Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán học cấp THCS - Phòng GD&ĐT huyện Đoan Hùng (Có đáp án)

Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 6
Năm học 2008-2009
 Ngày thi: 28 tháng 04 năm 2009
(Thời gian làm bài:90 phút – Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 3 điểm ) 
a) Khụng quy đồng hóy tớnh hợp lý cỏc tổng sau: 
 b) Tìm x N; biết:
Bài 2: ( 2 điểm ) 
Cho A = .Tỡm giỏ trị của n để:
a) A là một phõn số.
b) A là một số nguyờn.
Bài 3: ( 2 điểm ) 
a)Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho: 
b) Bieỏt raống soỏ tửù nhieõn n chia heỏt cho 2 vaứ n2 – n chia heỏt cho 5 haừy tỡm chửừ soỏ taọn 
 cuứng cuỷa n.
Bài 4: ( 3 điểm ) 
 Cho điểm O; hãy vẽ n tia chung gốc O.
 a) Hỏi có bao nhiêu góc được tạo thành ?
 b) Nếu số góc được tạo thành là 28 thì phải vẽ bao nhiêu tia chung gốc O đó ?
 Họ và tên thí sinh: ..SBD:..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Hướng dẫn chấm học sinh năng khiếu toán lớp 6
Năm học 2008-2009
Một số chú ý khi chấm bài:
ã Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm.
ã Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. 
ã Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. 
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: ( 3 điểm ) 
a) Khụng quy đồng hóy tớnh hợp lý cỏc tổng sau: 
 b) Tìm x N; biết:
Đáp án
Thang điểm
Ta có: 
 a) =
 =
0,5
0,5
0,5
0,5
 b) 
 x=1
0,25
0.25
0.25
0.25
Bài 2: ( 2 điểm ) 
Cho A = .Tỡm giỏ trị của n để:
a) A là một phõn số.
b) A là một số nguyờn.
Đáp án
Thang điểm
là phân số khi: n-2Z , n+3Z nZ
 và n+30 n-3 
 Vậy A là phân số khi nZ và n-3 
0.5
0.5
 A là số nguyên khi n+3Ư(5) n+3
 n 
0.5
0.25
0.25
Bài 3: ( 2 điểm ) 
a)Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho: 
b) Bieỏt raống soỏ tửù nhieõn n chia heỏt cho 2 vaứ n2 – n chia heỏt cho 5 haừy tỡm chửừ soỏ taọn 
 cuứng cuỷa n
Đáp án
Thang điểm
b) Từta cú: (x,y N) 
Suy ra: y(2x-1) = 54 do đú yƯ(54) = , vỡ 54 là số chẵn mà 2x-1 là số lẻ nờn y là ước chẵn của 54. Vậy y 
Ta cú bảng sau:
y
2
6
18
54
2x-1
27
9
3
1
 x
14
5
2
1
Vậy (x;y) 
0.25
0.25
0.25
0.25
b) Vỡ n chia heỏt cho 2 vaứ n2 – n = n(n – 1) chia heỏt cho 5 neõn n(n – 1) laứ soỏ chaỹn vaứ coự chửừ soỏ taọn cuứng baống 0 do ủoự n2 vaứ n phaỷi coự chửừ soỏ taọn cuứng gioỏng nhau 
Vaọy chổ coự theồ xaỷy ra caực trửụứng hụùp laứ: n coự chửừ soỏ taọn cuứng baống 0 hoaởc n – 1 coự chửừ soỏ taọn cuứng baống 5 ( vỡ n chaỹn)
Vỡ n chaỹn neõn n – 1 khoõng theồ baống 0 vaọy n – 1 coự chửừ soỏ taọn cuứng baống 5
Vaọy n coự chửừ soỏ taọn cuứng baống 0 hoaởc 6.
0.5
0.25
0.25
Bài 4: ( 3 điểm ) 
 Cho điểm O; hãy vẽ n tia chung gốc O.
 a) Hỏi có bao nhiêu góc được tạo thành ?
 b) Nếu số góc được tạo thành là 28 thì phải vẽ bao nhiêu tia chung gốc O đó ?
Đáp án
Thang điểm
a) Vẽ n tia chung gốc O thì mỗi tia tạo với n - 1 tia còn lại thành n - 1 góc.
 -Vì có n tia nên tạo thành n(n - 1) góc
 -Do mỗi góc được tính hai lần nên có tất cả góc
0.75
0.75
b) Biết số góc tạo thành là 28 nên ta có:
 =28
 n (n - 1) = 56 Suy ra n = 8
 Vậy phải vẽ 8 tia chung gốc O
0.5
1.0
Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 7
Năm học 2008-2009
 Ngày thi: 28 tháng 04 năm 2009
(Thời gian làm bài:90 phút – Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 3 điểm ) 
 1) Tìm x biết a) (3x-2)5 + 243 = 0; 
 b) 
 2) Biết 
 Tính 
Bài 2 (2.5 điểm) Cho các số a; b; c; d thoả mãn 
Tính giá trị của biểu thức 
Bài 3 (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có:
	 n3 + 5n 6 
Bài 4 (2.5 điểm) 
Cho ABC cân tại A và góc A = 800. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc 
BAI = 500; trên cạnh AC lấy điểm K sao cho góc ABK = 300. Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng HIK cân.
 Họ và tên thí sinh: ..SBD:..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Hướng dẫn chấm học sinh năng khiếu toán lớp 7
Năm học 2008-2009
Một số chú ý khi chấm bài:
ã Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm.
ã Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. 
ã Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. 
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: ( 3 điểm ) 
 1) Tìm x biết a) (3x-2)5 + 243 = 0; 
 b) 
 2) Biết 
 Tính 
Đáp án
Thang điểm
a) (3x-2)5 + 243 = 0 (3x-2)5 = -243
 (3x-2)5 = (-3)5 3x-2 = -3 => 3x = -1 => x = 
1.0
b) Lý luận suy ra 3x – 5 = x + 2 (1) 
 hoặc 3x – 5 = - (x + 2) (2)
Giải ra tìm nghiệm x = và x= 
1.0
2) Có 	
1.0
Bài 2 (2.5 điểm) Cho các số a; b; c; d thoả mãn 
Tính giá trị của biểu thức 
Đáp án
Thang điểm
Có 
- Nếu từ (1) 	
- Nếu 	
0.5
1.0
0.5
0.5
Bài 3 (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có:
	 n3 + 5n 6 
Đáp án
Thang điểm
Xét: n3 + 5n = n3 – n + 6n = n(n2 – 1) + 6n = ( n-1)n(n+1) + 6n
Vì n nguyên dương nên ta có: ( n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 mà ( 2,3 ) =1 => ( n-1)n(n+1) 6
Vậy n3 + 5n 6 n nguyên dương ( ĐPCM )
1.0
0.5
0.5
Bài 4 (2.5 điểm) 
Cho ABC cân tại A và góc A = 800. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc 
BAI = 500; trên cạnh AC lấy điểm K sao cho góc ABK = 300. Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng HIK cân.
A
B
C
H
M
I
K
N
Đáp án
Thang điểm
Ta có : Góc B = C = 500
Vẽ tam giác đều ABM ( M, C cùng năm trên nửa
mặt phẳng bờ AB )
=> CBM = 600 – 500 = 100
AIM = BIM ( c.c.c)
Góc MIC = MAI = 100 
Góc AMI = BMI = 600 : 2 = 300
Trên BK lấy điểm BN sao cho BN = MI
=> ABN = BMI ( c.g.c) => Góc BAN= MBI = 100 và AN = BI 
mà AI = BI (IAB cân tại I ) => AN = AI (1)
NAK cân vì góc NAK = NKA = 700 AN = NK (2)
Từ (1) và (2) có: NK = AI (3)
HAN cân vì góc HAN = HNA = 400 HN = HA (4)
Từ (3) và (4) HK = HI hay HIK cân tại H ( ĐPCM ) 
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 8
 Năm học 2008-2009
 Ngày thi: 28 tháng 04 năm 2009
(Thời gian làm bài:120 phút – Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2.0 điểm) 
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
a) 
b) 
Bài 2: ( 2.0 điểm ) Chứng minh rằng: 
	Cho x > 0 thoả mãn . Tính 
Bài 3: ( 3.0 điểm ) 
 a) Cho a – b = 1. Chứng minh a2 + b2 
 b) Cho 6a – 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2
Bài 4: ( 3.0 điểm ) 
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh:
 a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.
 b) 
 Họ và tên thí sinh: ..SBD:..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Hướng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 8 
Năm học 2008-2009
Một số chú ý khi chấm bài:
ã Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm.
ã Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. 
ã Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. 
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: (2.0 điểm) 
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
a) 
b) 
Đáp án
Thang điểm
 a) 
1.0
b) 
1.0
Bài 2: ( 2.0 điểm ) Chứng minh rằng: 
	Cho x > 0 thoả mãn . Tính 
Đáp án
Thang điểm
Ta có: 
Vậy ta có: =3[]
 = 3.(49-8) = 123
0.25
Bài 3: ( 3.0 điểm ) 
 a) Cho a – b = 1. Chứng minh a2 + b2 
 b) Cho 6a – 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2
Đáp án
Thang điểm
a) Từ a – b =1 a =1 + b a2 =1 + 2b + b2
 Ta có : a2 + b2 1 + 2b + 2b2 
 4b2 + 4b +1 0 
 (2b + 1)2 0. BĐT này luôn đúng. 
 Vậy a2 + b2 ( ĐPCM)
 Dấu “=” xẩy ra b =- và a = ;
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b) Cho 6a – 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2
 Đặt x = 2a; y = - 5b. áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 
 (3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 Hay 4a2 + 25b2 .
Dấu bằng xẩy ra 3y = x - 15 b = 2a
 6a = - 45b
0.25
0.5
0.5
0.25
Bài 4: ( 3.0 điểm ) 
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh:
 a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.
 b) 
Đáp án
Thang điểm
a)ANC vuông tại N (vì AM = MC = MN)
 CNM + MNA = 1v
 C
 F
M
N
A
E
B
 BAN + NAC = 1v
 Mà MNA = NAC => CNM = BAN
 Mặt khác CNM = BNE (đđ)
 =>BNE = BAN
 => BNE BAN
0.5
0.25
0.5
0.25
 b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM = MN. 
 Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 
 => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) =>BAN BFA =>
 (Đpcm)
0.5
0.5
0.5