Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Dạng 8: Phương trình

DẠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH
A. Bài toán 
Bài 1: Giải phương trình:
a) 
b) 
c) (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4)
Bài 2: Giải phương trình: 
Bài 3: Giải phương trình: 
Bài 4: Giải phương trình: 
Bài 5: 
a) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) 
b) Giải phương trình: 
Bài 6: Giải các phương trình sau: 
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
Bài 8: Giải phương trình sau:
Bài 9: Giải các phương trình:
a) 	b) 
Bài 10: Giải các phương trình:
a) 	b) 
Bài 11: 1) Tìm 	
a) 
b) 
2) Tìm biết: 
Bài 12: Tìm biết:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 13: Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
Bài 14: Giải phương trình:
Bài 15: Giải phương trình:
a) 
b) 
Bài 16: Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe máy và xe đạp ?
Bài 17: Năm 2016, số công nhân ở xí nghiệp I và II tỉ lệ với 4 và 5. Năm 2017, xí nghiệp I tăng thêm 60 công nhân nữa, xí nghiệp II tăng thêm 90 công nhân; do đó số công nhân của 2 xí nghiệp tỉ lệ với 5 và 7. Hỏi năm 2017, mỗi xí nghiệp có bao nhiêu công nhân ?
Bài 18: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số di 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghich đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 19: Giải các phương trình sau:
Bài 20: Giải phương trình
Bài 21: Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng: 
Bài 22: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là 
Bài 23 : Giải các phương trình sau:
Bài 24: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .
	Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Bài 25 : Giải các phương trình sau:
Bài 26 : Giải các phương trình:
Bài 27: Giải phương trình:
Bài 28: Tìm biết: 
Bài 29: Giải phương trình: 
Bài 30: Tìm thỏa mãn phương trình sau:
Bài 31: Giải phương trình sau:
Bài 32: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó
Bài 33: Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
Bài 34: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và .
	Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Bài 35: Giải các phương trình sau:
Bài 36: Tìm giá trị của để cho phương trình có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: 
Bài 37: Giải các phương trình sau:
a) 	
b) 
Bài 38: Tìm để phương trình sau vô nghiệm
Bài 39: Giải phương trình : 
Bài 40: Giải các phương trình sau: 
 với nguyên dương.
Bài 41: Giải các phương trình sau:
Bài 42: Giải phương trình: 
Bài 43: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch một ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày.
Bài 44: Giải phương trình:
Bài 45: Giải phương trình
Bài 46: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó
Bài 47: Giải phương trình: 
Bài 148: Tìm biết:
Bài 49: Giải phương trình: 
Bài 50: Tìm biết :
a) 
b) 
Bài 51: Tìm biết: 
Bài 52: Một khối 8 có số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển Anh và bằng số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ?
Bài 53: Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết phút, do đó phải tăng vận tốc thêm để đến B đúng giờ đã định. Tính quãng đường AB ?
Bài 54: Giải các phương trình sau
Bài 55: Một người đi xe gắn máy từ đến dự định mất giờ phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó 
Bài 56: Giải phương trình:
Bài 57: Giải phương trình: 
Bài 58: Giải phương trình: 
Bài 59: Giải các phương trình sau:
Bài 60: Giải các phương trình sau:
Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là 
Bài 61: Giải các phương trình sau: 
1) 
Bài 62: Giải Câu toán bằng cách lập phương trình
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ đến Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là và . Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy.
Bài 63: Giải phương trình
	b) 
Bài 64: Giải các phương trình sau:
Bài 65: Giải các phương trình sau:
Bài 66: Giải phương trình: 
Bài 67: Tìm biết: 
Bài 68: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc
Bài 69: Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng: 
Bài 70: Giải các phương trình sau:
Bài 71: Giải phương trình: 
Bài 72: Giải phương trình: 
Bài 73: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ A đến B.
Bài 74: Giải phương trình
Bài 75.
Lúc 7 giờ sáng một xe buýt đi từ vị trí A đến vị trí B với độ dài là 60 km. Khi đi tới vị trí C cách vị trí thì xe bị hỏng. Xe phải dừng lại và sửa chữa mất phút, sau đó xe tiếp tục đi từ C đến B với vận tốc giảm hơn so với vận tốc đi từ A tới C là Tổng thời gian xe đi từ A đến B hết giờ (tính cả thời gian dừng lại sửa xe). Hỏi xe buýt bị hỏng lúc mấy giờ ?
Giải phương trình
Bài 76. Giải phương trình: 
Bài 77. 
 Giải phương trình sau:
Bài 78.
Giải các phương trình sau:
Bài 79: Giải phương trình : 
Bài 80 Giải phương trình:
Bài 81: Giải các phương trình sau:
Bài 82. Tìm để phương trình sau có nghiệm dương: 
Bài 83. Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp. Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm. Lớp 8/1 nhận 10 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/2 nhận 20 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/3 nhận 30 mét và 1/10 của phần còn lại  cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau. Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ?
Bài 84. Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau:
Bạn thứ nhất 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn thứ nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại.
	Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo.
Bài 85. Giải các phương trình sau:
Bài 86: Giải phương trình: 	
Bài 87
Tìm biết: 
Tìm biết: và 
Bài 88: 
Giải phương trình: 
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 
Bài 89: Giải phương trình sau: 
Bài 90: 
Giải phương trình: 
Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”
Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu?
Bài 91: Giải các phương trình sau:
Bài 92: Giải phương trình sau:
Bài 93: 
Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) 
Giải phương trình: 
Bài 94: Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất nhận được 4 áo và số còn lại, rồi đến lớp thứ nhận được 4n áo và số áo còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo. Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo?
Bài 95: Giải phương trình sau: 
Bài 96:
Giải phương trình sau: 
Xác định giá trị của để phương trình: có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 
Bài 97: Tìm biết: 
Bài 98: Giải phương trình: 
Bài 99: Giải các phương trình sau:
Bài 100: Giải phương trình: 
Bài 101: Giải phương trình: 
Bài 102: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc giây. Tính khoảng cách từ A đến B.
Bài 103: Giải phương trình
Bài 104: Giải phương trình: 
Bài 105: Giải phương trình: 
Bài 106: Tìm sao cho phương trình ẩn : có nghiệm duy nhất thỏa mãn 
Bài 107: Giải phương trình 
Bài 108: Giải các phương trình sau:
Bài 109: Giải phương trình sau: 
Bài 110: Giải phương trình sau: 
Bài 111: Cho phương trình . Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm dương.
Bài 112: Tìm thỏa mãn đẳng thức: 
Bài 113: Giải phương trình: 
Bài 114: 
a) Giải phương trình: 
b) Tìm và thỏa mãn: 
Bài 115: Giải các phương trình sau:
Bài 116: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 117: Tìm thỏa mãn phương trình sau: 
Bài 118: Giải phương trình: 
Bài 119: Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
Bài 120: Giải phương trình a) b) 
Bài 121: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc
Bài 122: Giải phương trình sau:
(2x2 + x – 2013)2 + 4.(x2 – 5x – 2012)2 = 4.(2x2 + x – 2013)(x2 – 5x – 2012)
Bài 223: Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số): x-mx+3+x-3x+m=2
Bài 124: Giải phương trình: 2x(8x – 1)2(4x-1) = 9
Bài 125: Giải phương trình sau: |x-2|(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 4
Bài 126:
a) Giải phương trình sau: x2 – 3x + 2 + |x – 1| = 0
b) Xác định giá trị của m để phương trình: m3(x - 2) – 8(x + m) =4m2 có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1
Bài 127: Tìm x biết: x+11000+x+2999+x+3998+x+4997+x+5996+x+6995+6=0
Bài 128: Giải phương trình (6x + 8)(6x + 6)(6x + 7)2 = 72
Bài 129: Giải phương trình: 
Bài 130: Tìm biết : 
 a) 
 b) và 
 c) 
Bài 131: Giải và biện luận nghiệm của ... hiệm của phương trình là 
2) Xét không phải là nghiệm
Xét 
Đặt ta có phương trình:
ĐKXĐ: 
Bài 158: Giải phương trình : 	
Lời giải
ĐK: 
Đặt , phương trình đã cho trở thành:
Xét ta có: 
Xét ta có: 
Vậy 
Bài 159: Giải phương trình : 
Lời giải
Bài 160: Giải phương trình: 
	Lời giải
ĐKXĐ: 
Phương trình trở thành:
Bài 161:
Giải phương trình: 
Giải phương trình: 
	Lời giải
a) (ĐKXĐ: 
Vậy 
b) 
Ta có: 
Bài 162:	Giải các phương trình sau:
Lời giải
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành: 
Bài 163: Giải phương trình sau:
b) 
	Lời giải
Đặt: 
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó, ta có:
Lập bảng xét dấu các nhị thức : và 
Xét 
Phương trình (không thỏa (1))
	Xét 
Phương trình (Thỏa mãn với mọi 
	Xét 
Phương trình (thỏa mãn (3))
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 164: Giải phương trình sau:
Lời giải
: Đặt 
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó ta có:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Bài 165: Giải phương trình:
b) 
c) 
Lời giải
Ta có: nên 
Phương trình được viết dưới dạng:
Vậy 
Bài 166: Giải các phương trình sau:
Lời giải
Bài 167: Giải phương trình sau:
Lời giải
	Đặt 
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó ta có:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Bài 168:	Giải các phương trình sau:
Lời giải
Đặt 
Vậy 
b)
ĐKXĐ: 
 Vậy 
Bài 169: Giải phương trình:
Lời giải
1) 
Nếu (thỏa mãn điều kiện 
Nếu 
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất 
2) 
Điều kiện để phương trình có nghiệm: 
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm .
Bài 170: Giải phương trình: 
Lời giải
Bài 171: Giải các phương trình sau :
Lời giải
b) 
Đặt thì 
Ta có phương trình 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Bài 172: Giải các phương trình sau 
Lời giải
	đặt 
vô nghiệm vì với mọi x
Vậy 
b) 
Vì 
Bài 173: Giải phương trình :
Lời giải
Điều kiện xác định 
Vậy 
Bài 174: Giải các phương trình sau :
Lời giải
Ta có: 
ĐKXĐ: 
Phương trình trở thành: 
Bài 175: Giải phương trình : 
Lời giải
Ta có : 
Vậy 
Bài 176: Tìm thỏa mãn đẳng thức 
Lời giải
Do và với mọi 
Nên 
Suy ra 
Bài 177: Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: 
Lời giải
 và 
Bài 178: Giải các phương trình sau: 
	a) .
	b) .
Lời giải
PT 
(x – 2014)( ) = 0
x = 2014
Bài 179: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) .
b) .
Lời giải
a) Nếu hay thì .
Nếu hay thì .
* TH1: Với , PT đã cho trở thành (t/m).
* TH2: Với , PT đã cho trở thành (loại).
Vậy PT đã cho có nghiệm .
b) Vì với mọi x nên BPT đã cho tương đương với 
. Vậy nghiệm của BPT ban đầu là .
Bài 180: Giải các phương trình sau: 
a) .
b) .
Lời giải
a) 
Pt 
CM Pt vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = 
b) 
(5x -200) = 0x = 40. 
Vậy tập nghiệm của Pt đã cho là S = 
Bài 181: Giải các phương trình sau:
a) ( x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12 
b) 
Lời giải
a) Đặt x2 + x + 1 = y
 pt đã cho trở thành y( y + 1) - 12 = 0
 y2 + y - 12 = 0
 (y - 3)(y + 4) = 0
 y = 3 hoặc y = - 4
+ Với y = 3 ta được x1 = 1; x2 = - 2
+ Với y = - 4, vô nghiệm
KL: Vâỵ PT đã cho có nghiệm x1 = 1; x2 = - 2 
 b) 
(x - 105)= 0
x = 105
KL: Vâỵ PT đã cho có nghiệm x= 105.
Bài 182: Giải các phương trình sau:
a, 
b, + + = 
Lời giải
a) x2-2=(2x+3)(x+5)+23
Ûx2-25=(2x+3)(x+5)Û(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) 
Û(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 Û(x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 
Û(x+5)(-x-8)=0 
Û x-5=0 hoặc x+8 =0 
Û x=-5 hoặc x=-8
b) Phương trình được biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: )
 = 
 () + () + () = 
 = (x + 4)(x +7) = 54 
 (x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phương trình là: S = 
Bài 183: Giải các phương trình sau: 
a) 
b) (x2 - 5x +1)2 – 2x2 + 10x = 1 
Lời giải
a) 
ĐK: 9 – 3x 0 x 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 
b) (x2 – 5x +1)2 – 2x2 + 10x =1 (x2 – 5x +1)2 – 2(x2 -5x + 1) + 1 = 0 
 (x2 – 5x +1 – 1)2 = 0 (x2 – 5x)2 = 0 x2 – 5x = 0 x(x – 5) = 0
Vậy phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 = 5.
Bài 184: Giải các phương trình sau: 
 a) .
 b) .
Lời giải
a) PT 
 (1)
Vì với mọi giá trị của x.
Nên (1) 
Vậy phương trình có tập nghiệm .
b) 
Đặt 64x2 -16x = t ta có (*) t(t+1) – 72 = 0 t =- 9  hoặc t = 8. 
Với t = -9 ta có 64x2 -16x = -9 64x2 -16x + 9 = 0(8x -1)2 +8 = 0
(vô nghiệm vì (8x -1)2 +8 > 0)
Với t = 8 ta có 64x2 -16x = 8 64x2 - 16x – 8 = 0 (8x -1)2 -9 = 0
Vậy tập nghiệm phương trình là 
Bài 185: Giải phương trình: 
Lời giải
Vì 
Bài 186: Giải các phương trình sau:
a.) .	 b. 
Lời giải
a) ĐK: 
Vậy phương trình có một nghiệm x = 0
b) PT 	
Bài 187: Giải phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
 .
Vậy nghiệm của phương trình là 
Bài 188: Giải các phương trình: 
 a) 
 b) Giải phương trình: 
Lời giải
 a) 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là 
 b) Giải phương trình: 
 Điều kiện . Dễ thấy hệ vô nghiệm nên 
Đặt . Chia 2 vế phương trình đã cho cho ta được: .
*) Với y = 5, ta có:
*) Với ,ta có:
Các nghiệm trên đều thỏa điều kiện. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: .
Bài 189: Giải phương trình: 
 a) 
 b) 
Lời giải
a) 
 ( Vì )
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
b) Ta có: 
 ( Vì )
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
Bài 190: Giải các phương trình sau: 
 a) ( Phương trình ẩn ) 
 b) 
 c) 
Lời giải
a) ( Phương trình ẩn ) ( ĐK: )
 ( Vì )
+ Nếu , phương trình có vô số nghiệm .
+ Nếu , phương trình vô nghiệm . 
+ Nếu , phương trình có nghiệm duy nhất. 
b) 
ĐKXĐ: 
 Ta có: 
 ( Thỏa ĐKXĐ )
Vậy, 
c) ( ĐKXĐ: )
Đặt khi đó , ta có pt viết theo ẩn là:
+ Với , ta có: 
+ Với , ta có: 
Vậy, 
Bài 191: Giải các phương trình sau:
a) ; 
b) 
c) ; 
d) 
e) . 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
 (?)
 d) 
 * Nhớ công thức: ( HS suy nghĩ c/m)
 Ta có: 
 e)ĐKXĐ: 
( thỏa ĐKXĐ )
Bài 192: Giải phương trình: 
Lời giải
ĐKXĐ: , ta có: 
+ Xét phương trình: ( thỏa ĐKXĐ)
+ Xét phương trình: .
Vậy, 
Bài 193: Giải phương trình sau: 
Lời giải
ĐKXĐ: 
Thay vào phương trình và kết luận nghiệm của phương trình
Với ta có:
Vậy 
Bài 194: Giải phương trình: 
Lời giải
Điều kiện xác định đặt 
giải ra 
vô nghiệm vì 
Vậy 
Bài 195: Giải các phương trình sau:
 a) 
 b) 
 c) 
Lời giải
 a) 
HD: Chú ý: x + 2 là giá trị trung bình cộng của x + 1 và x + 3, ta đặt x + 2 = y.
Khi đó phương trình trở thành 
+ Với thì x = 1
+ Với thì x = -5
Vậy 
 b) 
Đặt , phương trình đã cho trở thành: 
Rút gọn ta được: 
Đặt , ta có: 
Giải phương trình trên ( nhận ) và ( loại )
Với thì 
Khi đó, hoặc 
Vậy 
* Chú ý: Khi giải pt bậc bốn dạng , ta thường đặt 
 c) 
Ta thấy không là nghiệm của pt đã cho. Chia hai vế của pt cho , ta được :
Đặt thì , ta được .
Giải pt trên hoặc 
+Với , ta có : nên ( vô nghiệm )
+Với , ta có : nên 
Vậy, 
Bài 196: Tìm biết :
 a) 
 b) 
Lời giải
 a) 
 và 
 KL :.............
 b) ( ĐK: )
 và 
 và 
Vậy, hoặc hoặc hoặc .
 Bài 197: Giải và biện luận nghiệm của phương trình theo . 
Lời giải
Ta có: (*)
+ Nếu thì pt (*) trở thành 
+ Nếu thì pt (*) trở thành 
+ Nếu thì pt (*) có một nghiệm duy nhất 
KL: + Nếu thì pt (*) có vô số nghiệm.
 + Nếu thì pt (*) vô nghiệm.
 + Nếu thì pt (*) có một nghiệm duy nhất 
Bài 198: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan? 
Lời giải
+ Gọi số ô tô lúc đầu là ( x nguyên và x ³ 2)
Số học sinh đi tham quan là: 22x + 1.
+ Theo giả thiết: Nếu số xe là thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y £ 30).
+ Do đó ta có phơng trình: 
+ Vì x và y đều là số nguyên dương, nên phải là ước số của 23.
Mà 23 nguyên tố, nên: hoặc 
Nếu thì (trái giả thiết)
Nếu thì < 32 (thỏa điều kiện bài toán).
+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi tham quan là: học sinh. 
Bài 199: Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”. Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ?
Lời giải
Gọi là tuổi của mẹ bạn Bắc khi tổng số tuổi của cha và mẹ là (nguyên dương)
Ta có: 
Gọi là số tuổi thêm từ khi mẹ Bắc 31 tuổi đến nay (nguyên dương)
Tổng số tuổi hiện nay của hai người là 
Tổng số tuổi của hai người con hiện nay là 
Ta có phương trình:
Tuổi của mẹ Bắc hiện nay là tuổi
Tuổi của cha Bắc hiện nay là tuổi
Bài 200: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
Lời giải
 Gọi và lần lượt là số đấu thủ ở đội trường A và trường B, với .
Theo đề bài, ta có: 
Nhận xét : Do 
Lập bảng :

-4
-2
-1
1
2
4

-1
-2
-4
4
2
1

-2
0
1
3
4
6

1
0
-2
6
4
3

KL : hoặc hoặc 
Bài 201: Giải các phương trình sau: 
 a) 
 b) 
Lời giải
Giải các phương trình sau: 
 a) 
 Ta có với mọi .
 Do đó, 
Vậy, 
 b) 
ĐKXĐ: 
Ta có 
+ Với , ta có pt 
+ Với , ta có pt 
Vậy, .
 c) Ta có: (*)
Các giá trị đặc biệt : 
Lập bảng xét dấu bỏ giá trị tuyệt đối :

 0 1











-
-


VT


4

+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )
+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )
+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )
+ Xét , pt đã cho trở thành ( nhận )
KL : Pt đã cho có các nghiệm là : .
Bài 202: Giải phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
+ Với không là nghiệm của phương trình
+Với phương trình đã cho được viết lại: 
Đặt , phương trình viết lại theo ẩn là 
+ Với thì ( vô nghiệm )
+ Với thì 
Vậy, 
 Bài 203: Giải phương trình sau: .
Lời giải
Ta có: 
Vì nên theo câu a) ta có:
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : 
Bài 204: Giải phương trình: 
Lời giải
Đặt Ta có: 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Bài 205: Giải phương trình: 
	Lời giải	
Phân tích được 
Vì 
Bài 206: Tìm x :
Lời giải
a)hay 
Bài 207: Giải phương trình : 
Lời giải
(1)
Do 
Với thì 
Khi đó từ phương trình (1) 
và 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : 
Bài 208: Giải phương trình: 
Lời giải
Bài 209: Giải phương trình: 
Lời giải
Ta có:
TXĐ: 
Phương trình trở thành:
Bài 210: Giải phương trình sau:
Lời giải
Ta có: 
Ta có: 
Điều kiện xác định của phương trình (1) là : 
Ta có: 
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:
Bài 211: Giải phương trình:
2.2 
Đặt 
Phương trình trở thành:
Với 
Vậy nghiệm của phương trình là : 
Bài 212: Giải phương trình:
Lời giải
2.1 
Nếu (thỏa mãn điều kiện 
Nếu 
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất 
2.2 
Điều kiện để phương trình có nghiệm: 
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm