Đề kiểm định chất lượng học sinh khá, giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2009-2010 - Phòng GD & ĐT Diễn Châu

Phßng Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o DiÔn Ch©u
 §Ò kiÓm §Þnh chÊt l­îng häc sinh kh¸,giái 
 n¨m häc 2009 – 2010
 M«n: To¸n - líp 8 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)
 ..................................................................
Bài 1:(4 ®iÓm) Cho biểu thức M = : 
 a. Rút gọn M
 b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt.
Bài 2:(3 ®iÓm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
 a. Phân tích biểu thức A thành nhân tử.
 b. Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
Bài 3:(3 ®iÓm)
 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
 A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
 b. Cho các số x,y,z thỏa mãn đồng thời: 
 x + y + z = 1: x+ y+ z= 1 và x+ y+ z= 1.
 Tính tổng: S = x+y+ z
Bµi 4:(3 ®iÓm)
 a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + + = 
 b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn: 
 x( x + x + 1) = 4y( y + 1).	
Bài 5:(7 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®­êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H.
TÝnh tæng: 
Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC
Chøng minh: H c¸ch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF.
Trªn c¸c ®o¹n HB,HC lÊy c¸c ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN. 
 Chøng minh ®­êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
 .........................HÕt......................
Hä vµ tªn thi sinh..........................................................Sè b¸o danh.......................
Phßng Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o DiÔn Ch©u
 H­íng dÉn chÊm m«n to¸n 8
Bµi
Néi dung
§iÓm
1
a
=
 = 
 = 
= 
 = 
 M = = 
0,5
0,5
0,5
 0,5
b
+ NÕu x 2 th× M 0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN.
+ VËy x 2, khi ®ã M cã c¶ Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d­¬ng, nªn M muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) ph¶i lµ GTNN, 
Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d­¬ng 2 – x = 1 x = 1.
 VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1.
0,5
0,5
 0,5
 0,5
2
a
A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) 
 = 
 = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)
0,5
0,5
0,5
b
Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác) 
T­¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0 
Vậy A< 0
0,5
0,5
0,5
3
a
A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010
 Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0
Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 2010
Dấu ''='' x¶y ra x – y = 0 và y – 2 = 0 x = y = 2.
Vậy GTNN của A là 2010 t¹i x = y =2
0,5
0,5
0,5
b
 Ta có: (x + y + z)= x+ y+ z + 3(x + y)(y + z)(z + x) 
 kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0
Một trong các thừa số của tích (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0
Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = 1 z = 1, l¹i kết hợp với đ/k: x+ y+ z= 1 x = y = 0.
 Vậy trong 3 số x,y,z phải có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1, 
 Nên tổng S luôn có giá trị bằng 1. 
0,5
0,5
0,5
4
a
Ph­¬ng tr×nh ®­îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§: )
 = 
 () + () + () = 
 = (x + 4)(x +7) = 54 
 (x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa m·n §KX§)
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: S = 
0,5
0,5
0,5
0,5
b
+ Ph­¬ng tr×nh ®­îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x+ 1) = (2y + 1)
+ Ta chøng minh (x + 1) vµ (x+ 1) nguyªn tè cïng nhau !
V× nÕu d = UCLN (x+1, x+ 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ)
 2 mµ d lÎ nªn d = 1.
+ Nªn muèn (x + 1)(x+ 1) lµ sè chÝnh ph­¬ng 
 Th× (x+1) vµ (x+ 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng
 §Æt: (k + x)(k – x) = 1 hoÆc 
+ Víi x = 0 th× (2y + 1)= 1 y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa m·n pt)
 VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: (x;y) =
0,25
0,25
0,25
0,25
5
0,5
a
Tr­íc hÕt chøng minh: = 
T­¬ng tù cã: ; 
 Nªn = 
 = 1
0,5
0,5
0,5
0,5
b
 Tr­íc hªt chøng minh BDHBEC 
 BH.BE = BD.BC
 Vµ CDHCFB CH.CF = CD.CB.
 BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (®pcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
c
 Tr­íc hÕt chøng minh: AEF ABC 
 Vµ CDECAB 
 mµ EBAC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña gãc DEF.
 T­¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc EDF vµ DFE.
 VËy H lµ giao ®iÓm c¸c ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c DEF 
 nªn H c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF (®pcm)
0,5
0,5
 0,5
d
 Gäi O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng trung trùc cña hai ®o¹n MN vµ HC, ta cã OMH = ONC (c.c.c) .(1)
 MÆt kh¸c ta còng cã OCH c©n t¹i O nªn:.(2)
 Tõ (1) vµ (2) ta cã: HO lµ ph©n gi¸c cña gãc BHC
 VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ ph©n gi¸c cña gãc BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh. 
 Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh lµ O.
0,25
0,25
O,25
0,25
Chó ý:
+ H­íng dÉn chÊm nµy cã 3 trang, chÊm theo thang ®iÓm 20.
+ §iÓm toµn bµi lµ tæng c¸c ®iÓm thµnh phÇn kh«ng lµm trßn.
+ Bµi sè 5 ph¶i cã h×nh vÏ ®óng míi chÊm.
+ Mäi c¸ch lµm kh¸c ®óng còng cho ®iÓm tèi ®a t­¬ng øng víi tõng néi dung
 cña bµi ®ã.