Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Dạng 6: Bất đẳng thức

DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC
A.Bài toán 
Bài 1. Cho dương và Chứng minh rằng :
Bài 2: Chứng minh rằng: với 
Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 5 :
Chứng minh (với mọi 
Chứng minh: 
Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : 
Bài 6 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Bài 10: Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 12 : Chứng minh rằng: 
Bài 13 Cho thỏa mãn Chứng minh 
Bài 14: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 15 : Cho các số thỏa mãn 
Chứng minh rằng:	
Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh
 Chứng minh 
Bài 18 : Cho các số thực dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Bài 19 : Cho là ba số dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 	
Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng : 
Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh : 
Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi 
Bài 23 : Chứng minh rằng: 
Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi. CMR: 
Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng: 
Bài 26 : Chứng minh rằng: 
Bài 27 : So sánh hai số sau: và 
Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh: 
Bài 30 : Chứng minh rằng: 
Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có: 
Bài 32: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 
Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng
Bài 34 : a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng 
b) Cho là ba số dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Bài 35 : Cho là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
Chứng minh 
Bài 36 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 37: Cho Chứng minh rằng: 
Bài 38 : Cho CMR: 
Bài 39 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:
Bài 40 : Cho Chứng minh rằng: 
Bài 41 : Chứng minh rằng : với mọi 
Bài 42 : Cho và 
Chứng minh rằng 
Bài 43 : Cho các số dương thỏa mãn điều kiện 
Chứng minh rằng:	
Bài 44 : a. Chứng minh (với mọi 
b. Chứng minh: 
Bài 45: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 46: CMR với là các số dương, ta có: 
Bài 47: Cho dương và Chứng minh rằng :
Bài 48: Chứng minh rằng: với 
Bài 49: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 50: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 51: Cho biểu thức 
Phân tích biểu thức thành nhân tử
Chứng minh rằng: Nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì 
Bài 52: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Bài 53: Cho Chứng minh rằng : 
Bài 54: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 55: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 56: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 57: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh: 
Bài 58: Chứng minh rằng: 
Bài 59: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 60: Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 61: Cho Chứng minh rằng : 
Bài 62: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 63: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Bài 64: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 65: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 66: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 67: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 68: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Bài 69: Cho là các số dương. Chứng minh rằng: 
Bài 70: Chứng minh rằng: 
Bài 71: Chứng minh rằng: với 
Bài 72: Chứng minh rằng: 
Bài 73: a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng 
 b) Cho là ba số dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Bài 74: Cho thỏa mãn Chứng minh 
Bài 75: Cho Chứng minh rằng 
Bài 76: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 77: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 78: Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi. 
CMR: 
Bài 79: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 80: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì 
Bài 81: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng: 
Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: 
 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
 b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có: 
Bài 83: a) Cmr : 
b) Cho các số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr : 
Bài 84: Chứng minh rằng: 
a) 
b) 
Bài 85: Cmr: a) 
 b) 
Bài 86: Chứng minh rằng: 
 a) với ;
 b) ;
 c) 
Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau: 
Bài 88: Chứng minh BĐT: 
Bài 89: a) Chứng minh: 
 b) Chứng minh: 
 c) Chứng minh: với .
 d) Chứng minh: với 
 e) Cho và cùng dấu. Chứng minh: 
Bài 90: Cho ba số dương 
Chứng minh rằng:;
Chứng minh rằng: 
Bài 91: Cho , chứng minh: . 
Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) ; b) khi .
Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác 
 a) Chứng minh rằng: 
 b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: . 
Bài 95: a) Chứng minh: với 
 b) Chứng minh: với 
Bài 96: Cho ba số x, y, z. 
a) Chứng minh ;
b) Khi . Chứng minh .
Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh 
Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT: 
a) ; b) ; 
c)	.
Bài 99:
a) Cho . Chứng minh rằng: . 
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Chứng minh: 
Bài 100: Cho thỏa mãn Chứng minh 
Bài 101: Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng: 
Bài 102: Cho Chứng minh rằng 
Bài 103: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 104: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh 
Bài 106: CMR với là các số dương, ta có: 
Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì 
Bài 108: CMR với là các số dương, ta có: 
Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác 
Chứng minh rằng 
Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.
Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.
Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh: 
Bài 116: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
 + + 
Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh: 
Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c.
Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng 
Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. 
Chứng minh rằng: .
Bài 121: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
1a3b+c+1b3c+a+1c3a+b≥32
Bài 122: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
1x2+x+1y2+y+1z2+z≥32
Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Bài 124: Cho Chứng minh rằng 
Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn 
Chứng minh rằng 
Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1
Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
Bài 129: Chứng minh rằng: 
Bài 130: Chứng minh với mọi số dương 
Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : 
Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 133: Cho Chứng minh rằng : 
Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 135: Cho là các số dương.
Chứng minh: 
Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: 
	 với 
Bài 137: Cho . Chứng minh 
Bài 138: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng: 
Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:
	với mọi 
Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi. 
CMR: 
b)Cho là các số dương. Chứng minh rằng: 
B. HƯỚNG DẪN
Bài 1 : Cho dương và Chứng minh rằng :
Lời giải
Đặt 
và 
Chứng minh: 
hay 
Bài 2 : Chứng minh rằng: với 
Lời giải
Theo bài ra ta có: 
Mặt khác : 
Từ (1) và (2) suy ra: 	
Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt 
Tương tự: 
BĐT chứng minh tương đương với: 
 do 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra 
Thật vậy, với và ta có:
	(luôn đúng)
Dấu xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra 
Ta có: 
Áp dụng BĐT (*) ta có :
 (Vì 
Hay 
Mà nên 
Vậy (đpcm)
Bài 5
Chứng minh (với mọi 
Chứng minh: 
Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : 
Lời giải
(với mọi x)
Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương được:
(luôn đúng)
Suy ra: 
Vậy 
Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Lời giải
Ta có: 
Do 
Nên 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy 
b) 
Do . Đẳng thức xảy ra 
Vậy 
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Lời giải
Ta có : 
Vậy 
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi 
Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Từ
Dấu “=” xảy ra 
Bài 10 : Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
Ta thấy nên 
Do dó 
Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt 
từ đó suy ra 
Thay vào ta được 
Từ đó suy ra hay 
Bài 12 : Chứng minh rằng: 
Lời giải
Bài 13 : Cho thỏa mãn Chứng minh 
Lời giải
Ta có:
mà nên 
Bài 14 :Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Vậy 
. Vậy 
Bài 15 : Cho các số thỏa mãn 
Chứng minh rằng:	
Lời giải
Vì nên suy ra 
Do đó : 
Lại có: 
Vì nên 
Do đó từ 
Từ (1) và (3) suy ra 
Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Từ
Dấu bằng xảy ra 
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh
Chứng minh 
Lời giải
Ta có : 
Tương tự: 
Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều:
Bài 18 : Cho các số thực dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Đặt 
Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra 
Ta có: 
Bởi vậy
Bài 19 : Cho là ba số dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 	
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi và ta có:
Dấu xảy ra 
Thật vậy, với và ta có:
	(luôn đúng)
Dấu xảy ra  ... ì c/m được với a, b cùng dấu)
Dấu “=” 
Vậy, với và cùng dấu. Dấu “=” 
Bài 90: Cho ba số dương 
a) Chứng minh rằng:;
b) Chứng minh rằng: 
Lời giải:
Cho ba số dương 
a) Chứng minh rằng: ( HS tự giải )
b) Chứng minh rằng: 
* Cách 1: Ta có: 
 ( Đúng) ( theo câu a)
Dấu “ =” .
KL: . Dấu “ =” .
* Cách 2: Đặt với .
Suy ra 
Do đó, 
Dấu “=” .
Bài 91: Cho , chứng minh: .
Lời giải:
Cho , chứng minh: .
Ta có: 
Vì và nên .
Dấu “=” 
Vậy, với . Dấu “=” .
Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau : 
a) ; b) khi .
Lời giải:
a) 
Áp dụng BĐT . Dấu “=”
Ta có: 
 Dấu “=” 
 b) khi .
Ta có : 
Dấu “=” 
Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác 
 a) Chứng minh rằng: 
 b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải:
Cho là ba cạnh của một tam giác
a) Chứng minh rằng: 
+Ta có: 
 ( Đúng )
Dấu “=” tam giác đó là tam giác đều.
+ Theo BĐT tam giác ta có: 
Vậy, với là ba cạnh của một tam giác.
b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều. 
Xét hiệu 
Suy ra 
Vậy, thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: . 
Lời giải:
Cho . Chứng minh rằng: .
Xét hiệu: 
 ( vì nên)
Do đó 
Giả sử và , do đó (đpcm)
Tương tự, và , do đó (đpcm)
Dấu 
Bài 95: a) Chứng minh: với 
 b) Chứng minh: với 
Lời giải:
a) Chứng minh: với 
Ta có: với .
Do đó, .
Vậy, với 
 b) Chứng minh: với 
Ta có: 
Do đó, 
Vậy, với .
Bài 96: Cho ba số x, y, z. 
a) Chứng minh ;
b) Khi . Chứng minh .
Lời giải:
Hay . Cho ba số x, y, z. 
a) Chứng minh 
Ta có 
 . 
Các bước biến đổi tương đương mà bất dẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.
b) Khi . Chứng minh .
Ta có 
Kết hợp và ta có : 
Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh 
Lời giải:
Có: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Áp dụng có: 
Suy ra: 
Với dương , chứng minh 
Dấu bằng xảy ra khi 
Ta được: 
. Dấu đẳng thức xảy ra 
Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT: 
 a) ; 	 b) ; 
 c) .
Lời giải
 Với . Hãy chứng minh các BĐT: 
 a) 
Với nên 
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương và ta được 
Dấu “=” 
Vậy, với . Dấu “=” .
 b) 
Áp dụng kết quả câu a, ta có: 
Dấu “=” .
Vậy, . Dấu “=” .
 c) .
Ta có 
Áp dụng kết quả câu a, ta có: 
Dấu “=” .
Vậy, . Dấu “=” .
Bài 99: 
a) Cho . Chứng minh rằng: . 
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Chứng minh: 
Lời giải
a) Cho . Chứng minh rằng: .
Ta có mà 
Do đó .
Vậy, nếu thì .
 b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 
Đặt 
Đặt , ta có:
Vậy, . Dấu “=” .
 c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Chứng minh: .
Đặt thì và 
C/m BĐT phụ: với .
Thật vậy, ta có 
Suy ra 
 ( cả hai vế đều không âm)
Do đó, với . Dấu “=” 
Áp dụng BĐT trên, ta có 
Vậy, . Dấu “=” tam giác đã cho đều.
Bài 100:
Cho thỏa mãn Chứng minh 
Lời giải
Có: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Áp dụng có: 
Suy ra: 
Với dương , chứng minh 
Dấu bằng xảy ra khi 
Ta được: 
. Dấu đẳng thức xảy ra 
Bài 101:
Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng: 
Lời giải
Vì nên suy ra 
Do đó : 
Lại có: 
Vì nên 
Do đó từ 
Từ (1) và (3) suy ra 
Bài 102:
Cho Chứng minh rằng 
Lời giải
Giả sử 
Vậy 
Bài 103:
Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt Ta có: 
Từ đó suy ra : 
Thay vào ta được: 
Từ đó suy ra . Dấu “= “ xảy ra 
Bài 104:
Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhận xét : có 
Tương tự: 
Do đó: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Vậy . Dấu “=” xảy ra 
Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh 
Lời giải
Ta có:
mà nên 
Bài 106: CMR với là các số dương, ta có: 
Lời giải
Mà (BĐT Cô si)
Do đó: . Vậy 
Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì 
Lời giải
Do là 3 cạnh của một tam giác nên
Bài 108: CMR với là các số dương, ta có: 
Lời giải
Ta có:
Mà (BĐT Cô si)
Do đó: . Vậy 
Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác 
Chứng minh rằng 
Lời giải
Đặt 
Từ đó suy ra 
Thay vào ta được 
Từ đó suy ra hay 
Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.
Lời giải
(đúng với mọi )
Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.
Lời giải
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có: 
 ; 
Do đó, suy ra: 
Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: . 
 Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải
Áp dụng bđt côsi ta có: 
. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Lời giải
Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải
 (*)
Vì 
Mà = (Theo BĐT Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM.
Đẳng thức xảy ra khi .
Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh: 
Lời giải
Ta có: ( x, y >0)
Áp dụng kết quả này ta được: 
Tương tự ta có: 
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, thu gọn ta được:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều.
Bài 116: Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh bất đẳng thức:
 + + 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm ta có :
 + 2 = 2 . = a
Suy ra a - 
Tương tự b - 
 c - 
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
 + + ( a + b + c ) - = 
Vậy + + (đpcm)
Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh: 
Lời giải
Với x > 0; y > 0. Ta có x + y 0
Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có:
 (1)
Mặt khác : x > 0 ; y > 0 nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2
(2)
Từ (1) và (2) ta có: (đpcm).
Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c.
Lời giải
A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2
 = 4 (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2
 = 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2
Đặt a2 + ab + ac = m, ta có:
 A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2
= (2 a2 + 2 ab + 2ac + bc)2 0 với mọi a,b,c (đpcm)
Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng 
Lời giải
Từ 
Dấu xảy ra 
Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. 
Chứng minh rằng: .
Lời giải
Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên . 
Tương tự ta có : ; 
mà a + b + c = 3 nên (1)
Cũng từ a + b + c = 3 Þ (a + b + c)2 = 9
 Û a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9 
mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) £ 9 Û ab + bc + ca £ 3 (2). 
Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 	
Bài 121: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
1a3b+c+1b3c+a+1c3a+b≥32
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi a,b,c ∈R và x,y,z>0 ta có:
a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+z (*)
Dấu “=”xảy ra ax=by=cz
 Thật vậy, với a,b∈R và x,y>0 ta có:
a2x+b2y≥a+b2x+y (**)
a2y+b2xx+y≥xya+b2bx-ay2≥0 ( luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra ax=by 
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
a2x+b2y+c2z≥a+b2x+y+c2z≥a+b+c2x+y+z
Dấu “=” xảy ra ax=by=cz
Ta có: 
1a3b+c+1b3c+a+1c3a+b=1a2ab+ac+1b2bc+ab+1c2ac+bc
Áp dụng BĐT (*) ta có :
1a2ab+ac+1b2bc+ab+1c2ac+bc≥1a+1b+1c22ab+bc+ac=1a+1b+1c221a+1b+1c (Vì abc = 1)
 Hay 
1a2ab+ac+1b2bc+ab+1c2ac+bc≥ 121a+1b+1c
Mà 1a+1b+1c≥3 nên : 
1a2ab+ac+1b2bc+ab+1c2ac+bc≥ 32
Vậy 1a3b+c+1b3c+a+1c3a+b≥32
Bài 122: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
1x2+x+1y2+y+1z2+z≥32
Lời giải
Đặt 
P= 1x2+x+1y2+y+1z2+z=1x(x+1)+1y(y+1)+1z(z+1)=1x-1x+1+1y-1y+1+1z-1z+1=1x+1y+1z-1x+1+1y+1+1z+1
Áp dụng BĐT : 
1a+1b+1c≥9a+b+c và 1a+b≤141a+1b với a,b,c dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ta có: 1x+1≤141x+1; 1y+1≤141y+1; 1z+1≤141z+1
Bởi vậy P=1x+1y+1z-1x+1+1y+1+1z+1≥1x+1y+1z-141x+1+1y+1+1z+1
=341x+1y+1z-34≥34.9x+y+z-34=94-34=32 (đpcm)
Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có: (1)
 (vì ) 
 (vì x, y dương nên x + y dương) (2)
Từ (1) và (2), ta có: 
 (đpcm)
Bài 124: Cho . Chứng minh rằng 
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với ta có
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz 
Ta có: 
Suy ra : 
Tương tự:
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có: 
Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
Lời giải
Ký hiệu vế trái là vế phải là xét hiệu 
Do bình đẳng nên giả sử khi đó , 
Mà nên đpcm
Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn 
Chứng minh rằng 
Lời giải
Từ giả thiết ta có:
Cộng hai vế với sau đó thu gọn ta được:
Mà nên 
Dấu bằng xảy ra khi trong ba số có một số bằng một số bằng một số bằng 1.
Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1
Lời giải
(đúng với mọi 
Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt 
từ đó suy ra 
Thay vào ta được: 
Từ đó suy ra hay 
Bài 129: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 130: Chứng minh với mọi số dương 
Lời giải
Với mọi số dương ta có:
BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : 
Lời giải
Đặt 
Từ đó suy ra 
Thay vào ta được: 
Từ đó suy ra hay 
Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhận xét có: 
Tương tự có: 
Do đó 
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi 
Bài 133: Cho Chứng minh rằng : 
Lời giải
Học sinh chứng minh với mọi 
Dấu xảy ra 
Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 135: Cho là các số dương.
Chứng minh: 	
Lời giải
Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được: 
Cũng theo BĐT Cô si :
 và 
Nhân tương ứng hai vế các BĐT (1) và (2) được:
Hay 
Từ và suy ra 
Dấu xảy ra khi và chỉ khi 
Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: 
	 với 
Lời giải
Gọi vế trái là ta có:
Vậy 
Bài 137: Cho . Chứng minh 
Lời giải
 Từ thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có: 
BĐT này luôn đúng . Vậy 
Dấu xảy ra 
Bài 138: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
	Lời giải
 Đặt 
Từ đó suy ra 
Thay vào ta được: 
Từ đó suy ra hay 
Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Từ 
Dấu “=” xảy ra 
Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng: 
Lời giải
Vì ĐT (2) luôn đúng nên BĐT (1) đúng.
Dấu xảy ra 
Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:
	với mọi 
Lời giải
 Có với mọi 
Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra 
Thật vậy, với và ta có:
	(luôn đúng)
Dấu xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra 
Ta có: 
Áp dụng BĐT (*) ta có :
 (Vì 
Hay 
Mà nên 
Vậy (đpcm)
Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì 
BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi 	
Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi. 
CMR: 	
Cho là các số dương. Chứng minh rằng: 
Lời giải
 Ta có:
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
b)Ta có:
Xét 
đpcm
Dấu xảy ra khi