Chuyên đề: Sự đồng dạng của các hình phẳng - Các tiêu chuẩn đồng dạng của tam giác Hình học 8 - Nguyễn Văn Yên

Sự đồng dạng của các hình phẳng
Các tiêu chuẩn đồng dạng của tam giác
 Như tất cả các kích thước của một hình phẳng thay đổi (tăng hoặc giảm) theo cùng một tỷ số (tỷ số đồng dạng) , thì các hình cũ và mới gọi là hình đồng dạng. Chẳng hạn, bức tranh và ảnh chụp của nó là những hình đồng dạng.
 Trong hai hình đồng dạng câc góc tương ứng bất kỳ bằng nhau, nghĩa là các điểm A, B, C, D của hình này tương ứng với các điểm a, b, c, d của hình kia thì 
A
B
C
D
E
F
a
b
c
d
H1
, v, v
Hai đa giác (ABCDEF và abcdef , H1) là đồng dạng nếu chúng có các góc bằng nhau (, ) và các cạnh của chúng tương ứng tỷ lệ 
Tất cả các phần tử giống nhau còn lại của hai đa giác cũng có tính tỷ lệ đó; chẳng hạn các đường chéo AE và ae cũng có tỷ số như các cạnh 
e
f
 Nhưng nếu chỉ có các cạnh của đa giác tỷ lệ thì chưa đủ để chúng đồng dạng; chẳng hạn, trên (H2) tứ giác ABCD (hình vuông) có các cạnh tỷ lệ với các cạnh của tứ giác abcd (hình thoi); mỗi cạnh hình vuông lớn gấp đôi mỗi cạnh hình thoi. Song các đường chéo của hình thoi bị làm nhỏ đi một cách không cân xứng (một đường bị rút ngắn một nửa, còn đường kia thì lại quá nửa), bởi vì các góc của hình thoi abcd không bằng các góc của hình vuông ABCD
A
B
C
a
b
c
d
D
H2
H3
A
B
C
E
D
a
b
c
d
e
 Nhưng đối với tam giác sự tỷ lệ của các cạnh là đủ để chúng đồng dạng “Hai tam giác đồng dạng nếu các cạnh của chúng tỷ lệ”. Chẳng hạn nếu các cạnh của tâm giác ABC (H3) lớn gấp đôi các cạnh của tam giác abc, thì tất cả phân giác BD cũng gấp đôi phân giác bd, và các đường cao BE gấp đôI đường cao be v.vvà chúng có các góc tương ứng bằng nhau (=, =, = )
A
B
C
D
a
b
c
d
H4
 Nếu các góc của hai tam giác tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng (tìm hai cặp góc bằng nhau là đủ, bởi vì tổng các góc trong tam giác bằng 1800). Đối với hai đa giác tùy ý thì tiêu chuẩn đó không đủ để chúng đồng dạng. Chẳng hạn hình vuông ABCD và hình chữ nhật abcd (H4) có các góc tương ứng bằng nhau nhưng chúng không đồng dạng.
 Hai tam giác cũng đồng dạng, khi hai cạnh của tam giác này tỷ lệ với hai cạnh của tam giác kia, và góc xen giữa chúng bằng nhau (nghĩa là nếu và = )
 Hai tam giác vuông đồng dạng, nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỷ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia.
 Hai đường tròn bất kỳ đồng dạng với nhau (một trong hai dường tròn là hình ảnh thu nhỏ hay phóng đại của đường tròn kia)
 Diện tích của các hình đồng dạng (đặc biệt là các đa giác) tỷ lệ với bình phương đường giống nhau của chúng (chẳng hạn, các cạnh). Đặc biệt, tỷ số diện tích của hai hình tròn bằng bình phương tỷ số hai bán kính hoặc hai đường kính. Như vậy nếu cho rằng tỷ số diện tích của hai hình tròn bằng tỷ số các đường kính là sai lầm. Song sai lầm đó thường hay mắc phải!
 Thí dụ 1: Một đĩa kim loại hình tròn đường kính 20 cm, cân nặng 2,4 kg. Hỏi một cái đĩa 10 cm do cắt ra từ đĩa đó cân nặng bao nhiêu?
 Khi giải bài toán đó đã có người lập luận sai lầm như sau: đường kính đĩa nhỏ bằng nửa đường kính đĩa lớn; nên đĩa nhỏ bằng nửa đĩa lớn, nghĩa là trọng lượng của nó bằng 1,2 kg !
 Cách giải đúng như sau: vì vật liệu và chiều dày của các đĩa như nhau nên khối lượng của các đĩa tỷ lệ với diện tích; mà tỷ số diện tích của đĩa nhỏ so với đĩa lớn bằng . Vậy khối lượng của đĩa nhỏ là 2,4.=0,6 kg.
 Thí dụ 2: Giả dân số của Phong Khê là 8200, dân số của Khúc Xuyên 4100. Số dân của Khúc Xuyên trên biểu đồ được biểu diễn bằng hình vuông cạnh 10 cm. Số dân của Phong Khê sẽ được biểu diễn bằng hình vuông có cạnh dài bao nhiêu?
 Ký hiệu cạnh phải tìm là a, ta có:
 ; ; a