Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Khối 8

đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Đề 1
Câu 1. (1,5đ) 
Rút gọn biểu thức : A = +++.+
Câu 2. (1,5đ) Tìm các số a, b, c sao cho : Đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4)
Câu 3 . (2đ) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên.
Câu 4. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc)
Câu 5 . Chứng minh rằng trong một tam giác , trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O. Thì H,G,O thẳng hàng.
 đề 2
 Câu 1 . Tìm một số có 8 chữ số: thoã mãn 2 điều kiện a và b sau:
a) = 	b) = ()3.
Câu 2 . Chứng minh rằng: ( xm + xn + 1 ) chia hết cho x2 + x + 1khi và chỉ khi ( mn – 2) 3.
áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1.
Câu 3 . Giải phương trình: 
 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).
Câu 4 . Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh:
a) EF // AB b). AB2 = EF.CD. 
c) Gọi S1 , S2, S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC 
Chứng minh: S1 . S2 = S3 . S4 .
Câu 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45.
Đề 3
Câu 1: ( 2 điểm ) Cho biểu thức: A= ( Với x ạ 0 ; x ạ )
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với x=
Câu 2: ( 1 điểm )
a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 ³ x.‎y + x + y ‎( với mọi x ;y)
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 
Câu 3: ( 4 điểm )
Cho hình chữ nhật ABCD . TRên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P .
a) Tứ giác AMDB là hình gi?
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB .
Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng.
c)Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
d) Giả sử CP ^ DB và CP = 2,4 cm,; 
Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
Câu 4 ( 2 điểm )
Cho hai bất phương trình: 
3mx-2m > x+1 (1)
m-2x < 0 (2)
Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm.
đề 4
Câu 1: a. Rút gọn biểu thức: 	A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1
b. Nếu x2=y2 + z2 Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 
Câu 2: a. Cho (1) và (2)
Tính giá trị của biểu thức A= 
b. Tính : B = 
Câu 3: Tìm x , biết : (1)
Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M ẻ đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
	a.BM ^ EF
	b. Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy.
Câu 5: Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= (a+ b+ c) ().
đề 5
Câu 1: ( 2,5 điểm)
	Phân tích đa thức thành nhân tử:
	a/. x2 – x – 6 (1 điểm)
	b/. x3 – x2 – 14x + 24	(1,5 điểm)
Câu 2: ( 1 điểm)
	Tìm GTNN của : x2 + x + 1
Câu 3: ( 1 điểm)
	Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 với m, n Z.
Câu 4: ( 1,5 điểm)
	Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với :
	x = ; y = 
Câu 5: ( 1,5 điểm)
	Giải phương trình: + + = 14
Câu 6: ( 2,5 điểm)
	Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân , đỉnh F có góc đáy là 150 . Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều. 
Đề 6
Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức : M = 
a) Rút gọn 
b) Tìm giá trị bé nhất của M .
Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên A = 
Bài 3 : 2 điểm Giải phương trình :
x2 - 2005x - 2006 = 0
 + + = 9
Bài 4 : (3đ) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh :
AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi .
AEF ~ CAF và AF2 = FK.FC
Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi .
Bài 5 : (1đ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120
chia hết cho 24
Đề 7
Bài 1 (3đ): 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) x2 + 7x + 12	b) a10 + a5 + 1
 2) Giải phương trình	
Bài 2 (2đ):	Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức : có giá trị nguyên
Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC )
1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng:
	a) đồng dạng 	b) góc AMN bằng góc ABC
2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. 	Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
Bài 4 (1đ):	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: , ( x khác 0)
đề 8
Câu 1: (2đ) Tìm hai số biết
	a. Hiệu các bình phơng của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36
	b. Hiệu các bình phơng của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40
Câu 2: (1,5đ) Số nào lớn hơn: 	
Câu 3: (1,5 đ) Giải phơng trình 	
Câu 4: (1đ) Giải bất phơng trình ax –b > bx+a
Câu 5: (2,5đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC. Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD. BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng:
a. EF song song với AB 	b. AB2 = CD.EF
Câu 6: (1,5đ) Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đờng chéo, cắt nhau ở O . Tính diện tích tam giác ABO biết diện tích tam giác BOC là 169 cm2 và diện tích tam giác AOD là 196 cm2.
đề 9
Câu 1: Tìm số m, n để: 
Rút gọn biểu thức: M = 
Câu 2:
Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1.
Giải bài toán nến n là số nguyên.
Câu 3: 	Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ đường trung trực HE và HF của AC và BC. Chứng minh rằng BG = 2HE và AG = 2HF.
Câu 4: 	Trong hai số sau đây số nào lớn hơn: a = ; b = 
Đề 10
Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng) 
85 + 211 chia hết cho 17 
1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 2: (3đ)
Rút gọn biểu thức: 
Cho Tính 
Bài 3:(3đ)
Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD + CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK.
Bài 4 (1đ).
Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau nếu có:
M = 4x2 + 4x + 5
đề 11
Bài1( 2.5 điểm)	
 a, Cho a + b +c = 0. Chứng minh rằng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0
b, Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)
Bài 2: ( 1,5 điểm). 	Cho biểu thức: y = ; ( x>0)
	Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó
Bài 3: (2 ,5 điểm)
a, Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phương trình: :
( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330.
B, Giải bất phương trình:	 	 3
Bài 4: ( 3 ,5 điểm) Cho góc xoy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vuông góc với ox ; ID vuông góc với oy . Biết IC = ID = a. Đường thẳng kẻ qua I cắt õ ở A cắt oy ở b.
a, Chứng minh rằng tích AC . DB không đổi khi đường thẳng qua I thay đổi.
b, Chứng minh rằng 
c, Biết SAOB = . Tính CA ; DB theo a.
đề 12
Bài 1: (3đ)
Cho phân thức : M = 
a) Tìm tập xác định của M
b) Tìm các giá trị của x để M = 0
c) Rút gọn M
Bài 2: (2đ)
a) Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy ta được 242.
b) Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B.
A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n
Bài 3: (2đ)
a) Cho 3 số x,y,z Thoã mãn x.y.z = 1. Tính biểu thức M = 
b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác 
Chứng minh rằng: 
Bài 4: (3đ) 
Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt nhau tại O. Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4,7,5
a) Tính NC biết BC = 18 cm
b) Tính AC biết MC - MA = 3cm 
c) Chứng minh 
Đề 13
Câu 1(2đ): Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên.
	A=
 Câu 2(2đ): Giải phương trình 	x2 - 3|x| - 4 = 0
Câu 3(2đ): Trên 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng các điểm P, Q, R. Chứng minh điều kiện cần và đủ để AP; BQ; CR đồng qui là: 
Câu 4(2đ): Cho a, b > 0 và a+b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2
Câu 5(2đ): Cho hai số x, y thoã mãn điều kiện 3x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức	A = 3x2 + y2
Đề 14
Câu 1. (1đ): Điền kết quả tính được vào bảng:
Giá trị của x và y
Giá trị của biểu thức
(x - y) (x2 + xy + y2)
a
x = -10; y = 2
b
x = -1; y = 0
c
x = 2; y = -1
d
 x = -0,5; y = 1,25
Câu 2. (1đ): Điền các đơn thức thích hợp vào chỗ trống:
	a) (3x + y) (. - . + . ) = 27x3 + y3.
	b) (2x - .) (. + 10x + . ) = 8x3 - 125.
Câu 3. (1đ): Rút gọn biểu thức sau với n là số tự nhiên. (n ³ 2).
	 => 
Câu 4. (2đ): Cho:	a + b + c = 1	(1)
	a2 + b2 + c2 = 1	(2)
	Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0.
Câu 5. (2đ): Cho biểu thức: 
	a) Tìm giá trị của x để B = 0
	b) Tính giá trị của b tại x = 1,12. (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 3).
Câu 6. (3đ): Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở M. Chứng minh rằng:
a) Nếu bốn rAMB, BMC, CMD, DMA có diện tích bằng nhau thì ABCD là hình bình hành.
b) Nếu bốn rAMB, BMC, CMD, DMA có chu vi bằng nhau thì ABCD là hình thoi.
đề 15
Câu I :(3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
A = x3 +8x2 + 19x +12 . B = x3 +6x2 +11x +6 .
Rút gọn phân thức : .
Câu II : (3đ) .
1 ) Cho phương trình ẩn x. 
Giải phương trình với a = 4.
Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x = -1 làm nghiệm.
2 ) Giải bất phương trình sau : 2x2 + 10x +19 > 0.
Câu III (3đ): Trong hình thoi ABCD người ta lấy các điểm P và Q theo thứ tự trên AB và CD sao cho AP = 1/ 3 AB và CQ = 1/ 3 CD. Gọi I là giao điểm của PQ và AD , K là giao điểm của DP và BI , O là giao điểm của AC và BD.
Chứng minh AD = AI , cho biết nhận xét về tam giác BID và vị trí của K trên IB.
Cho Bvà D cố định tìm quỹ tích của A và I.
Câu IV : (1đ) .Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : yx2 +yx +y =1.
Đề 16
Câu 1:Cho biểu thức: A=
.a, Tìm giá trị của biểu thức A xác định.
.b, Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng o.
.c, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2: .a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A= với x>0.
.b, Giải phương trình:ữ x+1ữ+:ữ 2x-1ữ+2x =3
Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Gọi K,L,M,N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x.
.a, Xác định vị trí các điểm K,L,M,N sao cho tứ giác MNKL có diện tích mhỏ nhất.
.b, Tứ giác MNKL ở câu a là hình gì? cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MNKL là hình chữ nhật.
Câu 4: Tìm dư của phép chia đa thức x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1
Đề 17
Câu 1 ( 3 điểm ) . Cho biểu thức	A = 
	a, Tìm điều kiện của x để A xác định .
	b, Rút gọn biểu thức A .
	c, Tìm giá trị của x để A > O
Câu 2 ( 1,5 điểm ) .Giải phương trình sau :	
Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S.
1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân.
2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
3, Chứng minh P là trực tâm SQR.
4, MN là trung trực của AC.
5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Câu 4 ( 1 điểm): 
 Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên 
Câu 5 ( 1 điểm) 
a, Chứng minh rằng 	
b, Cho	 Tính 
Đề 18
Bài 1( 2 điểm). Cho biểu thức : 
1.Rút gọn P.
2.Tìm các cặp số (x;y) Z sao cho giá trị của P = 3.
Bài 2(2 điểm). Giải phương trình: 
Bài 3( 2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: 
Bài 4 (3 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
1.Chứng minh CE vuông góc với DF.
2.Chứng minh MAD cân.
3.Tính diện tích MDC theo a.
Bài 5(1 điểm). Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = .
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 .
Đề 19
Câu 1 (2 điểm): Với giá trị nào của a và b thì đa thức 
f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hết cho đa thức g(x) =a2+4-3x.
Câu 2 (2 điểm) Phân tích thành nhân tử.
(x+y+z)3 –x3-y3-z3.
Câu 3 (2 điểm ) :
a-Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x2 +x+1
b-Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= h(h+1) (h+2) (h+3)
Câu 4(2 điểm ) : Chứng minh rằng nếu .a2+b2+c2=ab+bc+ac thì a=b=c
Câu 5 (2 điểm ) : Trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho 
PAC = PBC. Từ P dựng PM vuông góc với BC. PK vuông góc với CA. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh : DK=DM.
Đề 20
Bài 1. Cho biểu thức: A = 
Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định.
Rút gọn biểu thức A.
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: a) Giải phương trình: 
b) Tìm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + 1
Bài 3. Cho hình thang ABCD; M là một điểm tuỳ ý trên đáy lớn AB. Từ M kẻ các đường thẳng song song với hai đường chéo AC và BD. Các đường thẳng này cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J.
a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thì H cũng là trung điểm của EF.
b) Trong trường hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của M trên AB sao cho
 EJ = JI = IF.
Bài 4. Cho a ³ 4; ab ³ 12. Chứng minh rằng C = a + b ³ 7 
đề 21
Bài 1 (1,5đ): Hãy khôi phục những hằng đẳng thức đã bị mực làm nhòe đ một số chỗ:
a)	............ + + ............. = 
b)	
Hãy nêu một đề bài tương tự
Bài 2 (1đ): Điền đúng sai
a)	(x - 5)2 = 25 - 10x + x2	b)	(x2 + 2)2 = x4 + 2x2 + 4
c) 	(a - b)(b - a) = (b- a)2	d)	(A - B)3 = (B - A)3
đ)	(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
Bài 3 (2,5đ): Cho biểu thức M = 
a) Tìm TXĐ của M rồi rút gọn M
b) Tìm giá trị x để M = 0
c) Tìm giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên
Bài 4 (1,5đ): giải phương trình 
Bài 5 (2,5đ): Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH ^ AC. Gọi M là trung điểm của AH. K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: BM ^ MK
Bài 6 (1đ): Tìm giá trị nguyên của x, y, z, t sao cho |x-y| + |y - z| + |z - t| + |t - x| =2007
Đề 22
Bài 1:(3đ) 
a/ Cho x+y = 3 và x2+y2=5. Tính x3+y3
b/ Tìm x, biết x5(3x-1)m+3:x5(3x-1)m-1-56:52=0 (x≠ 0, x≠ 1/3)
c/Xác định các số hữu tỉ a, b, c sao cho: 
Bài 2:(4đ) Cho biểu thức: A= 
a/ Rút gọn A.
b/Tính A khi ׀x׀ =1/2
c/ Với giá trị nào của x thì A=2; A<0
d/ Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 3: (3đ) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. 
 Kẻ ME ┴ AB, MF ┴ AD.
a/ Chứng minh: DE=CF, DE ┴ CF
b/ Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
c/ Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lón nhất.