Chuyên đề Toán học THCS - Phạm Văn Quang

ứng dụng của một bất đẳng thức
Trong chương trình toán bậc THCS có một bất đẳng thức rất quen thuộc và rất có hiệu quả khi vận dụng giải các bài tập đại số và bài tập hình học. Đó là BĐT:
Với n số thực dương a1,a2, , an Ta có
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra Û a1 = a2 =  = an
Các ví dụ
I/ Bất đẳng thức (*) với bài toán cực trị
Bài 1: Cho hai số dương thỏa mãn Tìm GTNN của biểu thức 
*Phân tích :Dự đoán điểm rơi x = 2006y = 1 và từ giả thiết ị 2006x + 2006y = 2007 Dẫn đến tách từ đó nghĩ đến việc áp dụng BĐT (*) cho 2007 số dương x, x, x, , x và 2006y
*Lược giải: Theo (*) với n = 2007, ta có: 
( vì 2006( x+y) = 2007 )
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra Û Vậy Min S = 2007
Bài 2: Cho 3 số dương x, y, z thoat mãn 
x + y + z = 1. Tìm GTLN của biểu thức 
*Phân tích : Nhận dạng rồi liên hệ đến điều kiện x + y + z = 1 Nghĩ ngay đến BĐT (*) với ba số dương x+ 1, y+1, z+1
*Lược giải: Ta có áp dụng BĐT (*) cho 3 số dương x+ 1, y+1, z+1 với lưu ý x+ 1+ y+1+ z+1 = 4 Ta có
Vậy Max Q = khi 
Bài 3: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn Tìm GTNN của biểu thức 
*Phân tích : Cần chỉ ra được A ≥ m
 mà x+y+z ≤ 1do đó phải làm xuất hiện nghịch đảo của ( x+y+z) từ đố nghĩ đến áp dụng BĐT (*) cho 3 số dương x, y, z
*Lược giải: áp dụng BĐT (*) ta có
Vậy Min A = 29 khi x = y = z = 
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức Trong đó a, b, c là các số dương
*Phân tích : Tách 
Gợi ta nghĩ đến BĐT (*)
*Lược giải: Ta có 
Lại áp dụng (*) ta có
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra Û a =b = c
Vậy Min P = 28 đạt được khi a =b = c 
II/ Bất đẳng thức (*) với các bài toán bất 
đẳng thức
Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca ≤ abc Chứng minh rằng
*Phân tích : Bất đẳng thức cần chứng minh gợi ta nghĩ đến việc chứng minh
với ab + bc + ca ≤ abc đẻ rồi sau đó áp dụng BĐT (*) với n = 3
*Lược giải: Ta có 
áp dụng bất đẳng thức (*) với n = 3 ta có
Từ (1) và (2) suy ra
 ( đpcm )
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = ab + bc + ca thì
*Phân tích : 
Do vai trò bình đẳng của a, b, c dẫn đến đánh giá tổng a + 2b +3c bằng BĐT (*) cho 6 số a, b, b, c, c, c
*Lược giải: (1)
áp dụng BĐT (*) cho 6 số a, b, b, c, c, c Ta có
 ( 2)
Tương tự
 (3)
Và (4)
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra ở (2), (3), (4)Û 
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra 
( đpcm)
Bài 7: Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn 
a + b + c = 2. Chứng minh rằng
Gợi ý
+Có thể ding BĐT (*)
+Sau đây là dùng phương pháp tọa độ
Khi đó 
Vì nên
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra Û 
Phương pháp dồn biến trong chứng minh Bất đẳng thức
Dồn biến là một trong những phương pháp thường ding để chứng minh BĐT. Trước hết cần nối rõ một số vấn đề
1/ Quan điểm của phương pháp này là chỉ ra được có đẳng thức khi hai hay một số biến bằng nhau từ đó tìm cách dồn biến thông qua biến trung gian
2/ Phải lựa chọn biến mới một cách phù hợp
Với bài toán mà các biến không có điều kiện dàng buộc thì ta có thể chọn một dạng trung bình bất kỳ: trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa hay trung bình bình phương đều được
Với các bài toán mà biến bị dàng buộc bởi điều kiện nào đó thì cần then trọng để lựa chọn một trong các dạng trên
3/ tùy vào tong hàm đã cho trong BĐT mà khai thác tính chất của nó một cách thích hợp. 
Với BĐT đối xứng thì có thể sắp xếp trật tự các 
biến một cách tùy ý
Xét một số ví dụ
Ví dụ1: Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh
Lời giải
Ta có:
Giả sử Đặt
Xét 
Do ; 
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra Û a = b
Nên 
Ta chỉ cần chứng minh bài toán khi a = b, tức là
 đúng với mọi a, c
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra Û a= b = c =1
( Bài này có thể dùng phương pháp tam thức bậc hai, Sử dụng BĐT abc ≥ 8(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) )
Ví dụ2: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d = 4. Chứng minh rằng
Lời giải
 Ta they đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=1 và với điều kiện ràng buộc a+b+c+d=4 nên ta dồn biến bằng cách sử dụng trung bình cộng. Hơn nữa BĐT đối xứng với 4 biến nên ta có thể giả sử Viết BĐT đã cho dưới dạng
Xét hiệu
Do nên a+c ≥ b+d 
Hay 4 = a+b+c+d ≥ 2( b+d )
Hay b+d ≤ 2 Cho nên 
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra khi và chỉ khi a = c
Do dó 
Như vậy ta chỉ cần chứng minh BĐT đúng khi
 a = c
Mà nên ta chứng minh BĐT khi
 a = b = c = t. Hay chứng minh 
 (*) với 3t + d = 4
Tật vậy: thay d = 4 – 3t vào (*) ta có
( *) đúng suy ra đpcm
Sáng tác bài toán
Bài 1: Tính tổng ( n là số tự nhiên, n > 0 )
a, 
Gải
*Ta có thể tìm ra nhiều bài toán mới dưới đây
Bài 2: Nhận xét từ đó ta có bài toán 2 này như sau
Chứng minh rằng
Bài 3: Ta để ý thấy 
( với n > 1) 
 ( với n > 1) 
Nên A>C. Mà A < 1 từ đó ta có bài toán 3 như sau
Chứng minh rằng
 ( với n > 1)
Bài 4: Ta đặt vấn đề: liệu nửa dãy của C với n lẻ có nhỏ hơn hay không?
 có nhỏ hơn hay không? 
Vậy ta có bài toán 4 như sau
Chứng minh rằng
 ( với n ≥ 1)
Bài 5: Ta có nhận xét
Từ đó ta có bài toán mạnh hơn bài toán 4
Chứng minh rằng
 (với n ≥1)
Bài 6: 
Suy nghĩ tương tự như bài toán 4 với n chẵn, ta có bài toán 6.
Chứng minh rằng
 (với n ≥1)
Vì 
( xem bài 2)
Bài 7: 
Xem lại bài 3 
 ( với n > 1)
 Ta nghĩ liệu có bài toán nào mạnh hợ hay không?
Xuất phát từ:
Như vậy ta có bài toán 7
Chứng minh rằng
 ( với n>1) 
Bài 8: 
ở bài toán 7 ta mới chỉ xét n > 1, nếu xét thêm
 n = 1 ( cộng thêm hai vế với 1 ). Ta có baìo toán 8: Chứng minh rằng
 ( với n ≥1 )
Bài 9: Bài toán 7 các số hạng ở mẫu có dạng bình phương, nếu các số hạng ở mẫu có dạng lập phương thì sao?
 có nhỏ hơn không?
Nhận xét:
Ta có bài toán 9, Chứng minh rằng
 với n ≥ 2
Bài 10: 
Các bài toán ở trên đều có dạng tổng. Vậy biểu thức ở dạng tích thì sao?
Ta thử xét biểu thức
Mà theo bài toán 5 ta có:
. Vậy ta có bài toán 10.
Cho biểu thức
 Với n ≥ 1. Chứng minh rằng 
Một hằng đẳng thức đẹp và hệ quả của nó
Ta có hằng đẳng thức đẹp sau
Chứng minh
( đpcm)
Vậy 
hoặc Do đó ta có hệ quả
‘’ Nếu a+b+c =0 thì ’’ (*)
Vận dụng hằng đẳng thức và hệ quả trên để giải một số bài toán.
Bài 1: 
Cho a+b+c = 2007. Tính giá trin của biểu thức
Giải
Ta có 
Và 
Do đó 
Bài 2: 
Giả sử hệ phương trình 
Có nghiệm. Chướng minh rằng
( Thi L10-THPT, TP. Tuy Hòa-Phú Yên)
Giải
 Vì hệ phương trình đã cho có nghiệm, nên
 hoặc 
+Trường hợp a+b+c=0 
( Theo hệ quả (*))
+ Trường hợp Thay vào hệ phương trình trên, ta được: a = b = c 
Như vậy trong hai trường hợp ta đều có ( đpcm )
Bài 3: 
Cho hệ phương trình 
( HSG -TP.HCM)
Giải
áp dụng hằng đẳng thức 
 (1)
Mặt khác: 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
+Trường hợp x = 0, ta cú
Vậy hoặc 
+Trường hợp y = 0, tương tự ta cú 
 hoặc 
+Trường hợp z = 0, tương tự ta cú 
 hoặc 
Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú ba nghiệm(x;y;z)=(1;0;0); (0;1;1); (0;0;1)
Tương tự giải bài sau
Bài 4: Cho ba số x; y; z thoả món
Tớnh giỏ trị của biểu thức
Cũng từ hệ quả (*), ta xột cỏc bài toỏn sau
Bài 5: Giải phương trỡnh
Giải
Bài 6:
Tỡm nghiệm nghuyờn của hệ phương trỡnh sau
(I) 
Giải:
Ta cú (I)
Áp dụng hệ quả (*) ta cú hệ 
(II) 
Vỡ x, y, z nguyờn, nờn x+2; 2y+3; 3z+1 cũng là số nguyờn. Do đú giỏ trị tuyệt đối của mỗi số x+2; 2y+3; 3z+1 đều là ước của 6. 
Mà Ư(6)= {±1; ±2; ±4; ±6} để 3z+1 là số nguyờn thỡ chỉ cú thể 3z+1 = 1 hoặc 3z+1 = -2
a/ với 3z+1 = 1, lỳc đú hệ (II) trở thành:
 x+2 và 2y+3 là nghiệm của phương trỡnh ( vn)
b/ với 3z+1 =-2, lỳc đú hệ (II) trở thành:
 x+2 và 2y+3 là nghiệm của phương trỡnh
kết hợp với phương trỡnh 3z+1 =-2. suy ra hệ phương trỡnh (I) cú hai nghiệm nguyờn (x; y; z) là (-3; 0 -1); (1; -2; -1)
Bài 7:
Giải hệ phương trỡnh