Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đào Văn Trường

Huyện quế võ – bninh
Năm 2007 – 2008
(120 phỳt)
Bài 1 (4đ):
 1/ Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x3 + 3x2 + 6x + 4.
 2/ a,b,c là 3 cạch của tam giỏc. Chứng minh rằng: 
 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2
Bài 2 (3đ):
 Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thỡ :
 − = 
Bài 3 (5đ): 
Giải phương trỡnh:
 	1, + = + 
 	2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3
Bài 4 (6đ):
 Cho ∆ABC vuụng tại A. Vẽ về phớa ngoài ∆ đú ∆ABD vuụng cõn tại B và ∆ACE vuụng cõn tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng:
 1, AH = AK
 2, AH2 = BH.CK
Bài 5 (2đ): 
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
đề thi học sinh giỏi thị xã BN
Năm học: 2004 – 2005
Thời gian 150 phút
Bài 1:
Rút gọn biểu thức:
A = với /x/ = 1
Cho x, y thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + 4 = 0
Tính giá trị biểu thức:
B = 
Bài 2: 
Giải phương trình:
(x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72
Tìm x để biểu thức:
A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
Bài 3: 
Tìm số tự nhiên x sao cho: x2 + 21 là số chính phương ?
Chứng minh rằng: Nếu m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp thì:
(m – 1).(n – 1) 192
Bài 4:
Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng AB lấy 1 điểm C sao cho AC > BC. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông ACNM, BCEF. Gọi H là giao điểm của AE và BN.
Chứng minh: M; H; F thẳng hàng.
Chứng minh: AM là tia phân giác của AHN.
Vẽ AI HM; AI cắt MN tại G. Chứng minh: GE = MG + CF
Bài 5:
Gải phương trình:
(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7)
Cho a, b, c R+ và a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: 
Đề số 1
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
a) 
b) 
Bài 3: (2 điểm)
 Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. 
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy.
Bài 4: (2 điểm) 
 Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M ẻ AB và N ẻAD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)
 Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 444 (n chữ số 4).
 Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.
Đề số 2
Câu I: (2điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 
b) 
2) Giải phương trình
Câu II: (2 điểm)
1) Xác định a, b để da thức chia hết cho đa thức .
2) Tìm dư trong phép chia đa thức cho đa thức 
Câu III: (2 điểm)
1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:
2) Cho ba số a, b, c thoả mãn .
CMR: 
Câu IV: (3điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng.
c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi.
2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H. 
CMR: bằng một hằng số.
Câu V: (1 điểm): 
 Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 
Đề số 3
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 
Rút gọn biểu thức: 
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Giải phương trình: 
Bài 3: (2điểm)
 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. 
Tính quãng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
 Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Đề số 4
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x- 3x + 4-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: 
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
Tính: 
Bài 4 : (3điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của D ABC
để cho AEMF là hình vuông. 
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.
Đề số 5
Bài 1: (2điểm) 
 Cho biểu thức: 
1) Rút gọn M.
2) Tìm giá trị x để M > 0.
Bài 2: (2điểm) 
Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra.
1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra.
2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu.
Bài 3: (1điểm) 
Tìm x, y nguyên sao cho: 
Bài 4: (3điểm)
 Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D). Đường thẳng AE cắt BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cát CD tại K.
1) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK.
2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF. Chứng minh rằng: 
JA = JB = JF = JI.
3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x.
4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất.
Bài 5: (1điểm) 
Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: 
 Tính 
Đề số 6
Câu I: (5 điểm) 
Rút gọn các phân thức sau:
1) 
2) 
Câu II: (4 điểm)
1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì chia hết cho 13.
2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức:
3) Giải phương trình: 
Câu III: (4 điểm)
Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3). Hai tổ công nhân lắp máy được giao làm một khối lượng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc. 
Nếu công việc trên được giao riêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành.
Câu IV: (3 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA.
3) Chứng minh 
Câu V: (2 điểm)
Giải phương trình: 
Đề số 7
Câu I: (2điểm)
1. Thực hiện phép chia cho . Tìm x Z để A chia hết cho B.
2. Phân tích đa thức thương trong câu 1 thành nhân tử.
Câu II: (2điểm)
1. So sánh A và B biết:
 và 
2. Chứng minh rằng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44.
Câu III: (2điểm)
1. Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn: . Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ?
2. Cho đa thức f(x) = . Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức .
Câu IV: (3điểm) 
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Gọi M là giao điểm của BF và CE.
1. Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?
2. Chứng minh AB. CF = AC. AE
3. So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC.
Câu V : (1 điểm)
Chứng minh nghiệm của phương trình sau là một số nguyên:
Đề số 8
Câu 1: (2điểm)
a) Cho 
Tính 
b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương.
Câu 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
Câu 3: (2 điểm) 
 Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. 
Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.
Câu 4: (3 điểm)
 Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC.
Câu 5: (1 điểm)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Đề số 9
Bài 1: (2 điểm)
Cho 
a) Rút gọn M.
b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm x biết : 
b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phương.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho x và y thoả mãn: 
Tính 
b) Cho a, b, c thoả mãn: 
Chứng minh: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I là giao điểm của AC và BD. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh IM = IN.
b) Chứng minh: 
c) Gọi K là trung điểm của DC, vẽ đường thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lượt tại H và E. Chứng minh HM + HE = 2AK.
d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). Tính S(ABCD) theo a và b.
Đề số 10
Câu 1: (2 điểm) 
 Phân tích đa thức thành nhân tử:
 a) 
 b) 
 c) 
Câu 2: (2 điểm)
 1) So sánh A và B biết: và 
 2) Cho và .
 Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 3: (2 điểm)
 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 2) Giải phương trình: 
 3) Chứng minh rằng: 
Câu 4: (3 điểm)
 Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. 
 a) Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi.
 b) Chứng minh AF2 = FK. FC.
 c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(1) và f(2) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.
Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức: 
b) Chứng minh rằng: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho xyz = 2006
Chứng minh rằng: 
b) Tìm n nguyên dương để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3.
c) Cho . Chứng minh rằng: .
Câu 3: (2 điểm)
Cho phân thức:
a) Rút gọn B.
b) Tìm giá trị lớn nhất của B.
Câu 4: (3 điểm)
 Cho M là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ các hình vuông AMCD và BMEF.
a) Chứng minh: AE ^ BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB.
Câu 5: (1 điể ... a) Giải phương trình: 
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và .
Tính 
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho m, n là các số thoả mãn: .
Chứng minh (m-n) và (4m + 4n + 1) đều là số chính phương.
b) Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mãn và .
Tính giá trị của biểu thức: theo m.
Câu 4: (3 điểm)
Cho DABC , trọng tâm G, trên BC lấy điểm P, đường thẳng qua P theo thứ tự song song CG và BG cắt AB, AC tại E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự tại I, J.
a) Chứng minh: EI = IJ = JF
b) Chứng minh PG đi qua trung điểm của EF.
c) Một đường thẳng P ở ngoài tam giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ ba đỉnh của tam giác ABC xuống đường thẳng d gấp 3 lần khoảng cách từ trọng tâm đến đường thẳng d.
Câu 5: (1 điểm) 
Tìm tất cả các số có hai chữ số sao cho: là số nguyên tố.
Đề số 31
Câu 1: (2 điểm) 
Cho biểu thức: 
a) Rút gọn M.
b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7.
Câu 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: 
 chia hết cho 323
b) Cho x, y, z khác 0 và . Chứng minh rằng:
Nếu thì 
Câu 3: (2 điểm) 
Trong một cuộc đua mô tô có ba xe cùng khởi hành một lúc. Một xe trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất là 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km, đến đích chậm hơn xe thứ nhất 12 phút và sớm hơn xe thứ ba 3 phút. Không có sự dừng lại trên đường đi. 
Tìm vận tốc mỗi xe, quãng đường đua và xem mỗi xe chạy mất bao nhiêu thời gian.
Câu 4: (2 điểm)
Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Các đoạn thẳng AO, BE, Cn và DK cắt nhau tại L, M, R, P. 
Tính tỉ số diện tích S(MNPR) : S(ABCD).
Câu 5: (1 điểm)
Tính tổng 
Đề số 32
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử.
b) Tính : 
Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức: 
 với x = 6
b) Tìm n nguyên để n - 1 chia hết cho 
Câu 3: ( 2 điểm)
a) Cho đa thức 
Tìm dư của phép chia f(x) cho 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Gọi M là giao điểm của BF và CE.
a) Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh AB. AE = AC. AF.
c) So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC.
Câu 5: (1 điểm) 
 Cho 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Đề số 33
Câu 1: (2 điểm)
1. Phân tích thành nhân tử:
a) 
b) 
2. Cho a, b là các số thoả mãn . Tính giá trị của biểu thức:
Câu 2: ( 2 điểm)
) Cho p và p2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 là số nguyên tố.
b) Tìm các số dương x, y, z thoả mãn: và 
Câu 3: (2 điểm) 
Trên quãng đường AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngược lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc như nhau. Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp một xe buýt đi từ B vể phía mình. 
Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vượt qua người đó.
Câu 4: (3 điểm)
a) Cho hình bình hành ABCD. Lấy E thuộc BD, Gọi F là điểm đối xứng với C qua E. Qua F kẻ Fx song song với AD, cắt AB tại I, Fy song song với AB, cắt AD tại K. Chứng minh rằng ba điểm I, K, E thẳng hàng.
b) Cho đoạn thẳng AB song song với đường thẳng d. Tìm điểm M (d và M nằm khác phía với AB) sao cho các tia MA, MB tạo với đường thẳng d một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Câu 5: (1 điểm) 
Giải phương trình: 
Đề số 34
Câu 1: (2 điểm)
a) Cho 
Tính giá trị của biểu thức: 
b) Tìm số tự nhiên x để là số chính phương.
Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Giải bất phương trình: 
Câu 3: ( 2 điểm)
Việt (hỏi): Bạn ở số nhà bao nhiêu ?
Nam (trả lời): Mình ở số nhà là một số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu cũng như hai chữ số cuối lập thành một số chính phương và số này gấp bốn lần số kia ?
Việt: Sau một lúc suy nghĩ đã tìm ra số nhà của Nam.
 	Hỏi số nhà của Nam là bao nhiêu ?
Câu 4: ( 3 điểm)
1) Cho hai điểm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng a. Hãy tìm trên đường thẳng a một điểm P sao cho tổng độ dài AP + PB là bé nhất.
2) Cho góc nhọn xOy và 1 điểm A ở miền trong góc đó. Hãy tìm trên hai cạnh Ox, Oy các điểm tương ứng B và C sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các số x, y, z, t thỏa mãn: 
Đề số 35
Câu 1: ( 2 điểm) 
Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 
b) 
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho f(x) = 
Chứng minh rằng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3)
b) Tìm các số x, y nguyên dương thoả mãn: 
Câu 3: ( 2 điểm) 
a) Chứng minh rằng chia hết cho 120 với mọi n nguyên.
b) Cho tam giác có độ dài hai đường cao là 3 cm và 7 cm. Hãy tìm độ dài đường cao thứ ba, biết rằng độ dài đường cao đó là một số nguyên.
Câu 4: (3 điểm)
a) Chứng minh tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của ngũ giác đó.
b) Cho tam giác ABC . Trong các hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cạnh BC và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)
	Tìm tất cả các số thực dương x, y thoả mãn: 
Đề số 36
Câu 1: ( 2 điểm)
a) Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.
b) Phân tích thành nhân tử: 
Câu 2: (2 điểm) 
a) Tìm x, y, z thoả mãn: 
b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
 là một số hữu tỉ.
Câu 3: ( 2 điểm) 
a) Cho x, y > 0 thoả mãn x + y =1. Chứng minh rằng: 
b) Chứng minh rằng: 
Câu 4: (2 điểm)
Cho đa thức P(x) với a, b, c , d là hằng số. 
Biết P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . 
Tính P(12) + P(-8).
Câu 5: ( 2 điểm)
Tìm các số x, y nguyên thoả mãn: 
Đề số 37
Bài 1: (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) Tìm số nguyên a để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (4 điểm) 
Đa thức P(x) khi chia cho x -3 dư 7, khi chia cho x + 5 dư -9 còn khi chi cho
 x2 - 5x + 6 thì được thương là x2 + 1 và còn dư. Tìm đa thức P(x).
Bài 3: (6 điểm)
a) Biết x là nghiệm của phương trình:
Tìm x ở dạng thu gọn.
b) Rút gọn biểu thức: 
Bài 4: (6 điểm)
a) Trên tia Ox của góc xOy cho trước một điểm A. Hãy tìm trên tia Oy của góc đó một điểm B sao cho OB + BA = d (với d là độ dài cho trước.
b) Cho tam giác ABC có 2 trung tuyến kẻ từ B và C là BE và CF. Chứng minh rằng BE vuông góc với CF khi và chỉ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 .
Đề số 38
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
b) Giải phương trình: 
Bài 2: (2 điểm) 
Cho biểu thức: 
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để P nguyên.
Bài 3: (3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y, z biết rằng: 
b) Cho đa thức f(x) = với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên.
 Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
Bài 4: (2 điểm) 
 Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 
 Chứng minh rằng: 
Bài 5: (1 điểm)
 Tìm các hằng số a và b sao chob đa thức chia cho (x + 1) thì dư 7, chia cho (x-3) thì dư -5.
Đề số 39
Bài 1: (2 điểm) 
Rút gọn biểu thức:
a) 
b) 
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) Tìm x, y biết: 
c) Cho. Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là một số nguyên tố.
Bài 3: ( 2 điểm)
 Giải phương trình:
Bài 4: (2 điểm)
 Một ô tô khởi hành đi từ A đến C, hai giờ sau một ô tô khác đi từ B đến C. Sau giờ tính từ khi ô tô thứ nhất lhởi hành thì hai ô tô gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ô tô. Biết rằng B nằm trên đường từ A đến C và quãng đường AB bằng 78 km, vận tốc của ô tô đi từ A lớn hơn vận tốc của ô tô đi từ B là 5 km/h.
Bài 5: (2 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba phân giác trong là AD, BE và CF. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của B, A và C qua AD, BE , AD. Q là điểm đối xứng của A qua CF. Chứng minh MN // PQ.
Đề số 40
Bài 1: ( 2 điểm) 
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 
b) 
Bài 2: (4 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức sau: 
b) Xác định a, b để đa thức chia hết cho đa thức 
c) Tìm dư của phép chia đa thức cho đa thức 
d) Tìm x nguyên thoả mãn: 
Bài 3: (2,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BD và AC.
a) Chứng minh MN là phân giác của góc PMQ.
b) Tìm điều kiên của tứ giác ABCD để MN = PQ.
c) Xác định vị trí của điểm I trên CD để AIB có chu vi nhỏ nhất.
Bài 4: (1,5 điểm)
a) Tính nhanh: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Đề số 41
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm thương và phần dư trong phép chia đa thức:
 cho 
b) Đa thức f(x) khi chia cho x-3 thì dư 10, khi chia cho x+5 thì dư 2 còn khi chia cho (x-3)(x+5) thì được thương là và còn dư. Tìm đa thức f(x).
Bài 3: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên x sao cho có giá trị là một số nguyên tố.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD và một điểm M trên đường chéo AC. Từ M hạ MH, MK thứ tự vuông góc với AB và BC.
a) Chứng minh rằng: AK, CH và DM đồng quy.
b) Tính các góc của ∆DHK nếu biết diện tích của ∆ đó bằng .
Bài 5: (1 điểm)
Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
Đề số 42
Bài 1: (2 điểm) 
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 
b) 
Bài 2: (2 điểm) 
Cho biểu thức: 
a) Rút gọn P.
b) Tính P khi 
Bài 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì phân số:
 tối giản.
b) Tìm số nguyên n để chia hết cho 
Bài 4: (3 điểm)
 Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AE, cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh rằng chi vi tam giác CEM không đổi khi E chuyển động trên BC.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm a để P = a4 + 4 là một số nguyên tố.
Đề số 43
Bài 1: ( 2điểm) 
 	Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 
b) 
Bài 2: (2 điểm) 
Cho đa thức và cho biết
P(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51.
Tính P(6) ; P(7) ; P(8).
Bài 3: (2 điểm) 
Giải phương trình: 
a) 
b) 
Bài 4: (2 điểm)
Dùng hai can 4 lít và 2,5 lít làm thế nào để đong được 3 lít rượu từ một can 6 lít đựng đầy rượu (các can không có vạch chia độ). 
Bài 5: (2 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
Đề số 44
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử: 
b) Tìm các cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: 
Bài 2: ( 2điểm) 
Giải phương trình: 
a) 
b) 
Bài 3: ( 2 điểm)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Newtơn của đa thức: 
Bài 4: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó bằng luỹ thừa bậc bốn tổng các chữ số của nó.
Bài 5: (2 điểm) 
 Chứng minh rằng: 
Đề số 45
Câu 1: ( 2 điểm)
Phân tích thành nhân tử: 
a) 
b) 
Câu 2: ( 2 điểm)
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: 
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho . Tính giá trị của biểu thức:
Câu 4: (2 điểm) 
Cho x, y, z > 0 và xyz =1 . Chứng minh rằng:
Câu 5: ( 2 điểm) 
Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: . 
Tìm GTNN của biểu thức: