Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Phân tích đa thức thành nhân tử

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ LỚP 8
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Ví dụ:
x
x
x
x
a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)
x
b) x - 2
y +5
- 10y = [(
)2 – 2 y
] + (5
- 10y)
x
x
x
=	(	- 2y) + 5(	- 2y)
x
x
= (	- 2y)(	+ 5)
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Phương pháp đặt nhân tử chung:
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.
AB + AC = A(B + C)
Công thức:
Ví dụ:
1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)
x
2. 3x + 12
y = 3	(
+ 4y)
x
x
Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
* Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A + B)(A - B)
(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3 A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. x2 – 4x + 4 = ( x - 2)2
2. x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
3. (x + y)2 - (x - y)2 = [(x + y) + (x - y)][(x + y) - (x - y)] = 2x.2 y = 4xy
Cách khác: (x + y)2 - (x - y)2 = x2 + 2xy + y2 - (x2 - 2xy + y2 ) = 4xy
Phương pháp nhóm hạng tử:
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ:
1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2 – 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)
x
x
= (x – 2y)(x + 5)
x
x
2. x - 3	+
y – 3y = (x - 3
) + (
y – 3y)
x
x
x
=	(	- 3) + y(
- 3)= (
- 3)(
+ y)
x
x
Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)
Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c ( a ¹ 0 ) nếu
ìb1b2 = ac
í
îb1 + b2 = b
Ví dụ:
a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1
= 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1)
y
y
y
b) y - 3	+ 2 = y -	- 2	+ 2
y
=	y (
-1)- 2 (
-1)
y
y
y
= (	- 2)(	-1)
Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Ví dụ:
a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2
= (y2 + 8)2 - (4y)2
= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)
x
b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x
x
= (x + 2)2 - (2 x )2 = (x - 2
+ 2)(x + 2
+ 2 )
g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:
Ví dụ:
a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b)
=(a - b) (a2 - b2)
= (a - b) (a - b) (a + b)
= (a - b)2(a + b)
y
b)	27x3
a3b3
=	y (27x3 - a3b3 )
y
y
ë	û
=	é(3x)3 - (ab)3 ù
=	y (3x - ab)(9x2 + 3xab + a2b2 )
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2)
b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)
c) x2 + 4x – y2 + 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y)
Bài 2: Giải phương trình sau : 2(x + 3) – x(x + 3) = 0
Û (x
+ 3)(2
x)
= 0 Û éx + 3 = 0 Û éx = -3
ê2 - x = 0	êx = 2
ë	ë
Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2)
ë	û
= é(2x )3 - y3 ù + (4x2 - y2 )
ë	û
= (2x - y ) é(2x )2 + 2xy + y2 ù + (2x + y )(2x - y )
= (2x - y )(4x2 + 2xy + y2 + 2x + y )
b) x2 + 5x - 6 = x2 + 6x - x - 6
= x(x + 6) - (x + 6)
= (x + 6)(x - 1)
c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2
8
= (a2 + 4)2 - (	a)2
8
8
= (a2 + 4 +	a)( a2 + 4 -	a)
Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:
a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)
b) (x2 - 5x + 6):(x - 3)
Giải:
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1)
nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)
= (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1)
= (x2 + 1)
b)Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)
nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2)
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x
a) 10(
- y) – 8y(y -
)	b) 2
y + 3z + 6y +	y
x
x
x
Bài 2: Giải các phương trình sau :
x
x
a) 5	(
- 2010) -
+ 2010 = 0	b) x3 - 13 x = 0
x
Bài 3: Rút gọn các phân thức sau:
x2 +xy-y2
2x2 -3xy+y2
2x2 -3x+1
x2 +x-2
Bài 4: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
x
a) xy + y
+	+1	b)
a 3 -
b 3 +	-
x
a 2b
ab 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 - y2 - 2x + 2y	b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2	d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc	f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x	h) x2(x -1) + 16(1- x)
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)	9) x3 + x2y – 4x – 4y
2) 3(x+ 4) – x2 – 4x	10) x3 – 3x2 + 1 – 3x
3) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y	11) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2
4) x2 – xy + x – y	12) x2 – 2x – 15
5) ax – bx – a2 + 2ab – b2	13) 2x2 + 3x – 5
6) x2 + 4x – y2 + 4	14) 2x2 – 18
7) x3 – x2 – x + 1	15) x2 – 7xy + 10y2
8) x4 + 6x2y + 9y2 - 1	16) x3 – 2x2 + x – xy2
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.
16x3y + 0,25yz3
21.
(a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2
2.
x 4 – 4x3 + 4x2
22.
4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2
3.
2ab2 – a2b – b3
23.
a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2
4.
a 3 + a2b – ab2 – b3
24.
a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
5.
x 3 + x2 – 4x - 4
25.
a 6 – a4 + 2a3 + 2a2
6.
x 3 – x2 – x + 1
26.
(a + b)3 – (a – b)3
7.
x 4 + x3 + x2 - 1
27.
X 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3
8.
x 2y2 + 1 – x2 – y2
28.
X m + 4 + xm + 3 – x - 1
10.
x 4 – x2 + 2x - 1
29.
(x + y)3 – x3 – y3
11.
3a – 3b + a2 – 2ab + b2
30.
(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

12.	a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1
31.
(b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3
13.	a 2 – b2 – 4a + 4b
32.
x3 + y3+ z3 – 3xyz
14.	a 3 – b3 – 3a + 3b
33.
(x + y)5 – x5 – y5
15.	x 3 + 3x2 – 3x - 1
34.
(x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3
16.	x 3 – 3x2 – 3x + 1
35.
x3 – 5x2y – 14xy2
17.	x 3 – 4x2 + 4x - 1
36.
x4 – 7x2 + 1
18.	4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2
37.
4x4 – 12x2 + 1
19.	(xy + 4)2 – (2x + 2y)2
38.
x2 + 8x + 7
20.	(a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2
39.
x3 – 5x2 – 14x

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.	x4y4 + 4
6
x7 + x2 + 1
2.	x4y4 + 64
7
x8 + x + 1
3.	4 x4y4 + 1
8
x8 + x7 + 1
4.	32x4 + 1
9
x8 + 3x4 + 1
5.	x4 + 4y4
10
x10 + x5 + 1

Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.	x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2 2.	3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
3.	12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
4.	2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 5.	x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 6.	x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3
7.	x4 – 13x2 + 36
8.	x4 + 3x2 – 2x + 3
9.	x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1. (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
2. (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3
3. x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) 4. (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
5. 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8
6. 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24
7. 15x3 + 29x2 – 8x – 12
8. x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8
9. x3 + 9x2 + 26x + 24
Bài tập 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2)
2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) 3. a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) 4. (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5
5. (x + y)7 – x7 – y7
6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc 7. (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5
8. a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc 9. a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)
10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1
Bài tập 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
2. (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
3. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
5. (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
6. x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35
7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8. (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
9. 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2