Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Xuân Lâm

Trường thcs xuân lâm
đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2009- 2010
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Xác định hệ số a sao cho:
a) 	27x2 + a 	chia hết cho 3x + 2
b)	3x2 + ax + 27	chia hết cho x + 5 có số dư bằng 2
Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999
Rút gọn biểu thức:
Câu 3: Cho abc 0 và a + b+ c 0 giải phương trình:
Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng có bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF.
Chứng minh AE vuông góc với BC.
Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng.
Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định.
Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
Trường thcs xuân lâm
đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2009- 2010
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Tìm số tự nhiên n để:
Số A = n4 + 4 là số nguyên tố.
Phân số tối giản.
Câu 2. Cho biểu thức:
Rút gọn A
Tính giá trị của A biết 4a2 + b2 = 5ab và a > b > 0
Câu 3. Giải phương trình:
Câu 4. Cho tứ giác ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Gọi E và F là giao của BD với AM và AN. Chứng minh rằng: nếu BE = EF = FD thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu 5. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh: 
Tính số đo góc BMK?
Gọi P và Q lần lượt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?
Trường thcs xuân lâm
đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2009- 2010
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
Rút gọn P.
Có giá trị nào của a, b để P = 0?
Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện:
3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0
Câu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
(n2 + n -1)2 – 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – 8 = 0
Câu 4: ( 3 điểm) 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3)
Câu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác, H là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH.
Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi?
Chứng minh AQ = OM.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.
Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đường nào?
Trường thcs xuân lâm
đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2009- 2010
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức:
M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)
Câu 2: Chứng minh rằng:
 biết abc = 1.
 không là phân số tối giản.
Câu 3: Cho biểu thức:
Tìm điều kiện để P xác định.
Rút gọn P.
Tính giá trị của P biết a3 - a2 + 2 = 0
Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Kẻ đường thẳng qua C và vuông góc với AB tại E. Gọi M là trung điểm của AD.
Chứng minh: tam giác EMC cân.
Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM.
Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC.
Trường thcs xuân lâm
đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2009- 2010
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết:
a.	 là một số nguyên tố.
b.	 có giá trị là một số nguyên.
c.	D = n4 + 4n là một số nguyên tố.
Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc 0.
Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 3: 
Giải phương trình:
b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:	
x2 - y2 + 2x - 4y -10 = 0
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
Chứng minh : 
Chứng minh: OE = OF.
Chứng minh: 
Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF.
Trường thcs xuân lâm
đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2009- 2010
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho biểu thức: 
Rút gọn A.
Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên.
Câu 2. Cho x, y, z đôi một kh`ác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
 thì ta có:
Câu 3. Giải phương trình:
a, 
b, x2 + 3y = 3026 với x, y N
Câu 4. Cho f(x) là một đa thức với hệ số dương. Biết f(0); f(x) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B. Chứng minh rằng: 
a. 
b. DM là phân giác của góc BDE.
c. Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnhAB và AC.