Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Khối 8 - Năm học 2010-2011

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn: Toán 8
Thời gian:150 phút (Không kể giao đề)
Câu 1: ( 4đ) Giải phương trình sau:
	(x - 2).(x - 5).(x - 6).(x - 9) = (x + 2).(x + 5).(x + 6).(x + 9)
Câu 2: (4đ)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:	2x2 + 4x = 19 – 3y2
Tính tổng	
Câu 3: (4đ)
	Một ôtô vận tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau đó một thời gian một ôtô con cũng đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ôtô tải tại B. Nhưng ngay sau khi đi đợc nửa quãng đường AB xe tải giảm bớt 5 km/h nên hai xe gặp nhau tại C cách B 30km. Tính quãng đường AB. 
Câu 4: (4đ)
 Cho ABC nhọn các đường cao AA’, BB’, CC’ đồng quy tại H. Chứng minh rằng:
a) 
b) HA.HA’ = BH.HB’ = CH.HC’
Câu 5: (4đ)
	Chứng minh rằng:
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
PT 
0,5
Đặt: 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Vậy PT có nghiệm là x = 0
0,5
Câu 2
PT 
0,5
Ta thấy: y lẻ.
Ta lại có; nên chỉ có thể .
0,5
Khi đó PT có dạng: 
0,5
Các cặp số: (2;1); (2;-1); (-4;1); (-4;-1) là nghiệp của PT đã cho
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 3
Gọi quãng đường AB dài là x km ĐK: x>30
Nửa quãng đường AB dài là: (km)
0,5
Nếu đi với vận tốc 45 km/h thì thời gian ôtô tải đi hết quãng đường AB là: h
Nếu đi với vận tốc 60 km/h thì thời gian ôtô con đi hết quãng đường AB là: h
0,5
Thời gian ôtô con xuất phát sau ôtô tải là: h
Thời gian ôtô tải đi hết nửa quãng đường AB là : h
0,5
Thời gian ôtô tải đi từ khi giảm vận tốc 5km/h đến khi gặp nhau là:
0,5
Thời gian ôtô con đi từ lúc suất phát tới lúc gặp nhau là: 
0,5
Ta có PT: 
0,5
 (thoả mãn đk)
0,5
Vậy quãng đường AB dài 80 km
0,5
Câu 4
a) 
0,5
0,5
0,5
Suy ra 
0,5
B) AB’H đồng dạng BA’H => AH.HA’ = HB.HB’
0,5
Tương tự suy ra HB. HB’ = HC. HC’
0,5
Tương tự suy ra AH.HA’ = HC. HC’
0,5
Kết luận: HA.HA’ = BH.HB’ = CH.HC’
0,5
Câu 5
k
0,5
Cộng các vế của 2 đẳng thức ta được;
0,5
Đặt : 
1
Ta có: 
0,5
Cộng các vế của 2 đẳng thức ta được; 
1
Từ 1 và 2 suy ra: A <2
0,5
Phòng GD & ĐT Việt Yên
Trường THCS Tự Lạn
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn: Toán 6
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Cõu 1: (4 điểm).
Tớnh cỏc tổng sau một cỏch hợp lý:
1) 22344 . 36 + 44688 . 82
2)	1 + 2 + 3 +  + 2009 + 2010
3)	132 + 128 + 124 +  + 72 + 68
Cõu 2 (.2.. điểm).
Trong cỏc số tự nhiờn nhỏ hơn 100 cú bao nhiờu số chia hết cho 2 nhưng khụng chia hết cho 5.
Cõu 3: (7 điểm).
Nếu đỏnh số số trang của một quyển sỏch dày 2746 trang cần dựng bao nhiờu chữ số.
Cõu 4: (4 điểm)
 Tỡm x biết :
 (x + 1) + (x + 2) +  + (x + 98) + (x + 99) = 9900.
Cõu 5: (4 điểm).
Cho 2010 điểm thẳng hàng. Hỏi cú bao nhiờu điểm nằm giữa hai điểm khỏc.
Trờn đường thẳng xy lấy 1005 điểm phõn biệt. Hỏi trờn đường thẳng xy cú bao nhiờu tia? 
------------------------ Hết --------------------
(Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
 Họ và tờn thớ sinh ....................................................... Số bao danh
Phòng GD & ĐT Việt Yên
Trường THCS Tự Lạn
đáp án thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn: Toán 6
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Cõu 1: 
	22344 . 36 + 44688 . 82
=	22344 . 2 . 18 + 44688 . 82
=	44688 . 18 + 44688 . 82
=	44688 . (18 + 82) 
=	44688 . 100 = 4 468 800
0.5
0.5
0.5
0.5
	1 + 2 + 3 +  + 2009 + 2010(cú 2010 số hạng)
=	[(1+2010) . 2010] : 2 = 2021055
1
	132 + 128 + 124 +  + 72 + 68 (cú 17 số hạng)
=	[(132 + 68) . 17] : 2 = 1700
1
Cõu 2: 
Cỏc số chia hết cho 2 nhưng khụng chia hết cho 5 cú chữ số tận cựng là : 2; 4; 6; 8
Moói chuùc coự 4 soỏ.
Tửứ 0 ủeỏn 1000 coự 100 chuùc.
Vaọy coự 4 . 100 = 400 soỏ.
1
1
1
1
Cõu 3: 
Quyển sỏch cú:
Số trang cú 1 chữ số là : 9 – 1 + 1 = 9 trang
Số trang cú 2 chữ số là: 99 – 10 + 1 = 90 trang
Số trang cú 3 chữ số là: 999 – 100 + 1 = 900 trang
Số trang cú 4 chữ số là: 2746 – 1000 + 1 = 1747 trang
Vậy số chữ số cần dựng là :
1 . 9 + 2 . 90 + 3 . 900 + 4 . 1747 = 9877 (chữ số)
0.5
0.5
0.5
0.5
2
Cõu 4 
	(x + 1) + (x + 2) +  + (x + 98) + (x + 99) = 9900	{[(x + 1) + (x + 99)] . 99} : 2 = 9900
	(2x + 100) . 99 = 2 . 9900
	2x + 100 = 200
	2x = 100
	x = 50
1
1
1
1
1
Cõu 5 
Trong 2006 điểm thẳng hàng cú : 2006 – 2 = 2004 điểm nằm giữa hai điểm khỏc nhau
2
Với mỗi điểm trờn đường thẳng xy ta cú đước hai tia đối nhau.
Vậy với 1005 điểm cú: 1005 . 2 = 2010 tia.
2
Ghi chỳ: Người ra đề và hướng dẫn chấm nờu một số yờu cầu chung khi làm bài.
Phòng GD & ĐT Việt Yên
Trường THCS Tự Lạn
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn: Toán 7
Thời gian:150 phút (Không kể giao đề)
C âu 1 :(3đ) Thực hiện phép tinh một cách hợp lí (nếu có thể )
a, 2008 . 
b, 
Câu 2: (3,5đ) Tìm x,y,z biết :
a, và =116
b, 
Câu 3 : (3,5đ) 
 Một cửa hàng có ba cuộn vải ,tổng chiều dài ba cuộn là 186 mét ,giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn là như nhau .Sau khi bán được một ngày ,cửa hàng còn cuộn vải thứ nhất , cuộn vải thứ hai ,cuộn vải thứ ba ,số tiền bán được của ba cuộn tỉ lệ với 2,3,2. Tính xem hôm đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải.
Câu 4 : (7đ)
 Cho tam giác đều ABC .Trên tia đối của các tia BA và CA lấy lần lượt các điểm M và N sao cho BM=CN .Gọi I là giao điểm của MC và BN .
a , Chứng minh rằng : MI =NI .
b, Tia phân giác của góc AMC cắt AI và AN thứ tự tại Ovà K .Chứng minh rằng : MO > .
c, BO cắt AN tại Q .Chứng minh rằng tam giác OKQ cân.
Câu 5 : (3đ) 
 Tìm các số tự nhiên a;b sao cho :
 (2008.a + 3b+1). (+2008.a +b) =225
Phòng GD & ĐT Việt Yên
Trường THCS Tự Lạn
HD chấm thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn: Toán 7
Câu 1 : (3đ) Thực hiên phép tính (theo cách hợp lí nếu có thể) . 
a , 2008 . (0,5đ)
= (0,5đ)
= (0,5đ)
b , 
= (0,5đ)
 = (0,5đ)
=
=
= (0,5đ)
Câu 2 : (3,5đ) a , và 
Từ giả thiết (1đ)
Tìm đúng : ( x=4 : y=6; z=8) ; (x=-4; y= -6 ;z = - 8 ) (0,5đ)
b, Từ 
 (0,5đ)
 (0,5)
Từ đó ta có x+y=-z ; x +z =-y ; y+z=-x (0,5đ)
Thay vào ta tìm được :x= ;y = ; x= (0,5đ)
Câu 3 :(3,5đ)
Gọi chiều dài của ba cuộn vải thứ nhất ,thứ hai, thứ ba lần lượt là a;b;c mét (a ;b;c > 0) (0,5đ)
Sau một ngày cửa hàng bán được số vải của các cuộn là :
Cuộn thứ nhất a- a = a (m)
Cuộn thứ hai b -b (m)
Cuộn thứ ba c- c (m) (0,5đ)
Do giá tiền của một mét vải của các cuộn bằng nhau nên số métvải bán được của các cuộn tỉ lệ thuận với số tiền bán được .Mà số tiền bán được của các cuộn tỉ lệ 2,3,2 .Vậy số mét vải bán được của các cuộn tỉ lệ với 2;3;2 
Ta có (1đ)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 
 (0,5đ)
a = 72 (m) ; b = 54 (m) ; c = 60 (m) (0,5)
Vậy số vải bán được trong ngày đó của ba cuộn lần lượt là : 72 mét ,54 mét , 60 mét . (0,5đ)
Câu 4 : (7đ) a , c/m được A (1đ)
 (g.c.g) .Do đó MI=NI (1đ)
b , C/m được (0,5đ)
là phân giác của góc MAC	K
CO là tia phân giác của góc ACM P Q (0,5đ)
Dễ thấygócACM >góc AMC	B	C
ÔCM>ÔMCMO>OC (0,5đ)
Mà MO+OC > CM 	I
Nên 2.OM > MC 	M	N
MO > (0,5đ)
C , Gọi giao điểm của CO với AM là P. Chứng minh được ABO = ACO (0,5đ)
ABQ = ACP nên ÂPC =ÂQB (0,5đ)
Tính được góc MOC =
PÔM =ÂPC=PMO + (0,5đ)
Có góc OKQ = góc PMO + 
Suy ra góc APC = góc OKQ (0,5đ)
Suy ra góc AQB = góc OKQ hay góc KQO =OKQ
Dođó OKQ cân tại O (0,5đ)
Câu 5: (3đ)
Theo đề bài 2008a +3b +1 và +2008a+b là 2số lẻ . (0,5đ)
-Nếu a 0 +2008a là số chẵn 
Để +2008a +b là lẻb lẻ (0,5đ)
Nếu b lẻ 3b+1 chẵn do đó 
 2008a + 3b + 1 chẵn ( không thoả mãn ) (0,5đ)
Vậy a=0
Với a =0 (3b +1)(b +1) = 225 (0,5đ)
Vì b N (3B +1)(B +1) =3.75 =5.45 =9.25
3b +1 không chia hết cho 3 và 3b +1> b+1 (0,5đ)
{3b+1=25 và b+1=9 b=8
Vậy a=0 ; b=8 (0,5đ)
Phòng GD & ĐT Vi ệt Yên
Trường THCS Tự Lạn
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn: Toán 9
Thời gian:150 phút (Không kể giao đề)
Câu 1: (5 điểm)
 1. Cho biểu thức 
 a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
 b) Tính A2.
 c) Rút gọn A.
 2. Cho , trong đó a > 0; b> 0.
 Tính giá trị của biểu thức 
Câu 2: (4 điểm)
 1. Cho a, b là các số thực không âm tuỳ ý.
 Chứng tỏ rằng . Khi nào có dấu đẳng thức ?
 2. Xét u, v, z, t là các số thực không âm thay đổi có tổng bằng 1.
 Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của : 
Câu 3: (4 điểm)
 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
 2x + 9y = 2005 (*)
2. Chứng minh rằng: x.y55833 trong đó (x, y) là nghiệm nguyên bất kì của (*)
Câu 4: (4 điểm)
 1. Rút gọn biểu thức:
 a) 
 b) 
 2. Cho tam giác ABC vuông tại A.
 Chứng minh rằng : 
Câu 5: (3 điểm)
 Cho tam giác vuông DEH có độ dài hai cạnh góc vuông là DE=5cm và EH=12cm.
 1. Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác vuông DEH.
 2. Trong tam giác vuông DEH có hai đường tròn có cùng bán kính r, tiếp 
 xúc ngoài nhau và tiếp xúc với các cạnh tam giác vuông DEH như hình 
 dưới. Tính độ dài của r.
 --------------Hết----------------
Phòng GD & ĐT Vi ệt Yên
Trường THCS Tự Lạn
đáp án thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn: Toán 9
Câu
ý
Nội dung
Điểm
1
(5đ)
1a
(0.5đ)
Điều kiện để biểu thức A có nghĩa:
KL: Vậy điều kiện để biểu thức A có nghĩa là: 
0.25đ
0.25đ
1b
(1đ)
Với điều kiện (*) ta có: 
KL: Vậy A2 = 1
0.75đ
0.25đ
1c
(1.5đ)
Nếu x > 3 thì x-2 >1 
Nếu thì 
KL: Vậy 
0.75đ
0.5đ
0.25đ
2
(2đ)
Ta có 
* Nếu 
* Nếu 
1đ
0.5đ
0.5đ
2
4đ
1
(2đ)
* 
* Dấu đẳng thức a=0 hoặc b=0
* 
* Dấu đẳng thức a=b 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
(2đ)
* Giá trị nhỏ nhất của S:
 + Dùng câu a. (Do u+v+z+t=1)
+ Dấu đẳng thức xảy ra (u=0 hay v=0) và (z=0 hay t=0) và 
(u+v=0 hay z+t=0) và (u+v+z+t=1).
Khi u=1, v=z=t=0 thì u+v+z+t=1 và S = 1. Vậy MinS = 1
* Giá trị lớn nhất của S:
 + Dùng câu a. (Do u+v+z+t=1)
+ Dấu đẳng thức xảy ra [u=v, z=t, 2(u+v)=2(z+t) và (u+v+z+t=1)].
 u+v+z+t=1 u=v=z=t=và S = 2 . Vậy MaxS=2
1đ
1đ
1đ
1đ
3
(4đ)
1
(2đ)
* Ta có 2005 chia 9 được 222 và dư 7, nên: 
2005=222.9+7=9.111+9.111+7=2.503+9.111. 
 Suy ra (503, 111) là 1 nghiệm
* 2x + 9y = 20052x + 9y = 2.503+9.1112(x-503)=9(y-111) 
 Vì (2,9)=1 nên tồn tại số nguyên t để x-503=9t hay x= 503+9t 
* Nghiệm nguyên của phương trình : (t là số nguyên tuỳ ý)
1đ
0.5đ
0.5đ
2
(2đ)
* 55833 - xy=55833 – (503+9t)(111-2t)=18t2+7t
* Khi t 0 thì 18t2+7t0
* Khi t thì 18t2+7t = t(18t+7) > 0
* Vì vậy với mọi số nguyên t đều có 55833 > xy
 Dấu đẳng thức xảy ra t = 0 x=503 ; y=111
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
4
(4đ)
1a
(1.25đ)
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
1b
(0.75đ)
0.75đ
2
(2đ)
Vẽ đường phân giác BD của tam giác ABC, theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: 
Tam giác ABD có: nên 
 Do đó 
1đ
0.5đ
0.5đ
5
3đ
1
(1.5đ)
* DH = 13
* dt(DEH) = 30
* Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp . Ta có:
 dt(DEH) = dt(IDE) + dt(IEH) + dt(IDH) 
* Gọi R là bán kính đường tròn nội tiếp. Ta có :
0. ...  tắc Dirichlet, tồn tại ít nhất 2 số chia cho 1994 có cùng số dư nên hiệu quả chúng chia hết cho 1994 mà hiệu đó sẽ có dạng 1993 1993 . 19930 0 00  0 	(1 điểm).
Trường THCS việt tiến
Chu văn ánh
đề thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện
Năm học: 2009-2010
Môn toán : 7
 Thời gian làm bài: 150 phút 
 Câu 1(4điểm)
 a. Thực hiện phép tính A = 
 b. Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : ; ; 
 Câu 2: ( 4,0 điểm)
Thực hiện phép tính:
A = 
Chứng minh rằng:
B = 
Câu 3 ( 4,0 điểm)
cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 + 2009 là hợp số.
Tìm x, y biết : ( 2x – 2) 2008+ ( 3y + 6)2010 ≤ 0
Câu 4 ( 2 điểm):
Cho a,b,c ,d là 4 số khác 0 thoả mãn b2 = ac và c2 = bd. 
Chứng minh rằng: 
Câu 5 ( 6,0 điểm):
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M sao cho NA = BA và NAB = 900.trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm M sao cho MA = CA và MAC = 900.
Chứng minh rằng:
NC = BM
NC BM.
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K. chứng minh rằng K là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Trường THCS việt tiến
Chu văn ánh đáp án chấm thi học sinh giỏi cấp huyện 
 Năm học: 2009-2010
 Môn toán: 7
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
1. Thực hiện phép tính (2điểm)
 A = 
 = 
 = 9 + 
 = 9 
2. Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : ; ; 
 Trong ba số ; ; thì là số lớn nhất. 
 Vậy nếu + > thì sẽ tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là ; ; 
 Thật vậy : > 
 > => + > 7 = > = 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5
1
1 
Câu 2
1)A = 
A = 
A = 
2)Có 1.98 + 2.07 + 3.96 + + 96.3 + 97.2+ 98.1
= ( 1 + 2 +3 +.+ 96+97+98) + (1+2+3++ 96+97)+.+ (1+2)+1 
= + +.+ + 
= 
=> B = = 
1
0,5
0,5
1
0,5
0,25
0,25
Câu 3
1)( 2 điểm)
* Có p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p không chia hết cho 3. 
=> p2 = 3k + 1 ( k là số tự nhiên lớn hơn 7) 
=> p2 + 2009 = 3k + 2010 
* Có 2010 3	( 0,25 điểm)
 3k 3
 => p2 + 2009 3	( 0,25 điểm)
 Mà p2 + 2009 là số tự nhiên lớn hơn 3	( 0,25 điểm)
p2 + 2009 là hợp số. 
2)( 2 điểm)
* Theo tính chất luỹ thừa bậc 2 ta có: ( 2x – 2)2008≥0	( 0,25 điểm)
	 (3y + 6 )2010 ≥ 0 
=> ( 2x - 2)2008 + ( 3y + 6)2010 ≥ 0 (1) 
 * Mà ta có (2x -2)2008 +(3y+6)2010 ≤ 0 (2) 
 * Từ (1) và (2) ta có : (2x -2)2008 +(3y+6)2010 = 0 
ú 2x-2 = 0	ú	x = 2/2 =1 
 3y +6 = 0 	y = - 6/3=-2	 
Vậy x= 1 và y = - 2 
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
Ta có b2 = ac và b,c ≠ 0 => (1) 
 Tương tự ta có : (2) 
* Từ (1) và (2) ta có : 
* Đặt = k ( k≠ 0 do a,b,c ≠ 0) 
 Có k3 = (3) 
 K3 = (4) 
 * Từ (3) và (4) ta có 
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
Câu 5
( Không cho điểm hình vẽ; hình vẽ sai không chấm)
T
1a) 
1a)Ta có AN, AC nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB (gt)
NAB và CBA kề nhau.
Có NAB = 900 (gt) => Tia AB nằm giữa AN và AC. 
 CAB < 900 (gt) 
=> NAB + CAB < 1800
 => NAB + CAB = 900 + CAB = NAC (1) 
Chứng minh tương tự có: 900 + CAB = NAC (2)	(0,25 đ)
* Từ (1) và (2) ta có NAC = BAM	(0,25 đ)
* Xét NAC và có:
 + AN = AB (gt)
 + NAC = BAM (cmt)	=> C = ( c.g.c) 
 + AC = AM (gt)
=> NC = BM ( đpcm) 
1b) Gọi giao điểm của NC với BM là I, giao điểm của Ac với BM là T.
Ta có NAC = BAM ( cmt)
=> CAN = AMB hay TCI = TMA 
* Mà CTI = MTA ( hai góc đối đỉnh) 
=> MAT = CIT ( Tổng 3 góc trong tam giác bằng 1800) 
Mà MAT = 900 (gt) 
=> CIT = 900 hay NC BM ( đpcm) 
 ) * Gọi giao điểm của AK với BC là H. kẻ MP vuông góc với AK tại P
Kẻ NQ vuông góc với AK tại Q.
Chứng minh được NQA = AHB ( cạnh huyền- góc nhọn)
=> NQ = AH (3) 
Chứng minh tương tự có MP = AH (4) 
* Từ (3) và (4) ta có NQ = MP. 
* Chứng minh được NQK = MPK (g.c.g) => NK = MK. 
 Mà N, M, K thẳng hàng (gt) 
=> K là trung điểm của MN (đpcm) 
0,5
0,25
0,25
0,75
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý: Các cách làm khác đúng, phù hợp chương trình lớp 7 vẫn cho điểm tối đa theo từng bước.
Tờn đơn vị : Trường THCS Việt Tiến 
Tờn GV: Nguyễn Văn Hựng 
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mụn: Toỏn 8
Năm học :2009-2010
(Thời gian 150 phỳt)
Cõu 1:(4điểm)
a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử
b) Rỳt gọn biểu thức sau :
M= 
Cõu 2:(3điểm) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số thoả món :
	 và 
 thỡ một trong ba số a,b,c phải cú một số bằng 2010
Cõu 3: (3điểm) Cho x, y, z là ba số thoả món điều kiện :
Hóy tớnh 
Cõu 4: (6điểm) Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đường chộo là O . Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N 
	1) Chứng minh 
	2) Biết . Tớnh 
	3) Tỡm điểm K trờn đường chộo BD sao cho đường thẳng qua K song song với AB bị hai cạnh bờn và hai đường chộo của hỡnh thang chia thành ba đoạn bằng nhau .
Cõu 5: (4điểm)
	a) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn n sao cho n2+2002 là một số chớnh phương 
	b) Cho số nguyờn dương n . Tớnh tổng sau theo n 
 --------------------Hết --------------------------
Tờn đơn vị : Trường THCS Việt Tiến 
Tờn giỏo viờn xõy dựng đỏp ỏn 
Nguyễn Văn Hựng ĐÁP ÁN CHẤM, THANG ĐIỂM 
 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 Năm học : 2009-2010
 Mụn thi: Toỏn 8
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Cõu 1:
(4điểm)
a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử
= x7 -x +x2 +x +1 = x(x3+1)(x3-1)+(x2+x+1)
=x(x3+1)(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1)
b) Rỳt gọn biểu thức sau :
M= 
Biểu thức cú nghĩa khi 
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Cõu 2
(3điểm)
Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số thoả món :
	 và 
 thỡ một trong ba số a,b,c phải cú một số bằng 2010
Điều kiện 
từ giả thiết ta cú 
Suy ra 
Nếu a+b=0 mà a+b+c=2010 nờn c= 2010
Nếu b+c=0 mà a+b+c= 2010 nờn a= 2010
Nếu a+c=0 mà a+b+c =2010 nờn b= 2010
Vậy một trong ba số a,b,c bằng 2010 
0,5đ
0,5đ
1đ
1đ
Cõu 3:
(3điểm)
Cho x, y, z là ba số thoả món điều kiện :
Hóy tớnh 
Vậy 
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Cõu 4:
(6điểm)
1) Theo định lý talet do
MN//AB //CD ta cú :
Suy ra , tương tự 
Vậy hay 
Do đú 
2) Nếu hai tam giỏc cú chung chiều cao thỡ tỷ số hai diện tớch của chỳng bằng tỷ số giữa hai đỏy nờn 
 và , nhưng , do đú 
Hay 
Suy ra 
Tương tự . Vậy 
3) G/s cú điểm K thuộc OD thoả món yờu cầu của đề bài và đường thẳng AK cắt DC ở I . Áp dụng định lý talột ta chứng minh được DI=IC . Từ đú suy ra cỏch dựng điểm K thuộc OD như sau 
Gọi I là trung điểm của DC. Đoạn thẳng AI cắt OD ở K 
g/s đường thẳng qua K và song song với AB, CD cắt AD,AC,BC lần lượt ở E,Q,P
Áp dụng talet ta cú suy ra EK=QP
mặt khỏc suy ra EK=KQ
Vậy điểm K thoả món yờu cầu của đề bài 
Tương tự J là trung điểm của AB và CJ cắt OB ở K'. lập luận tương tự như trờn điểm K' cũng thoả món yờu cầu của đề bài 
2đ
2đ
2đ
Cõu 5:
(4điểm)
a) Giả sử n2+2002 = k2 ( )
 (1)
Suy ra (k+n) và (k-n) là ước của 2002 . Mà (k+n)+(k-n)= 2k là số chẵn nờn (k+n) và (k-n) cựng tớnh chẵn lẻ, do 2002 là số chẵn nờn (k+n) và (k-n) đều là số chẵn, suy ra (k+n)(k-n) 4
Khi đú từ (1) ta cú 20024 điều này vụ lý 
vậy khụng cú số nguyờn n nào để n2 +2002 là số chớnh phương
b) 
Vậy 
Do đú nờn 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
GV: Nguyễn Xuân Tiến
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
ĐV: Trường THCS Việt Tiến
Môn: Toán lớp 9
Năm học: 2009 - 2010
Thời gian: 150’ không kể thời gian chép đề
Câu 1(4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 2(4 điểm)
a) So sánh:
 với 
b) Trong một lớp học có 85% số học sinh biết tiếng Pháp và 75% số học sinh biết tiếng Anh. Biết rằng bất kỳ học sinh nào trong lớp cũng biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp hoặc cả 2 thứ tiếng đó.
Hỏi số học sinh biết cả 2 thứ tiếng đó chiếm bao nhiêu phần trăm số học sinh cả lớp ?
Câu 3(4 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Có hay không số tự nhiên khác 0 vừa là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp, vừa là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp.
Câu 4(5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và B. Trên đường kính AB lấy điểm C và kẻ CH vuông góc với AD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F.
Đường thẳng DF cắt đường tròn ở N
Chứng minh rằng:
a) 3 điểm N,C, E thẳng hàng.
b) Nếu AD=BC thì DN đi qua trung điểm của AC.
Câu 5(3 điểm)
a. Chứng minh rằng nếu:
2a2 + b2 – 2ab – 6a + 2b + 5 = 0 thì phương trình 
ax2 –(b – a +1) = m2 + 1 có hai nghiệm đối nhau
 b. Chứng minh rằng nếu > 2 thì phương trình sau có
 nghiệm 2ax2 + bx +1 - a = 0
GV: Nguyễn Xuân Tiến
Đáp án Đt học sinh giỏi cấp huyện
ĐV: Trường THCS Việt Tiến
Môn: Toán lớp 9
Năm học: 2009 - 2010
Thời gian: 150’ không kể thời gian chép đề
Câu 1(Đúng mỗi phần cho 2 điểm)
a) 
b)
Đặt khi đó
A= 1 – t + 5t2 = 
A đạt giá trị Min bằng 
Câu 2(Đúng mỗi phần cho 2 điểm)
a) Ta so sánh A2 và B2 
Từ đó chỉ cần so sánh với 1992
Ta có:
1991.1993=19922-1<19922
	<1992
	Vậy A2<B2 A<B.
b) Gọi số % học sinh chỉ biết tiếng pháp là x, chỉ biết tiếng anh là y, biết cả 2 thứ tiếng là z. 
Ta có:
Vậy số học sinh biết cả 2 thứ tiếng chiếm 60% số học sinh của cả lớp.
Câu 3(Đúng mỗi phần cho 2 điểm)
a) Ta có:
và
Do đó: với x
Mặt khác: 4 – 2x – x2 = 5 – (x + 1)2 5 với x
Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm khi 2 vế nhận giá trị bằng nhau và bằng 5.
Hay 5 – (x + 1)2 = 1 x = - 1 
Vậy phương trình có nghiệm x = -1
b) Giả sử tồn tại số tự nhiên A thoả mãn đầu bài A0.
A=n(n+1)=m(m+1)(m+2)(m+3)	(m, n là các số tự nhiên khác 0)
	n2+n=(3m+m2)(m2+3m+2)
 n2+n+1=(m2+3m)2+2(m2+3m)+1
 =(m2+3m+1)2
Mặt khác n2<n2+n+1<(n+1)2
n2<(m2+3m+1)2<(n+1)2	(vô lý)
Vậy không tồn tại số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài.
Câu4 (Đúng mỗi phần cho 2,5 điểm )
N
B
A
D
E
H
F
M
O
a) Ta có: (góc nội tiếp cùng chắn cung ED)
	(vì AE là phân giác góc DAB)
	 (1)
Mặt khác: BDAD mà CHAD	(gt)
BD//CH
	(cùng chắn cung AD)
Tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn nên hay 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Vậy E, N, C thẳng hàng.	 	(2,5 điểm)
b) Từ C kẻ tia Cx//DA cắt đường thẳng DN ở M ta có :
	(so le trong)
mà 	(cùng chắn cung DB)
mà 
Tứ giác MNBC nội tiếp đường tròn 	(cùng chắn cung BC)
Mặt khác: CBM cân tại C CB = CM
Mà CD = AD AD = CM
Tứ giác ADCN là hình bình hành 
DM cắt AC tại trung điểm của mỗi đường
DN đi qua trung điểm của AC.	 (2,5 điểm)
Câu 5 (Đúng mỗi phần cho 1,5 điểm)
a.Từ giả thiết 2a2 - b2 –2ab – 6a – 5 = 0
	(a - 2)2 + (b - a)2 +2(b - a) + 1 = 0
	(a – 2)2 + (b – a + 1)2 = 0
thay vào phương trình (1) ta có:
 2x2 = m2+1 
Vậy x1 và x2 là 2 số đối nhau (1,5 điểm)
 b. Giả sử phương trình vô nghiệm , ta có :
 = b2 - 8a(1-a) 0 
 Từ đó ta có 0 <a < 1 , suy ra = a .	 
 Từ (1) , ta lại có < 2, vậy 
 = (2)	 
 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có :
 (= 3 (3)	 
 Kết hợp (2) với (3) , ta có :
 < 3 -1 = 2 ; trái với giả thiết .
 Vậy phương trình có nghiệm . (1,5 điểm)