Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Nguyễn Đức Long

đề số 1 
Câu 1:
Cho x = ; y = 
Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2:
Giải phương trình:
a, = ++ (x là ẩn số)
b, + + = 0
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3:
Xác định các số a, b biết:
 = +
Câu 4:
Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
Đề số 2 
Câu 1:
Cho a,b,c thoả mãn: = = 
Tính giá trị M = (1 +)(1 +)(1 + )
Câu 2: 
Xác định a, b để f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 
Chia hết cho y(x) = x2 – x + b
Câu 3: 
Giải PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680.
b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0 
Câu 4:
Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của nó.
Câu 5:
Cho ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho:
AD = EC = DE = CB.
a, Nếu AB> 2BC. Tính góc của 
b, Nếu AB < BC. Tính góc của .
	----------------------- hết ----------------------
đề số 3 
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a3 + b3 + c3 – 3abc
b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3
Câu 2:
Cho A = : 
a, Rút gọn A
b, Tìm A khi x= -
c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3:
a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P = 
Câu 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR: 
1 < ++< 2
b, Cho x,y 0 CMR:
+ +
Câu 5:
Cho đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc 
b, CMR: AM AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR đều.
đề số 4 
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a8 + a4 +1
b, a10 + a5 +1
Câu 2:
a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức:
A = + + 
b, Cho biểu thức: M = 
+ Rút gọn M
+ Tìm x Z để M đạt giá trị nguyên.
Câu 3:
a, Cho abc = 1 và a3 > 36, 
CMR: + b2 + c2 > ab + bc + ca
b, CMR: a2 + b2 +1 ab + a + b
Câu 4:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất
P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)
Câu 5:
a, Tìm x,y,x Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3
Câu 6:
Cho . H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D.
a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành.
b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc và của tứ giác ABDC.
Đề số 5 
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Câu 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.
Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2003 + y2003 + z2003
Biết x,y,z thoả mãn: = ++
Câu 3: 
a, Cho a,b > 0, CMR: + 
b, Cho a,b,c,d > 0
CMR: +++ 0
Câu 4: 
a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0
Câu 5: 
a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Câu 6: 
Cho M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
Đề số 6 
Câu 1:
Cho = và = 
Tính giá trị của biểu thức A = 
Câu 2: 
Cho x2 – x = 3, Tính giá trị của biểu thức
M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2
Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 và x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N = +
Câu 4: 
a, Cho 0 a, b, c 1
CMR: a2 + b2 + c2 1+ a2b + b2c + c2a
b, Cho 0 <a0 <a1 < ... < a1997
CMR: < 3
Câu 5:
a,Tìm a để PT = 5 – a có nghiệm Z+
b, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 
++ =
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc cắt BC tại P, kẻ phân giác góc cắt CD tại Q
CMR PQ AM
đề số 7 
Câu 1:
Cho a, b, c khác nhau thoả mãn:
 + + = 1
Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1.
Câu 2:
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất A = ++
Câu 3:
Cho M = a5 – 5a3 +4a với aZ
a, Phân tích M thành nhân tử.
b, CMR: M120 aZ
Câu 4: 
Cho N1, n N
a, CMR: 1+ 2+ 3+....+n = 
b, CMR: 12 +22 + 32 +......+n2 = 
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
x2 = y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu 6:
Giải BPT: > - 1
Câu 7:
Cho 0 a, b, c 2 và a+b+c = 3
CMR: a2 + b2 + c2 5
Câu 8: 
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD một góc 150 cắt AD tại E
CMR: cân.
đề số 8 
Câu 1:
Cho A = 
a, Rút gọn A
b, Nếu nZ thì A là phân số tối giản.
Câu 2:
Cho x, y > 0 và x+y = 1
Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 - )(1 - )
Câu 3: 
a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca)
b, Cho 0 a, b , c 1
CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca 1
Câu 4: 
Tìm x, y, z biết:
x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz
Câu 5: 
Cho nZ và n 1
CMR: 13 + 23 +33 +......+n3 = 
Câu 6: 
Giải bất phương trình:
(x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
Câu 7:
Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong nhóm 94.
Câu 8:
Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN
CMR: AK = BC
đề số 9 
Câu 1:
Cho M = + + ; N = + +
a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0
b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không?
Câu 2: 
Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2
CMR: + + 1
Câu 3:
Cho x, y, z 0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998
Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z
Câu 4:
a, Tìm các số nguyên x để x2 – 2x -14 là số chính phương.
b, Tìm các số sao cho là số nguyên tố
Câu 5:
Cho a, b, c, d là các sô nguyên dương
CMR: A = + + + không phải là số nguyên.
Câu 6: 
Cho cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP
CMR: BC PC
Câu 7: 
Cho x, y thoả mãn: 2x2 + + = 4 (x0)
Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
đề số 10 
Câu 1: 
Cho a, b, c > 0 và 
P = ++
Q = + + 
a, CMR: P = Q
b, CMR: P 
Câu 2:
Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1
CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) 0
Câu 3:
CMR x, yZ thì:
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
Câu 4:
a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m2 + n2 = m + n + 8
b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2)
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = 
Câu 6:
Cho x = ; y = 
Tính giá trị: M = 
Câu 7: 
Giải BPT: (x là ẩn số)
Câu 8:
Cho , trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE.
Tính PQ theo BC
Đề số 11 
Câu 1: 
Cho x = ; y = ; z = 
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
Câu 2: 
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A = 
Câu 3: 
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1
CMR: b+c 16abc
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
Câu 4:
Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – 1
Câu 5: 
a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x2 + y2 + z2 = xyz
b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương.
Câu 6:
Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó.
Câu 7:
Cho hình thang ABCD (BC// AD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F là trung điểm của AD, BC
CMR: E, O, F thẳng hàng.
đề số 12 
Câu 1:
Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho x+3 dư 1
f(x) chia cho x-4 dư 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương là 3x và dư
Câu 2:
a, Phân tích thành nhân tử:
A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
b, Cho: 
CMR: 
Câu 4:
CMR: ++.....+ < Với nN và n1
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M = (x≠0; y≠0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2
b, CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đường vuông góc AB, AD tại E, F.
a, CMR: CF = DE; CF DE
b, CMR: CM = EF; CM EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
đề số 13 
Câu 1:
a, Rút gọn: A = (1-)(1-).....(1-)
b, Cho a, b > 0 và 9b(b-a) = 4a2
Tính M = 
Câu 2:
a, Cho a, b, c > o
CMR: + + 
b, Cho ab 1
CMR: + 
Câu 3: 
Tìm x, y, z biết:
x+2y+3z = 56 và ==
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M = 
b, Tìm giá trị nhỏ nhất A = 
Câu 5:
Giải BPT: mx2 – 4 > 4x + m2 – 4m
Câu 6:
a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn: x(x+1) = k(k+2) 
k là số nguyên dương cho trước.
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4.
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ đều, về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ đều.
CMR: D, E, F thẳng hàng.
Đề số 14 
Câu 1:
Cho A = (
a, Tìm TXĐ của A
b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0.
Câu 2: 
a, Giải PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - 3 = 0
b, Giải BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)2
Câu 3:
Cho a, b, c > 0
CMR: 
Câu 4:
CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 không là số chính phương với nN và n >1
Câu 5:
Cho f(x) = x2 + nx + b thoả mãn 
Xác định f(x)
Câu 6:
Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1
Tìm giá trị lớn nhất A = 
Câu 7: 
Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên MN kẻ đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F.
CMR: OE = OF
đề số 15 
Câu 1:
Cho xyz = 1 và x+y+z = = 0
Tính giá trị M = 
Câu 2: 
Cho a ≠ 0 ; 1 và 
Tìm a nếu x1997 = 3
Câu 3:
Tìm m để phương trình có nghiệm âm: 
Câu 4:
Với nN và n >1
CMR: 
Câu 5:
Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1
Tìm giá trị M biết: xy = 1 và đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6:
Tìm x, y N biết: 2x + 1 = y2
Câu 7:
Cho (AB < AC). AD, AM là đường phân giác, đường trung tuyến của . Đường thẳng qua D và vuông góc với AD cắt AC tại E
So sánh S và S
Đề số 16 
Câu 1:
Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
CMR: với abc ≠ 0
Câu 2:
Cho abc ≠ 0 và 
CMR: 
Câu 3:
Cho a, b, c là 3 số dương và nhỏ hơn 1
CMR: Trong 3 số: (1-a)b; (1-b)c; và (1-c)a không đồng thời lớn hơn 
Câu 4:
Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + 4 = 0 và xy > 0
Tìm giá trị lớn nhất A = 
Câu 5:
a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Câu 6:
Cho nN và n >1
CMR: 1 +
Câu 7:
Cho về phía ngoài vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A.
CMR: Trung tuyến AI của vuông góc với EF và AI = EF
Câu 8: 
CMR: là phân số tối giản (với nN).
đề số 17 
Câu 1:
Phân tích ra thừa số:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x3 + 6x2 + 11x + 6
Câu 2:
Cho x > 0 và x2 + = 7
Tính giá trị của M = x5 + 
Câu 3:
Cho x, y thoả mãn 5x2 + 8xy + 5y2 = 72
Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2
Câu 4:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c 1
CMR: 
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1.
CMR: 0 a, b, c 
Câu 5: 
Tính tổng S = 1+2x+3x2+4x3+.....+ nxn-1 (x≠1)
Câu 6:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
 = 3
Câu 7: 
Cho biết đường cao AH và trung tuyến AM chia góc thành 3 phần bằng nhau.
Xác định các góc của 
Đề số 18 
Câu 1:
Rút gọn: M = 
Câu 2:
Cho: x = 
Tính giá trị P = (x+y+xy+1)3
Câu 3:
Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nh ... lập phương của 3 số còn lại.
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
x2 + (x+y)2 = (x+9)2
Câu 6:
Cho lục giác lồi ABCDEF, các đường thẳng AB, EF cắt nhau tại P, EF và CD cắt nhau tại Q, CD và AB cắt nhau tại R. Các đường thẳng BC và DE; DE và FA; FA và BC cắt nhau tại S,T,U.
CMR: Nếu thì 
đề số 32 
Câu 1:
a, CMR: 62k-1+1 chia hết cho 7 với 
b, CMR: Số a = 11.....1 + 44.....4 + 1 là bình phương của một số tự nhiên.
(Trong đó có 2k chữ số 1 và k chữ số 4).
Câu 2:
a, Tìm số dư của phép chia: x2002+x+1 chia cho x2-1
b, Tìm số nguyên dương x, y sao cho: 
3(x3-y3) = 2001.
Câu 3: 
a, Cho a, b, c > o. 
CMR: 
b, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất:
y = x3-6x2+21x+18
Với .
Câu 4:
Cho (AB = AC). Biết = 200, và AB = AC = b; BC = a
CMR: a3 + b3 = 3ab2
Đề số 33 
Câu 1:
Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và ab+bc+ca = 0
Tìm giá trị của: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001
Câu 2: 
Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. CMR: 
Nếu : x2 – yz = a
y2 – zx = b
z2 – xy = c
Thì ax+by+cz chia hết cho a+b+c
Câu 3:
a, Cho nN, CMR: A = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27.
b, CMR: n5m – nm5 chia hết cho 30 với mọi m,n Z.
Câu 4:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của M = 
b, Tìm giá trị lớn nhất của: N = 
Câu 5: 
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác. Xác định dạng của tam giác để:
A = đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD. Tứ giác MNPQ có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuông (MAB; NBC; PCD; QDA)
a, CMR: 
b, Xác định M, N, P, Q để chu vi MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất.
c, Xác định M, N, P, Q để đạt giá trị nhỏ nhất.
đề số 34 
Câu 1:
Phân tích số 1328 thành tổng của 2 số nguyên x, y sao cho:
x chia hết cho 23, y chia hết cho 29. Tính x, y khi x-y = 52.
Câu 2:
Cho f(x) = 
a, Phân tích f(x) thành tích.
b, Chứng tỏ f(x) nhận giá trị nguyên khác 17 với mọi x Z.
Câu 3:
Có bao nhiêu số với thoả mãn abc là số chẵn.
Câu 4:
Cho , trung tuyến AM. Gọi E, F là các điểm lần lượt thuộc AB, AC sao cho ME = MF.
CMR: là tam giác cân tại đỉnh A trong các trường hợp:
a, ME, MF là phân giác trong của 
b, ME, MF là trung tuyến của 
đề số 35 
Câu 1:
a, Cho các số a, b, c là 3 số khác nhau.
CMR: 
b, Tìm x, y, z biết:
x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz.
Câu 2:
Giải PT:
Câu 3:
Tìm giá trị lớn nhất.
A = (x, y, z > 0; xyz = 1).
Câu 4:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
x(x2+x+1) = 4y(y+1)
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Lấy M AC, kẻ ME AB, MF BC. Tìm vị trí của M để nhỏ nhất.
Câu 6:
Cho có = 500; = 200. Trên phân giác BE của lấy F sao cho = 200. Gọi I là trung điểm AF, nối EI cắt AB tại K và CK cắt EB tại M.
CMR: AI2 + EI2 = EA + (MF + ).
Đề số 36 
Câu 1:
a, Cho a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tìm giá trị B = a4+b4+c4.
b, Cho x > 0 và x2+ = 7.
CMR: x5 + là số nguyên.
Câu 2:
Cho a, b, c > 0. CMR: 
Câu 3:
Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất: A = 
Câu 4:
Xác định a, b sao cho f(x) = ax4+bx3+1 chia hết cho g(x) = (x-1)2.
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên của PT: 
Câu 6: 
CHo , trung tuyến AM. Qua D thuộc BC vẽ đường song song với AM cắt AB, AC tại E, F.
a, CMR: Khi D di động trên BC thì DE + DF có giá trị không đổi.
b, Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF tại K.
CMR: K là trung tuyến của EF.
Đề số 37 
Câu 1: 
Cho S = (n+1)(n+2).....(n+n)
CMR: Với mọi n N thì S chia hết cho 2n.
Câu 2:
Cho f(x) = x2+nx+b thoả mãn: khi .
Xác định f(x).
Câu 3:
Cho: 
CMR: 
Câu 4:
Tìm số A có 2 chữ số sao cho 4 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng, 2 mệnh đề sai:
a, A chia hết cho 5
c, A + 7 là số chính phương
b,A chia hết cho 23
d, A – 10 là số chính phương
Câu 5: 
Cho tứ giác lồi ABCD. CMR: AD.BC + DC.AB AC.BD
Câu 6:
Cho , O là điểm nằm trong tam giác ABC, đường thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh của tại A1, B1, C1. 
Tìm vị trí của O để: P = đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề số 38 
Câu 1:
a, Giải PT: 
b, Tìm các số a, b, c, d, e biết: 
2a2+b2+c2+d2+e2 = a(b+c+d+e)
Câu 2:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
1+x+x2+x3 = y3
Câu 3:
a, Với điều kiện nào của x thì A tối giản, không tối giản.
A = 
b, CMR: Nếu a2-bc = x; b2-ac = y; c2-ab = z;
Thì ax + by + cz chia hết cho x+y+z
Câu 4:
Cho góc vuông xEy quay quanh đỉnh E cảu hình vuông EFGH. Ex cắt FG, GH tại M, N; Ey cắt FG, GH tại P, Q
a, CMR: vuông cân
b, Gọi R là giao của PN, QM. Gọi I, K là trung điểm của NP. QM. Tứ giác EKRI là hình gì?
c, CMR: F, H, K, I thẳng hàng.
Câu 5:
Cho có diện tích là S. Trên AB lấy BB1 = AB. Trên BC lấy CC1 = BC, trên AC lấy AA1 = AC.
Tìm tỷ số và theo S.
	đề số 39 
Câu 1:
a, Tìm các số a, b, c, d biết:
a2+b2+c2+d2-ab-bc-cd- d+ = 0.
b, CMR: Với mọi n N; n > 0 thì :
A = n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + 1 không là số chính phương
Câu 2:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
x7 – x5 +x4 – x3 – x2 + x = 1992.
Câu 3:
Cho x, y, z, t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = 
Câu 4:
a, Cho a, b, c đôi một khác nhau. CMR: Trong các BĐT sau có ít nhất một BĐT là sai.
(a+b+c)2 9ab; (a+b+c)2 9bc; (a+b+c)2 9ac.
b, Cho n N; n > 0.
CMR: 
Câu 5:
Cho , từ D trên AB kẻ Dx//BC cắt AC tại E, từ C kẻ Cy//AB cắt Dx tại F. AC cắt BF tại I.
a, Chứng tỏ ta có thể chọn vị trí D để BF là phân giác góc 
b, CMR: Nếu D là trung điểm của AB thì CI = 2IE.
c, Với D là điểm bất kỳ trên AB. CMR: IC2 = IE.IA.
Đề số 40 
Câu 1:
Tìm tổng Sn = 7 + 77 +....+ 
 (n chữ số)
Câu 2:
CMR: S = 1+2+3+....+n (n N) có tận cùng là 0, 1, 3, 5, 6 hoặc 8.
Câu 3: 
a, CMR: 12 + 22 + .... + n2 = 
b, CMR: Với n N thì: là số nguyên.
Câu 4:
CMR: Nếu n Z thì:
 là số nguyên tố.
Câu 5: 
Cho a, b, c > 0 
CMR: 
Câu 6: 
Cho vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Từ M vẽ góc 450, hai cạnh của góc cắt AB, AC tại E, F.
a, Xác định vị trí của E, F để đạt giá trị lớn nhất.
b, lớn nhất là bao nhiêu?
đề số 41 
Câu 1:
a, Cho a+b+c = 0.
CMR: 
b, CMR với mọi x, y Z
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
Câu 2:
Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn:
x2 + y2 + z2 < xy + 3y -3
Câu 3: 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y = 
Câu 4:
Tìm x, y Z+ : x2 + (x+y)2 = (x+9)2
Câu 5: 
CMR: A = 10n + 18n -1 chia hết cho 27 (n N)
Câu 6: 
Cho , trên BC, CA, AB lấy M, N, P sao cho:
 và kẻ các đoạn AM, BN, CP.
Tìm diện tích tam giác tạo bởi các đoạn AM, BN, CP. Biết 
Câu 7: 
Tìm số nguyên x, y : 
Đề số 42 
Câu 1:
 Cho 3 số x, y, z: xyz = 1; và 
CMR: Có đúng 1 trong 3 số lớn hơn 1.
Câu 2:
Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn đồng thời:
x+y 25
y 2x+18
y x2+4x
Câu 3:
Giải PT: 
Câu 4:
Cho 3 số a, b, c thoả mãn: a4+b4+c4 < 2(a2b2+ b2c2+ a2c2)
Chứng minh rằng: Tồn tại tam giác mà có độ dài 3 cạnh là a, b, c.
Câu 5:
Cho 2 đường thẳng ox, và oy vuông góc với nhau, cắt nhau tại O. Trên Ox lấy về 2 phía của điểm O hai đoạn OA = 4cm; OB = 2cm. Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của AB. MA, MB cắt Oy ở C, và D. Gọi E là trung điểm CA; F là trung điểm của DB.
a, CMR: đồng dạng và tìm tỷ số đồng dạng.
b, CMR: OEFM là hình bình hành.
c, Đường thẳng EF cắt Ox tại P. CMR: P là điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng trung trực AB.
d, Cho MH = 3cm, tứ giác OFME là hình gì?
Đề số 43 
Câu 1:
Cho a, b, c là ba số phân biệt thoả mãn: 
CMR: 
Câu 2:
Cho a, b, c 0 và 
CMR: xa2 + yb2 + zc2 = 0.
Câu 3:
Giải PT: 
a, (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680.
b, 
Câu 4:
Cho a, b, c thoả mãn: 
CMR: abc.
Câu 5:
Cho a, y, z 0 và x, y , z Z thoả mãn: a+by36 và 2x+3z72.
CMR: Nếu b 3 thì x+y+z nhận giá trị lớn nhất là 36.
Câu 6:
Cho hình vuông OCID có cạnh là a. AB là đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt tia OC, OD tại A, và B.
a, CMR: CA.DB có giá trị không đổi (theo a).
b, 
c, Xác định vị trí A, B sao cho DB = 4CA.
d, Cho . Tính CA + DB theo a.
Đề số 44 
Câu 1:
Cho a > b > 0. So sánh A, B:
A = 
Câu 2:
a, Cho x+y+z = 0 
CMR: 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)
b, Cho a, b, c 0. 
Tính giá trị M = x2003+y2003+z2003. Biết z, y, z: 
Câu 3:
a, Cho a, y, z 
CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) 
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; và abc > 0.
CMR: Cả 3 số đều dương.
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x100 – 10x10 +10.
Câu 5:
Với giá trị nào của A thì PT:
 có nghiệm duy nhất.
Câu 6:
Cho đường thẳng d//BC cắt AB, AC tại D, E.
a, CMR: Với mọi điểm F trên BC luôn có không lớn hơn 
b, Xác định vị trí D, E để lớn nhất.
Đề số 45 
Câu 1:
a, Cho 
CMR: (với n là số nguyên dương lẻ; a, b, c 0)
b, Cho abcd = 1. Tính giá trị:
M = 
Câu 2: 
Cho a, b > 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất: P = 
Câu 3:
a, Cho a, b Q và a, b không đồng thời bằng không. 
CMR: 
b, Cho a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1
CMR: 
Câu 4: 
Tìm nghiệm nguyên của PT: 
a, xy – 2 = x + y
b, 3xy + x – y = 1
Câu 5:
Giải PT: x4+3x3+4x2+3x+1 = 0
Câu 6:
Cho có đường cao là AA1, BB1, CC1, hình chiếu của A1 lên AB, AC BB1, CC1 là H, I, K, P.
CMR: H, I, K, P thẳng hàng.
Đề số 47 
Câu 1:
Cho a, b, c ; a3+b3+c3 = 3abc
Tính giá trị biểu thức: P = 
Câu 2:
a, Tìm giá trị lớn nhất của M = 
b, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2+26y2-10xy+14x-76y +59.
Câu 3:
Cho a+b+c+d = 1
CMR: (a+c)(b+d) + 2ac +2bd 
b, Cho 3 số dương a, b, c đều nhỏ hơn 1. CMR: có ít nhất 1 mệnh đề sau là sai:
a(1-b) > ; b(1-c) > ; c(1-a) > 
Câu 4:
a, Tìm x, y : x2 + (x+1) = y4 + (y+1)4
b, Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 +.....+ n(n+1)(n+2)
CMR: 4N+1 là số chính phương với mọi nZ+
c, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x2 – (x+y)2 = -(x+y)2
Câu 5:
Xác định a, b, c để: f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x-3)3.
Câu 6:
Cho O là trực tâm của (có 3 góc nhọn). Trên OB, OC lấy B1, C1 sao cho:
 = . 
CMR: AB1 = AC1
Đề số 49 
Câu 1: 
a, CMR: Nếu (y-z)2+(z-x)2+(x-y)2 = (y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(y+x-2z)2
thì x = y = z.
b, Cho x2-y = a; y2-z = b; z2-x = c.
Tính P = x3(z-y2)+ y3(x-z2)+ z3(y-x2)+xyz(xyz-1)
Câu 2:
Tìm x để: P = đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3:
CMR: với n; n > 0.
Câu 4: 
Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
2(x+y+z) + y = 3xyz.
Câu 5:
Cho , trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm , một cát tuyến quay quanh G cắt AB, AC tại M, N.
CMR: 
Câu 6:
Cho , một hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao cho: MAB; NAC; 
PBC, QBC.
Tìm tập hợp tâm O của hình chữ nhật MNPQ
Đề số 50 
Câu 1:
a, Cho x+y=a; x2+y2=b; x3+y3= c.
CMR: a3-3ab+2c = 0.
b, Xác định a, b, c, d để đẳng thức sau đúng với mọi x.
Câu 2:
Cho a, b, c . Giải PT:
Câu 3:
a, Cho a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác.
CMR: 
b, Cho a, b, c là số tự nhiên không nhỏ hơn 1.
CMR: 
Câu 4: 
Cho x, y, z thoả mãn: xy+yz+zx = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất: M = x4+y4+z4
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên của PT: 5x – 3y = 2xy – 11
Câu 6: 
Cho hình thang ABCD (AB//CD). Giao điểm của AC, BD là O, đường thẳng qua O và song song AB cắt AD, BC tại M, N.
a, CMR: 
b, Cho Tính 
c, Tìm điểm K trên BD sao cho đường thẳng qua K và song song AB bị hai cạnh bên và 2 đường chéo chia thành 3 đoạn bằng nhau.