Chuyên đề Ước và bội Số học Lớp 6

 TRONG N
THUẬT CHIA EUCLIDE
LÝ THUYẾT CƠ BẢN
PHẦN A
I- Số nguyên tố - Hợp số 
q Cho pỴN, p > 1
p là số nguyên tố Û Ư(p) = {1, p}
p là hợp số Û Ư(p) có nhiều hơn 2 phần tử.
Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số nguyên tố chẵn duy nhất. Từ đây, ta có nhận xét rằng các số nguyên tố lớn hơn 2 là số lẻ. 
	Biểu diễn tập N theo sơ đồ Venn
q Hai hay nhiều số nguyên tố cùng nhau
 Hai số a, b được gọi là nguyên tố cùng nhau khi ƯCLN(a,b) = 1 
Ví dụ1 15 và 26 là hai số nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(15, 26) = 1	
Chú ý	 Hai số nguyên tố cùng nhau không có nghĩa là cả 2 số là số nguyên tố.
Hai số nguyên tố khác nhau hiển nhiên chúng là hai số nguyên tố cùng nhau
Hai số nguyên tố cùng nhau không nhất thiết mỗi số là số nguyên tố ( như ví dụ trên )
Ví dụ 2 Các cặp số sau : (12, 55) ; (13, 18) ; (17, 19) là các cặp số nguyên tố cùng nhau. 
Ví dụ 3 Tìm các cặp số nguyên tố cùng nhau thỏa :
a + b = 20
à để ý rằng a và b phải là hai số cùng lẻ .
a. b = 240
à phân tích 240 ra thừa số nguyên tố .
Qui ước ƯCLN (a,b) = (a,b) và BCNN(a,b) = [a,b]
II- Thuật toán EUCLIDE 
ð Vài dòng Tiểu sử : 
Euclide, nhà Toán học lỗi lạc thời cổ Hy Lạp, sống vào thế kỷ thứ III trước Công nguyên. Toàn bộ kiến thức hình học sơ cấp ở mấy năm đầu ở trường THCS hiện nay đều đã được nói đến một cách khá hệ thống, chính xác qua bộ sách “ CƠ BẢN “ do Euclide viết ra. Bộ sách đó vẫn còn giữ nguyên giá trị sau hơn 2000 năm .
Ngoài Toán học, Ông còn nghiên cứu về Quang học, âm nhạc. Có thể nói rằng tất cả những người học toán trên hành tinh này đều là học trò của Euclide .
ð Thuật toán :
Thuật toán EUCLIDE là một phương pháp tìm ƯCLN của hai số khác 0 mà không cần phân tích chúng ra thừa số nguyên tố .
Thuật toán EUCLIDE dựa vào tính chất sau :
Nếu a = b.q + r với 0 £ r < b thì (a, b) = (b, r)
{ Bạn có thể dễ dàng chứng minh tính chất này – Nguyên tắc chứng minh như sau : “ Chứng minh ƯC(a , b) = ƯC(b , r). Từ đó suy ra (a , b) = (b , r) }
Ví dụ minh họa : 
Ví dụ1 Tìm ( 702, 306 ) ?
Trong thực hành, ta có thể đặt phép tính như sau :
306
 702
	 306	 90	 2
	 90 36 3
 Số dư cuối cùng
	 36 	18 2
	 0 2 	 Số dư cuối cùng khác 0 
	Vậy	 
( Lấy số chia, chia cho số dư . Dư cuối cùng khác 0 chính là ƯCLN của hai số đã cho )
Ví dụ2 Tìm 
Nhận xét
Phép chia này thực tế thực hiện dựa vào số chữ số của hai số
Dùng thuật toán Euclide, ta tìm được : (100, 24) = (24, 4) = (4, 0) = 4
Vậy :
III- Chia có dư liên hệ ước - bội 
Một trong các ứng dụng của Lý thuyết Ước và Bội đó là việc giải một số bài toán khó. Thực tế cho thấy nếu không vận dụng lý thuyết này để giải quyết thì các bài toán đó quá khó đối với chương trình phổ thông (cho dù có giải bằng cách đặt phương trình). Để có một hình ảnh về việc ứng dụng này, trước tiên các bạn nên làm quen với một số khái niệm, tính chất sau :
ì Phép chia có dư :
“ Với hai số tự nhiên a, b Ỵ N (b ¹ 0), luôn có hai số q, r Ỵ N thỏa a = b.q + r , trong đó 0 £ r < b “. ( ta gọi a = b.q + r , trong đó 0 £ r < b là hệ thức chia có dư )
Từ đây, ta có nhận xét sau :
ì	Hai phương án cơ bản đưa bài toán chia có dư về bài toán chia hết
Phương án 1 
Khi lấy a – r ta được một số chia hết cho b ( a – r = bq )
( Số bị chia – Số dư chia hết cho Số chia )
Phương án 2 
Hoặc lấy a + ( b – r ) ta cũng được một số chia hết cho b ( a + (b – r) = bq + b )
( Số bị chia + (số chia – số dư) chia hết cho Số chia )
Ví dụ
154 chia cho a dư 4 à 154 – 4 = 150 chia hết cho a
a chia cho 7 dư 5 à a + (7 – 5) = a + 2 chia hết cho 7
ì	Tìm ƯC – BC của hai hay nhiều số (lớn hơn 1) thông qua tìm ƯCLN – BCNN, ta có thể làm như sau :
þ CÁCH TÌM ƯC(a,b,...)
Tìm ƯCLN(a,b,) , giả sử là m
Kết luận ƯC(a,b,) = Ư(m)
þ CÁCH TÌM BC(a,b,...)
Tìm BCNN(a,b,) , giả sử là n
Kết luận BC(a,b,) = B(n)
BÀI TẬP MẪU
PHẦN B
 Chứng minh rằng với n Ỵ N thì (5n + 1, 6n + 1) = 1
Hd :
Gọi d Ỵ ƯC(5n + 1, 6n + 1) Þ 5n + 1d ; 6n + 1d
Þ [6.(5n + 1) – 5.(6n + 1)]d Þ 1d Þ d = 1
Þ ƯC(5n + 1, 6n + 1) = { 1 } Þ đpcm !
 Chứng minh rằng
 Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 .
‚ Tích ba số chẵn liên tiếp chia hếøt cho 24 .
Hd :
Gọi dạng tổng quát của 3 số chẵn liên tiếp : 2k ; 2k + 2 ; 2k + 4 ( k Ỵ N )
 Ta có : 2k . (2k + 2) = 2k. 2.(k + 1) = 4. k.(k + 1)
Mà k ; k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp Þ hoặc k hoặc k + 1 là số chẵn 
Þ k.(k + 1) 2 Þ 2k . (2k + 2)4.2 hay 2k . (2k + 2) 8 
‚ Tương tự như trên , ta có : 2k. (2k + 2). (2k + 4) = 23 . k.(k + 1)(k + 2)
Mà : k ; k + 1; k + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp Þ Có duy nhất một số chia hết cho 3 Þ k.(k + 1)(k + 2) 3 Þ 2k. (2k + 2). (2k + 4) 23.3 Þ đpcm !
 Tìm hai số biết tổng của chúng là 192 và ƯCLN của chúng là 24
Hd :
Gọi a , b là hai số cần tìm . Theo đề bài , ta có :
a + b = 192 và ( a, b ) = 24
 Vì ( a, b ) = 24 Þ a = 24m ; b = 24n với ( m, n ) = 1
Þ 24m + 24n = 192 Þ m + n = 8 . 
Ta có bảng kết quả :
m
1
3
n 
7
5
a
24. 1 = 24
24. 3 = 72
b
24. 7 = 168
24. 5 = 120
 Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố ( p > 3 ) . Chứng tỏ 4p + 1 là hợp số 
Hd :
Vì p nguyên tố lớn hơn 3 Þ p 3 Þ 4p 3
và 2p + 1 nguyên tố lớn hơn 3 Þ 2.(2p + 1) 3 Þ (4p + 2) 3
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp : 4p , 4p + 1 , 4p + 2
Þ Có duy nhất 1 số chia hết cho 3 Þ (4p + 1) 3 (chú ý : 4p + 1 > 3)
Þ 1 , 4p + 1 , 3 Ỵ Ư(4p + 1) Þ 4p + 1 là hợp số .
 Tìm các chữ số a , b biết 	
Hd :
Vậy
 Tìm 5 số khác nhau trong dãy tính sau 
Biết rằng :
	ª Trong 3 số hạng trong ngoặc thì có một số là BCNN của hai số kia.
	ª Số chia là số nguyên tố và là ƯCLN của hai số nói trên. 
Hd :
Gọi số chia là số nguyên tố p.
Khi đó 3 số hạng trong ngoặc có dạng : 
pmn ; pm ; pn trong đó m, n Ỵ N ; ( m, n ) = 1.
Rõ ràng khi đó [ pm , pn ] = pmn và ( pm , pn ) = 1.
Vì 5 số trong phép tính khác nhau và do ( m, n ) = 1 Þ mn ³ 6
Mà : pmn < 100 Þ p.6 £ 100 Þ p < 17 Þ p = 11 hoặc 13. 
 Tìm các chữ số tự nhiên a, b sao cho 
Hd :
10a + b a Þ b a Þ b = k . a (k Ỵ N)
10a + b b Þ 10a b
Þ k Ỵ Ư( 10 ) = {1 , 2 , 5 , 10 }
Vì a ³ 1 nên nếu k = 10 thì b ³ 10 : Vô lý ! vì b là chữ số .
Þ k Ỵ {1 , 2 , 5 }
Bằng phương pháp chọn lựa khi cho k = 1 ; 2 ; 5 ta sẽ tìm được a , b .
 Tìm xỴN* sao cho 11x (2x – 1)
Hd :
Để ý rằng (x , 2x – 1) = 1
Thật vậy : Gọi d Ỵ ƯC(x , 2x – 1) Þ x d và (2x – 1) d
Vì x d nên 2x d. Từ đó [2x – (2x – 1)] d hay 1 d Þ d = 1 Þ (x , 2x – 1) = 1
Ngoài ra ,theo đề bài 11x (2x – 1) Þ 11 (2x – 1) Þ (2x – 1) Ỵ Ư( 11 ) = {1 , 11}
Þ 2x Ỵ {2 , 12} Þ x Ỵ { 1 , 6 }
 Thay các dấu * bằng các chữ cái thích hợp để 
Hd : ( để bớt rối khi xem hd, ta tạm không gạch đầu các số )
Vì 517** 6, 7, 9 nên 517** Ỵ BC(6, 7, 9) Þ 517** [6, 7, 9]
Ta có : [ 6, 7, 9 ] = 2.32.7 = 126 Þ 517**126
Mà : 517** = 51700 + ** = 126.410 + 40 + ** Þ ( 40 + ** )126
Þ 40 + ** Ỵ B( 126 ) = { 0 , 126 , 252 , 378 , ...}
Þ ( 40 + 10 £ 40 + ** £ 40 + 99 hay 50 £ 40 + ** £ 139 Þ Ta chọn :
40 + ** = 126 Þ ** = 126 – 40 = 86 )
 Tìm n Ỵ N sao cho ( 2n + 1)( 6 – n )
Hd :
Vì ( 6 – n )( 6 - n ) Þ 2.( 6 – n ) ( 6 - n ) Þ ( 12 – 2n ) ( 6 - n )
Þ [( 2n + 1) + ( 12 – 2n )]( 6 – n ) Þ 13( 6 – n ) 
Þ ( 6 – n ) Ỵ Ư( 13 ) = { 1 , 13 } Þ 6 – n = 1 . ( Đểù ý rằng 6 – n £ 6 )
Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia cho a dư 24, còn 363 chia cho a dư 43 .
Hd :
Ta có 
264 : a dư 24 	264 – 24 = 240 M a
363 : a dư 43 	363 – 43 = 320 M a
 a Ỵ ƯC(240 , 320)
Tìm ƯCLN(240 , 320)
240 = 24. 3. 5
320 = 26. 5
 ƯCLN(240 , 320) = 24. 5 = 80
Kết luận 
a Ỵ ƯC(240 , 320) = Ư(80) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80}
Vì a > 43 nên a = 80 
 Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, biết số đó chia 4 dư 3, chia 5 dư 4 và chia 6 dư 5.
Hd : Gọi a là số cần tìm, ta có : 
a : 4 dư 3 	(a + 1) M 4
a : 5 dư 4 	(a + 1) M 5	(a + 1) Ỵ BC(4, 5, 6)
a : 6 dư 5	(a + 1) M 6
Tìm BCNN(4, 5, 6) = 60
(a + 1) Ỵ BC(4, 5, 6) = B(60) = { 0, 60, 120, , 960, 1020,}
a lớn nhất có 3 chữ số à chọn a + 1 = 960 à a = 959 
(Các bạn nên nhớ rằng: a +1 là bội của 4, 5, 6 chứ không phải a, tránh trường hợp một số bạn chọn a = 960 : sai đó !!)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
PHẦN C
ð Bài tập 1 Chứng minh rằng
 (9n + 13, 7n + 10) = 1
‚ (9n + 13, 7n + 10) = 1
ƒ (12n + 1, 30n + 2) = 1 
„ (a, ab + 4) = 1 ( a, b Ỵ N ; a là số lẻ )
ð Bài tập 2 
Chứng minh rằng
 Tích 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 .
‚ Tích 5 số chẵn liên tiếp chia hết cho 384 .
ð Bài tập 3 
Tìm hai số a, b Ỵ N trong mỗi trường hợp sau :
 a. b = 360 ; [a , b] = 60
‚ (a , b) = 15 ; [a , b] = 2100. (a , b)
ƒ a. b = 180 ; [a , b] = 20.(a , b)
„ [a , b] + (a , b) = 55
… a + b = 2000 ; [a , b] = 99. (a , b) 
ð Bài tập 4 
 Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) . Chứng tỏ 10p + 1 là hợp số .
‚ Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì : (p - 1) . (p + 1) chia hết cho 24
ƒ Cho m ; m + k ; m + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng k6
ð Bài tập 5 
 Cho 
Chứng minh rằng :
a) 
b) 
‚ Tìm các chữ số a , b , c, d thỏa mãn phép toán sau :
a) 
b) 
Hd :
Ta có :
Vì có hai chữ số nên 
ð Bài tập 6 
 Thay các dấu * bằng các chữ số thích hợp để 
‚ Tìm các chữ số a , b , c sao cho 
„ Tìm n Ỵ N sao cho :
a) ( 4n + 3 )( 2n - 6 )
b) ( 2n + 7 )( n + 1 )
---HẾT---