Đề giao lưu học sinh giỏi THCS môn Toán Lớp 8 - Phòng GD&ĐT Vĩnh Tường (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
VĨNH TƯỜNG
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN: TOÁN LỚP 8
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Câu 2: a) Tìm các hằng số a và b sao cho chia cho thì dư 7, chia cho thì dư .
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số: là phân số tối giản.
Câu 3: Cho . Rút gọn biểu thức:
Câu 4: a) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: .
 b) Giải phương trình: .
Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm M, N thuộc các cạnh AD, BC sao cho . Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở H. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Chứng minh rằng: HN // BD.
Gọi I là giao điểm của HO và MN. Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF.
Câu 6: a) Cho x, y, z là ba số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thoả mãn . Hỏi có là số chính phương không ? Vì sao ?
 b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của .
Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
phßng gi¸o dôc - ®µo t¹o
vÜnh t­êng
h­íng dÉn chÊm giao l­u hSG líp 8
n¨m häc 2010-2011
M«n: to¸n
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
1
(2đ)
(1đ)
1đ
(1đ)
1đ
2
(2đ)
 a) (1đ) Ta có: 
Thay x = -1 và x = 3 vào đẳng thức trên ta được:
 0,5đ
 0,5đ
b) (1đ) Gọi 
Vậy phân số tối giản với mọi số nguyên n.
0,5đ
 0,5đ
3
(1đ)
Ta có:
Ta lại có:
Từ (1) và (2) suy ra
Do đó 
0,5đ
0,5đ
4
(2đ)
a) (1đ) Ta có:
0,5đ
	0,5đ
b) (1đ)
Đặt 8x – 1 = y ta có:
0,5đ
0,5đ
5
(2đ)
a) (1đ) Theo định lí Ta-let ta có: (theo định lí Ta-let đảo)
0,5đ
0,5đ
b)(1đ) Gọi G là giao điểm của HM và BD, Q là giao điểm của HN và AC. Ta có: 
Gọi K là giao điểm của HO và GQ.
Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ.
Do đó: IE = IF, IM = IN, ME = NF.
0,5đ
0,5đ
6
(1đ)
a)( 0,5đ) Ta có:
Gọi 
Do đó x – z và y – z đều là số chính phương.
Đặt
Vậy x + y là số chính phương.
0,25đ
0,25đ
b) (0,5đ) Ta có 
(áp dụng bất đẳng thức Côsi)
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy Max A = 24000
0,25đ
0,25đ
Trần mạnh Cường
GV : THCS Kim Xá –VT- Vĩnh Phúc