh:
Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.
đáp án toán 8
Bài 1. Phân tích thành nhân tử.(4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
 a) Ta nhận thấy a = 1, a = 2 là nghiệm của đa thức nên: 
Bài 2. Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6. (3 điểm)
 A = a + b + c 3 =>2A 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2
 C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c 
 = a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2)
a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 => C 6 => B 6 
Bài 3. a) Cho a – b = 1. Chứng minh a2 + b2 (*).(4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
 Từ a – b =1 => a =1 + b => a2 =1 + 2b + b2, thay vào (*) ta có: 1 + 2b + 2b2 
 => 4b2 + 4b +1 0 =>(2b + 1)2 0. BĐT này luôn đúng. Vậy a2 + b2 .
 Dấu bằng xẩy ra (2b + 1)2 b =- và a = ;
 b) Cho 6a – 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2
 Đặt x = 2a; y = - 5b. áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 
 (3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 Hay 4a2 + 25b2 .
Dấu bằng xẩy ra 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b
Bài 4. Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21. Tính f(-1) + f(5). (4 điểm)
Nhận xét: g(x) = 2x2 + 3 thoả mãn g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21.
 Q(x) = f(x) - g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x = 1, x = 2, x = 3
 Vậy Q(x) = (x - 1)(x - 1)(x - 3)(x - a); ta có: 
 f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + 3 = 29 + 24a.
 f(5) = Q(5) + 2.52 + 3 = 173 - 24a.
 => f(-1) + f(5) = 202
Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh:
Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.
 .(4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
 C
 F
M
N
A
E
B
 a)ANC vuông tại N (vì AM = MC = MN)
 CNM + MNA = 1v
 BAN + NAC = 1v
 Mà MNA = NAC => CNM = BAN
 Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN
 => BNE BAN 
 b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM = MN. 
 Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 
 => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) =>BAN BFA =>
 (Đpcm)
Cách khác: b) Ta có:ACN EAN => 
 BNE BAN =>. Từ (1) và (2) => BN = AE
 Từ 
Từ (3) và (4) => (Đpcm)