Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Nguyễn Đình Quang

PHÒNG GD&ĐT ĐAK PƠ	ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008
TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ 	 Môn Toán 
Gv: Nguyễn Đình Quang	Thời gian: 150’ 
---------------------˜☼™-------------------------
ĐỀ BÀI:
Bài 1:(1đ) Cho hai số a, b và ab. với A = ; B = . Chứng minh rằng: B < <A
Bài 2: (2đ) Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 
Bài 3: (1đ) Cho A = 
Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
Rút gọn A.
Bài 4: (4đ) Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A, đường cao AH. Từ H kẻ HDAB và HEAC.Chứng minh các hệ thức sau:
a)	b) 
c)	d) 
Bài 5: (2đ) Cho A là điểm nằm trong đường tròn(O;R)(A khác O), B là điểm chuyển động trên (O;R). Xác định vị trí của B để độ dài đoạn thẳng AB là:
a) ngắn nhất	b) dài nhất 
-----------------------šµ›----------------------
Duyệt của BGH	 Gv ra đề
 Nguyễn Đình Quang
PHÒNG GD&ĐT ĐAK PƠ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM	
TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ 	 Môn Toán 
Gv: Nguyễn Đình Quang	Thời gian: 150’ 
--------------------˜µ™-------------------
Bài 1: > 0. Vậy A > B	(0,25đ)
Mặt khác:
	 (0,25đ)
	(0,25đ)
B<A B< < A
Do đó: B < <A	(0,25đ)
Bài 2: Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương, ta có:
a + b + c ≥ 2.	 (0,5đ)
Nhân hai vế cho ta được
	(0,5đ)
Chứng minh tương tự ta được: và 
Do đó: 	(0,5đ)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Mâu thuẫn với giả thiết a, b, c> 0. nên dấu”=” không xảy ra
Do đó ta có: 	(0,5đ)
Bài 3: 
A có nghĩa khi và chỉ khi 	(0,5đ)
	(0,25đ)
vậy A = 	(0,25đ)
Bài 4:
Trong tam giác vuông ABC, ta có: AB2 = HB.HC; AC2 = HC. BC (1)(1đ)
Từ (1), ta suy ra: (2)	(0,25đ)
 Trong tam giác vuông ABC, ta có: HB2 = BD. AB	(3) 	(0,25đ)
Trong tam giác vuông ACH, ta có: HC2 = CE. AC 	(4)	 (0,25đ)
Từ (2); (3) và (4) ta được: 	(0,25đ)
c) Trong tam giác vuông ABC, ta có: AH2 = HB.HC AH4 = HB2. HC2	(5)
Ta đã có: HB2 = BD. AB và HC2 = CE. AC	(0,25đ)
Từ (5) ta được: AH4 = BD. AB. CE. AC. Nhưng AB.AC = AH. BC
Vậy AH4 = BD.CE.BC.AH AH3 = BD.CE.BC	(6)	 (0,25đ)
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông, do đó DE = AH	(0,25đ)
Từ (6) ta được: DE3 = BD.CE.BC 	(0,25đ)
d) Từ đẳng thức cần chứng minh: 
Chia tất cả hai vế cho để đưa về chứng minh đẳng thức: (0,25đ)
Trong tam giác vuông AHB, ta có:
BH2 = BD.BA BD = BD2 = 	(7)
Thay BA2 = BH. BC vào (7) ta được: BD2 = 	(0,25đ)
Từ đó ta có: 
Chứng minh tương tự ta có: 	(0,25đ)
Suy ra: 
Vậy: hay 	(0,25đ)
Bài 5: 
 	(0,25đ)
Xét ba điểm A, B, O ta có: OB – OA AB OB + OA
	 R- OA AB R + OA	 	(0,25đ)
* AB R – OA, R – OA không đổi vì O và A cố định.	 (0,25đ)
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi A nằm giữa O và B	(0,25đ)
Vậy khi B là giao điểm của tia OA và đường tròn (O;R) thì AB ngắn nhất(0,25đ)
* AB R + OA, R + OA không đổi vì O và A cố định	(0,25đ)
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi O nằm giữa A và B	(0,25đ)
Vậy khi B là giao điểm của tia AO và đường tròn (O;R) thì AB dài nhất	(0,25đ)
 Duyệt của BGH	 Gv ra đề
 Nguyễn Đình Quang