Đề thi học sinh giỏi cụm Toán Lớp 8 - Phòng GD & ĐT Thiệu Hóa

Phßng GD & §T ThiÖu Ho¸
 Côm 1 THCS 
......................***........................
§Ò thi häc sinh giái côm 
M«n: To¸n 8
Thêi gian lµm bµi : 150 phót.
Phần I : Đề bài
Câu 1 (4 đ): Phân tích đa thức thành nhân tử :
x2 + 6x + 5 b) x3 + y3 + z3 – 3xyz 
(x2 – x + 1 )( x2 – x +2 ) – 12 d) 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6
Câu 2 (4 đ): Giải các phương trình sau : 
 a) b) x3 – 4x2 + x + 6 = 0 
 c) 
Câu 3 (2 đ): Tìm x nguyên để biểu thức : là số nguyên.
Câu 4 (5 đ): Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC (không trùng với A và C). Tia Bx vuông góc với đoạn thẳng AC. Trên tia Bx lần luợt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA , BE = BC.
Chứng minh rằng : CD = AE và CD AE.
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE , CD. Gọi I là trung điểm cảu MN. Chứng minh rằng : Khoảng cách từ điểm I đến đoạn thẳng AC không đổi khi điểm B di chuyển trên đoạn thẳng AC.
Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó.
Câu 5 (3 đ): Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Các đường thẳng song song với AM vẽ từ B và C cắt AC và AB tại D và E. Chứng minh : 
Câu 6 (2 đ): Tìm số dư trong phép chia của biểu thức: 
 (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho x2 + 8x + 12.
PhÇn II : §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
§¸p ¸n
§iÓm
C©u 1: 
a) x2 + 6x +5 = x2 + x + 5x + 5 = x( x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x + 5)
b) Ta cã: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy3 + y3
 => x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xy(x + y + z)
 = (x + y + z) - 3xy(x + y +z)
 = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz)
c) §Æt t = x2 – x + 1. Khi ®ã : 
(x2 – x + 1)( x2 – x + 2) – 12 = t(t + 1) – 12 = t2 + t – 12 = (t – 3)(t + 4) 
 = (x2 – x – 2)( x2 – x + 5)
d) 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6 = 2x4 + 2x3 – 9x3 – 9x2 + 7x2 + 7x + 6x + 6
 = 2x3(x + 1) – 9x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 6(x + 1) 
 = (x + 1)(2x3 – 9x2 + 7x + 6) = (x + 1)(2x3 – 6x2 – 3x2 + 9x – 2x + 6)
 = (x + 1)[2x2(x – 3) – 3x(x – 3) – 2(x – 3)] = (x + 1)(x – 3)(2x2 – 3x – 2)
 = (x + 1)(x – 3)(2x + 1)(x – 2) 
1
0,25
0,25
C©u 2:
a) (PT) 
 ( v× 0 ) x = -15.VËy PT cã tËp nghiÖm S = 
b) (PT) (x + 1)(x – 2)(x – 3) = 0 x + 1 = 0 hoÆc x – 2 = 0 hoÆc x – 3 = 0
 x = -1 ; x = 2 ; x = 3.VËy PT cã tËp nghiÖm S = 
c) §KX§ : 
(PT)
Khö mÉu ta ®­îc:(x – 8)(x – 2) = 7 (TM§K)
VËy PT cã tËp nghiÖm S = 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
C©u 3 : Ta cã: A = x2 + 3x – 1 + 
 V× x Z th× x2 + 3x – 1 Z nªn ®Ó A lµ sè nguyªn th× Z hay 2x + 1 ¦(4) 
 mµ ¦(4) = . 
 +) Víi 2x + 1 = -1 => x = -1 (t/m) +) Víi 2x + 1 = 2 => x = (lo¹i)
 +) Víi 2x + 1 = 1 => x = 0 (t/m) +) Víi 2x + 1 = - 4 => x = (lo¹i)
 +) Víi 2x + 1 = -2 => x = (lo¹i) +) Víi 2x + 1 = 4 => x = (lo¹i)
 VËy gi¸ trÞ x = th× gi¸ trÞ A lµ sè nguyªn. 
0,25
0,25
C©u 4: 
GT
Cho AC = m. LÊy BAC; Bx AC.
D,E Bx \ BD = AB; BE = BC.
MA = ME (MAE);ND = NC (NCD)
IM = IN (IMN)
KL
a) C/m: AE = CD vµ AE CD
b) K/c tõ I ®Õn AC kh«ng ®æi 
c) T×m vÞ trÝ cña B\ SABE + SBCD lín nhÊt
 Bµi gi¶i: 
 a) Gäi K lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE.
C/m ®­îc ABE = DBC(c.g.c) => AE = CD.
L¹i cã: ¢1 = D2 = D1 mµ ¢1 + £1 = 900 nªn D1 + £1 = 900.Do ®ã: DKE = 900 hay AE CD
 b) Gäi M’,N’,I’ lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña M,N,I trªn AC.
 XÐt ABE (ABD = 900) cã BM lµ ®­êng trung tuyÕn => MA = ME = BM = AE
 XÐt BCD (CBD = 900) cã BN lµ ®­êng trung tuyÕn => NC = ND = BN = CD
 Mµ AE = CD (c©u a) => BM = BN.
 L¹i cã : MBE c©n t¹i M => E1 = MBD vµ NBD c©n t¹i N => D2 = NBD.
 Do ®ã: MBD +NBD = E1+D2 = 900hay MBN = 900.
 C/m ®­îc BMM’ = NBN’(c¹nh huyÒn_gãc nhän) => BM’ = NN’ vµ MM’ = BN’
 => MM’ + NN’ = BM’ + BN’ = AB + BC = AC = m (v× MAB vµ NBC c©n)
 XÐt h×nh thang MM’N’M cã I I’ // MM’ // NN’ vµ IM = IN nªn I I’ lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang => I I’ = (MM’ + NN’) = m (kh«ng ®æi) => ®pcm.
 c) §Æt AB = x => BE = m – x. 
Khi ®ã: SABE + SBCD = AB.BE + BD.BC = AB.BE = x(m – x) (v× AB = BD vµ BE = BC)
Do ®ã: SABE + SBCD lín nhÊt x(m – x) lín nhÊt. Mµ tÝch x(m – x) cã tæng x + m – x = m lµ kh«ng ®æi nªn ®Ó tÝch x(m – x) lín nhÊt th× x = m – x x = m.
VËy ®Ó SABE + SBCD lín nhÊt th× B lµ trung ®iÓm cña BC. 
0,5
0,5
0,5
0,5
C©u 5:
Ta cã: BC = BM + MC 
(1)
Mµ theo hÖ qu¶ ®Þnh lÝ Ta-lÐt ®èi víi BDC vµ BCE ta cã:
AM // CE => vµ AM // BD => .
Do ®ã thay vµo (1) ta ®­îc: 
 => ®pcm
C©u 6: Gi¶ sö th­¬ng trong phÐp chia lµ Q(x) vµ cã d­ lµ ax + b.
Theo bµi ra ta cã: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 2009 = (x2 + 8x + 12).Q(x) + ax + b
 = (x + 2)(x + 6).Q(x) + ax + b (*)
Do ®¼ng thøc (*) ®óng víi mäi x nªn:
 + Víi x = -2 ta cã: (-2+1)(-2+3)(-2+5)(-2+7) + 2009 = -2a + b-2a + b = 1994 (1)
 + Víi x = -6 ta cã: (-6+1)(-6+3)(-6+5)(-6+7) + 2009 = -6a + b-6a + b = 1994 (2)
Tõ (1) & (2) suy ra : a = 0 vµ b = 1994.
VËy sè d­ cña phÐp chia lµ: 1994. 
0,5
0,5
Tæng
20®