Chuyên đề Phương pháp giải một số bài tập Hình học Khối THCS - Nguyễn Quang Khiêm

Phương pháp giải một số dạng bài tập hình học
A.Dạng toán chứng minh
I.Chứng minh hai góc bằng nhau.
Cách 1:
	Hai góc so le trong, so le ngoài,hoặc đồng vị của hai đường thẳng // thì bằng nhau. (h1)
Cách2:
 	Hai góc ở vị trí đối đỉnh. (h2)
(h2)
(h1)
Cách 3:
 Hai góc của một tam giác cân. ( hoặc tam giác đều).
Cách 4:
 Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng.
Cách 5:
 Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau.
Cách 6:
 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Cách 7:
 Chứng minh hai góc cùng bằng một góc thứ 3.
Cách 8:
	Chứng minh hai góc cùng phụ hay cùng bù một góc.
Cách 9:
 	Là hai góc ở đáy của hình thang cân.
Cách 10:
 	Là hai góc đối của hình bình hành.
Cách 11:
 	Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác.
Cách 12:
 	Hai góc bằng tổng hoặc hiệu hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau
Cách 13:
 	Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.
Cách 14:
	Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
II.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Cách 1:
 	Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
Cách 2:
 Hai cạnh bên của tam giác hoặc hình thang cân.
Cách 3:
 Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
Cách 4:
 Hai cạnh đối của hình bình hành ( hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông).
Cách 5:
 Hai dây căng hai cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau.
Cách 6:
 Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Cách 7:
 Sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành.
Cách 8:
 Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.
Cách 9:
 Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
Cách 10:
 	Sử dụng tính chất đường trung trực.
Cách 11:
 Sử dụng tính chất đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và // với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
Cách 12:
 	Sử dụng quan hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm.
Cách 13:
 	Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một biểu thức.
III.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Cách 1:
 	Sử dụng tính chất tiếp tuyến. ( vuông góc với bán kinh đi qua tiếp điểm)
Cách 2:
 Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính- cung và dây. 
B
M
A
N
Cách 3:
 Sử dụng định nghĩa đường trung trực.
B
Cách 4:
 	Tính chất các đường đồng thời trong tam giác cân.
Cách 5:
 	Chứng minh là đường cao còn lại của tam giác.
Cách 6:
 	Là hai tia phân giác của hai góc kề bù
Cách 7:
 	Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. ( chứng minh tam giác vuông):
áp dụng định lý đảo của định lý Pi – Ta – Go.
Trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng.
Tam giác ABC có tổng hai góc bằng 900.
Cách 8:
 	Sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng // thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
Cách 9 :
 	Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng 900.
IV.Chứng minh hai đường thẳng //.
Cách 1: 
 	Chứng minh chúng tạo với một cát tuyến 
hai góc:
* bằng nhau ở vị trí:
so le trong
so le ngoài
đồng vị
* bù nhau ở các vị trí:
	a) trong cùng phía.
	b) ngoài cùng phía.
Cách 2:
	Chứng minh chúng cùng // với đường thứ 3.
Cách 3:
 	Chứng minh chúng cùng vuông góc với đường thứ 3.
Cách 4:
 	Là hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau trong một đường tròn.
Cách 5:
 	Sử dụng tính chất đường trung bình.
Cách 6:
 	Sử dụng định lý Ta_Lét đảo.
Cách 7:
 	Là hai cạnh đối của hình bình hành.
Cách 8:
 	Là hai cạnh đáy của hình thang.
V.Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Cách 1:
 	Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
(hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông đều là tứ giác nội tiếp)
Cách 2: (h8)
	Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn xuống cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a ( hai góc bằng nhau). 
Cách 3: (h9)
 	Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Cách 4: (h10)
 	Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm ( mà điểm đó có thể xác đinh được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứgiác.
 (h8)	 (h9)	 (H10)
Cách 5 : trường hợp đặc biệt:
D
B
C
M
A
	a)Nếu hai cạnh đối của tứ giác AB và DC cắt nhau tại M
thỏa mãn: MA.MB = MD.MC
	ta có thể chứng minh:
 tứ giác ABCD nội tiếp.
b)Nếu hai đường chéo của tứ giác AC và BD cắt nhau tại P thỏa mãn:
D
B
C
A
P
	 	PA.PC = BD. PB 
	Ta có thể chứng minh :	
 tứ giác ABCD nội tiếp.
VI.chứng minh dẳng thức hình học.
	Chứng minh a.b = c.d ( chứng minh đẳng thức tích). Chuyển về chứng minh tỷ lệ thức:
	 hoặc 
Cách 1:Gắn vào hai tam giác đồng dạng.
Cách 2: Sử dụng định lý Talét, hệ quả của định lý Talét.
Cách 3: Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
Cách 4: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cách 5: Lập hai tỷ số từ tích chứng minh chúng cùng bằng một tỷ số thứ ba.
VII.Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
	1.Trường hợp tam giác thường:
	 a) Ba cạnh bằng nhau đôi một ( c-c-c).
	 b) Một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau (c-g-c).
	 c) Một cặp cạnh bằng nhau kề giữa hai cặp góc bằng nhau (g-c-g).
	2.Trường hợp tam giác vuông:
	 a) Cạnh huyền – góc nhọn tương ứng bằng nhau.
	 b) Cạnh huyền – cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau.
VIII.Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
	1.Trường hợp tam giác thường:
	 a) Có hai góc bằng nhau.
	 b) Có một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ.
	 c) Có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ.
	2.Trường hợp tam giác vuông.
	 a) Có một cặp góc nhọn bằng nhau.
	 b) Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ.
IX.Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của (O;R).
Cách 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính.
C
B
T
A
Cách 3: Chứng minh góc tạo bởi tia MT với một dây của đường tròn bằng nửa số đo của cung bị chắn.
MT là tiếp tuuyến của (O;R)
*Hoặc 	 
MT là tiếp tuuyến của (O;R)
B
T
M
A
Cách 4: Đặc biệt:
 	Nếu MT2=MA.MB đi chứng minh:
MT là tiếp tuuyến của (O;R)
 .
 .
 .
B
C
a
A
X.Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng.
Cách 1: 
	Chứng minh AB,AC cùng // với một đường thẳng 
Cách 2:
	Chứng minh BC, BA cùng vuông góc với một đường thẳng.
Cách 3:
	Chứng minh ba điểm đó tạo thành một góc bẹt. ( = 1800)
Cách 4: 
	Chứng A, B, C cùng thuộc thuộc một đường nào đó: đường trung trực của đoạn thẳng, đường phân giác của một góc.
Cách 5: 
	Chứng minh AB, AC là hai tia trùng nhau.
XI. Chứng minh ba đường đồng qui.
Cách 1:
	Chứng minh đó là 3 đường trung tuyến,3 đường cao, 3 đường trung trực, 3 đường phân giác trong (hoặc một phân giác trong và hai phân giác ngoài trực, 3 đường phân giác trong hoặc a một gócXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX của hai góc còn lại) trong một tam giác.
Cách 2: 
	Gọi giao điểm của hai đường là Q chứng minh đường còn lại cũng đi qua Q.
B Dạng bài tập tính toán.
I.Tính số đo góc.
Dựa vào các kiến thức sau:
1.Gắn vào giải tam giác vuông (Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông)
2.Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 1800.
3.Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 900.
3.Tính chất các góc trong đường tròn.
5.Góc này bằng góc kia đã biết số đo.
II.Tính độ dài đoạn thẳng.
	Cách 1: Gắn vào giải tam giác vuông.
	Cách 2: áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.
	Cách 3: Gắn vào tỷ lệ thức (xem các cách như chứng minh dẳng thức hình học).
III. Tính diện tích chu vi các hình.
	*Có thể chuyển về bài toán tính độ dài các đoạn thẳng
	* Chú ý : 
 -Tỷ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỷ số đồng dạng.
 - Tỷ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỷ số đồng dạng.
 - Hai tam giác có chung đường cao thì tỷ số diện tích bằng tỷ số cạnh tương ứng. Hai tam giác có chung cạnh thì tỷ số diện tích bằng tỷ số hai đường cao tương ứng.
 - Khéo léo khi phân chia hình. 
C.Tìm điều kiện để hình A là hình B
*Giả sử hình A là hình B cần thêm điều kiên gì? Điều kiện đó có liên quan gì đến điều kiện bài ra?
D.Dạng quĩ tích hay tập hợp điểm
1.Nếu M cách đều hai đầu đoạn thẳng AB cố định thì M nằm trên trung trực của AB.
2.Nếu M cách đều hai cạnh của một góc thì M nằm trên tia phân giác của góc đó.
3.Nếu M cách O cố định một khoảng không đổi R thì thuộc (O;R).
4.Nếu M nhìn xuống AB cố định một góc không đổi thì M nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn AB.
5.Nếu M cách đường thẳng cố định a một khoảng bằng h thì M nằm trên 2 đường thẳng // với a và cách a một khoảng bằng h.
Cỏc phương phỏp chứng minh tiếp tuyến
Posted on May 3, 2008 by masterwin 
Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường trũn ta dựng cỏc cỏch sau đõy:
Cỏch 1 : Chứng minh khoảng cỏch từ O đến d bằng R. Hay núi cỏch khỏc ta vẽ , chứng minh .
Cỏch 2: Nếu biết d và (O) cú một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh .
Trờn đõy là hai cỏch chủ yếu, ngoài ra cũn cú cỏc cỏch sau.
Cỏch 3: Cỏch này dựa trờn bài toỏn phụ sau:
Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O). Tia Ax thỏa (Ax cựng phớa với tia AC đối với đường thẳng AB). Khi đú Ax là tia tiếp tuyến của (O). 
Cỏch này thường dựng để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc.
Cỏch 3 trờn là một vớ dụ cho phương phỏp chứng minh trựng khớt - một phương phỏp rất hiệu quả để chứng minh cỏc bài toỏn đảo. Và phương phỏp này cũng được dựng nhiều trong cỏc bài toỏn chứng minh tiếp tuyến.
Vớ dụ 1: 
 Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4 /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:”Table Normal”; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-parent:”"; mso-padding-alt:0in 5.4pt 0in 5.4pt; mso-para-margin:0in; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:”Times New Roman”; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;} 
Cho đường trũn (O) đường kớnh AB. C là một điểm thay đổi trờn đường trũn (O) . Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vuụng gúc với phõn giỏc gúc ODC, đường này cắt CD tại M. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luụn tiếp xỳc với (O) khi C thay đổi.
Giải:
Ta thấy rằng đường thẳng d và (O) chưa cú giao điểm nào, do đú ta dựng cỏch 1 để giải bài toỏn này.
Vẽ . Ta cần chứng minh OH = OC.
Ta cú tam giỏc DMO cõn tại D, suy ra . Mà (So le trong).
Nờn ta cú .
Từ đú ta cú , suy ra OH = OC. Vậy d là tiếp tuyến của (O).
Vớ dụ 2 :
 Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4 /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:”Table Normal”; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-parent:”"; mso-padding-alt:0in 5.4pt 0in 5.4pt; mso-para-margin:0in; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:”Times ... của 1 số chẵn với 1 số tự nhiờn là 1 số chẵn . 
5/Chữ số tận cựng của 1 lũy thừa :
..... 1^n = ..... 1
..... 5^n = ..... 5
..... 6^n = ..... 6
..... 7^4n = ..... 1
..... 9^2n = ..... 1
..... 9^4n = ..... 1
..... 2^4n = ..... 6 
..... 4^4n = ..... 6
..... 8^4n = ..... 6
..... 4^2n = ..... 6
IV . Cỏc bài toỏn chứng minh ở Trung học :
Cỏc bài toỏn chứng minh đại số :
1/Chứng minh n + 2 / n + 1 là phõn số tối giản .
2/Chứng minh rằng : 12^2n +1 + 11^n +2 chia hết cho 133 . 
3/Chứng minh rằng 4^n + 15n – 1 chia hết cho 9 .
4/Chứng tỏ :
/a/ lớn hơn hoặc bằng 0 (a thuộc Z ) .
/a/ lớn hơn hoặc bằng a (a thuộc Z ) .
5/Cho a;b thuộc Z . Chứng tỏ : a – b và b – a là hai số đối nhau .
6/Chứng minh phõn số sau là phõn số tối giản :
m + 2 / m + 3 .
m + 3 / m + 4 .
2m + 1 / 3m + 1 .
7/Cho a / b là PSTG . Chứng tỏ cỏc phõn số sau tối giản :
a / a + b . 
a / a – b . 
8/Chứng minh : 1 / a – 1 / a + k = k / a .( a + k ) . 
9/Chứng tỏ : ( n + 5 ) . ( n + 10 ) chia hết cho 2 .
10/Chứng minh : 1 / 5 + 1 / 13 + 1 / 25 + 1 / 41 + 1 / 61 + 1 / 85 + 1 / 113 < 1 / 2 .
11/Cho a / b > c / d . Chứng tỏ : ad > bc . 
12/Cho ad > bc . Chứng tỏ : a / b > c / d .
13/Chứng minh : 2^10 + 5^12 là hợp số . 
14/Chứng minh : 2005 . 2007 . 2009 . 2011 + 16 là số chớnh phương . 
15/Chứng minh rằng : 
Nếu ( 4a + 3b ) chia hết cho 7 thỡ ( 3a + 4b ) chia hết cho 7 .
Nếu ( 5a + 3b ) chia hết cho 13 thỡ ( 4a + 31b ) chia hết cho 13 .
Nếu ( 2a + 3b chia hết cho 5 thỡ ( 9a + 11b ) chia hết cho 5 . 
16/Cho S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + .. + 2^100 . Chứng minh rằng : S chia hết cho 15 . 
17/Chứng minh : 10^n chia cho 45 luụn dư 10 .
18/Chứng minh rằng : ( 43^42 – 17^17 ) chia hết cho 10 .
19/Chứng minh : 2^5 + 3^5 chia hết cho 5 . 
20/Cho a / b > c / d . Chứng tỏ : a + b / b > c + d / d .
21/Chứng minh rằng : Nếu a khụng chia hết cho 3 thỡ a = 1bs(3) +/– 1 .
22/Chứng minh rằng : Nếu a khụng chia hết cho 3, b khụng chia hết cho 3 thỡ 
a + b chia hết cho 3 hoặc a – b chia hết cho 3 ( a > b ) .
23/Chứng tỏ : 
Số aaaaaa chia hết cho 7 .
Số abcabc chia hết cho 11 .
24/Chứng tỏ : Tớch của 2 số chẵn liờn tiếp chia hết cho 8 .
25/Chứng tỏ : Tổng 3 số chẵn liờn tiếp chia hết cho 6 .
26/Chứng tỏ : ( n + 2 ) . ( n + 3 ) chia hết cho 2 ( n thuộc N ) .
27/Chứng minh : Nếu 3a + 7b + 4c chia hết cho 9 thỡ 6a + 2b + 5c chia hết cho 9 .
28/Cho A = 11^9 +11^8 + 11^7 + .. + 11^1 + 1 . Chứng tỏ : A chia hết cho 5 .
29/Cho B = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + .. + 2^59 + 2^60 . Chứng minh : B chia hết cho 3, cho 7 và cho 15 .
30/Chứng minh rằng :
10^n + 8 chia hết cho 9 . 
10^n – 1 chia hết cho 9 . 
10^2k – 1 chia hết cho 9 .
31/Chứng tỏ :
n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) chia hết cho 2 .
n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) chia hết cho 3 .
n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) chia hết cho 6 .
32/Chứng minh : ( a + b ) . ( a – b ) = a^2 – b^2 .
33/Cho A = 1 + 3 + 5 + ..... + ( 2n – 1 ) với n thuộc N . Chứng minh A là số chớnh phương .
34/Cho A = n . ( 2n + 7 ) . ( 7n + 1 ) . Chứng tỏ rằng : A chia hết cho 2, 3, 6 .
35/Chứng minh rằng : Nếu 2x + y chia hết cho 17 thỡ 3x – 7y chia hết cho 17 và ngược lại .
36/Chứng minh : Nếu a khụng chia hết cho 3 thỡ a = 1bs(3) +/– 1 . 
37/Chứng tỏ : Nếu a khụng chia hết cho 3, b khụng chia hết cho 3 thỡ a + b/a – b chia hết cho 3 .
38/Chứng minh rằng : Nếu 3x + 5y chia hết cho 7 thỡ x + 4y chia hết cho 7 và ngược lại .
39/Chứng tỏ rằng : 
n.( 2n + 7 ) . ( 7n + 1 ) chia hết cho 2 
n.( 2n + 7 ) . ( 7n + 1 ) chia hết cho 3
n.( 2n + 7 ) . ( 7n + 1 ) chia hết cho 6
40/Chứng minh : Nếu 2x + 3y chia hết cho 13 thỡ 3x + 11y chia hết cho 13
41/Giả sử x = a/m, y = b/m ( a,b,m thuộc Z, m > 0 ) và x < y . Hóy chứng tỏ rằng nếu cho z = a + b/2m thỡ ta cú x < z < y
42/Chứng minh rằng : Nếu a/b 0 ) thỡ a/b < a + c/b + d < c/d
43/Hóy chứng tỏ 2 số tự nhiờn liờn tiếp nguyờn tố cựng nhau .
44/Chứng minh : ƯCLN ( a,b ) = 1, biết :
a) a = n + 1 
 b = 3n + 2 
b) a = 14n + 17 
 b = 21n +25
Cỏc bài toỏn chứng minh hỡnh học :
V.Một số bài toỏn khú ở Trung học :
1/Từ cụng thức bài 8 phần III, hóy tớnh cỏc tổng sau :
S = 1 / 1 . 2 + 1 / 2 . 3 + 1 / 3 . 4 + ..... + 1 / 99 . 100
X = 1 / 6 + 1 / 12 + 1 / 20 + ..... + 1 / 19 . 20
R = 2 / 5 . 6 + 2 / 6 . 7 + 2 / 7 . 8 + ...... + 2 / 99 . 100
2/Tỡm chữ số tận cựng :
3^4
3^8
3^20
3^2003
7^2005
3/So sỏnh :
27^11 và 81^8
625^5 và 125^7
3^2n và 2^3n ( n thuộc N*)
21^15 và 27^5 . 49^8 
4/Từ cụng thức bài 32 phần III, hóy tớnh tổng sau :
M = 100^2 – 99^2 + 98^2 – 97^2 + ..... + 2^2 – 1^2 .
5/Rỳt gọn phõn số sau :
2 . 4 + 2 . 4 . 8 + 4 . 8 . 16 + 8 . 16 . 32 / 3 . 4 + 2 . 6 . 8 + 4 . 12 . 16 + 8 . 24 . 32
6/Trờn một hũn đảo cú hai loại người : chỉ núi thật và chỉ núi dối . Cú một hành khỏch ghộ thăm đảo và tới thăm một gia đỡnh cú vài người sống . Anh ta hỏi : “ Ở đõy cú bao nhiờu người núi dối ? ” . Một người trong gia đỡnh trả lời : “ Cú ớt nhất một trong số chỳng tụi thuộc nhúm người núi dối . ” . Vậy người này thuộc nhúm núi dối hay núi thật ?
7/Đố vui : Bản di chỳc khú thực hiện .
Một người cha khi mất đi để lại gia tài gồm 23 con ngựa và một bản di chỳc như sau :
“Chia cho hai đứa con 2/3 số ngựa, gúp 1/6 sốngựa cho quỹ của cả làng, dành 1/8 số ngựa để giỳp trẻ em nghốo, và khụng giết thịt bất cứ con ngựa nào . ” . Bản di chỳc thật “ húc bỳa ” vỡ 23 con ngựa khụng chia hết cho 3,6,8 . Tuy nhiờn, hai người con vẫn hoàn thành tõm nguyện của cha mỡnh . Họ đó làm điều đú như thế nào ?
8/So sỏnh cỏc lũy thừa sau :
16^19 và 8^25 
1331^4 và 144^6
7 . 2^13 và 2^16
10^30 và 2^100
333^444 và 444^333
9/Đố vui : Tranh chấp gia tài .
Ngày xưa, cú một ụng quan được thưởng 3 hũm vàng do lập cụng lớn ( biết 3 hũm vàng bằng nhau và chia hết cho 7 ) . Lỳc trước khi mất, vợ ụng đang cú bầu, ụng dặn : “Nếu sinh con trai thỡ con 2 hũm, mẹ 1 hũm . Nếu sinh con gỏi thỡ con 1 hũm, mẹ 2 hũm . ” . Nhưng, sau khi ụng quan mất, bà lại sinh đụi một trai, một gỏi . Liệu cú cỏch nào để thực hiện đỳng như lời của vị quan nọ ? 
Cỏc phương phỏp chứng minh tứ giỏc nội tiếp.
Posted on May 3, 2008 by masterwin 
Để chứng minh một tứ giỏc là tứ giỏc nội tiếp ta cú cỏc cỏch sau:
Cỏch 1: Chứng minh tổng hai gúc đối bằng .
Cỏch 2: Chứng minh gúc ngoài bằng gúc trong đỉnh đối.
Cỏch 3: Chứng minh hai đỉnh kể cựng nhỡn một cạnh hai gúc bằng nhau.
Cỏch 4: Chứng minh 4 đỉnh cỏch đều một điểm.
Cỏc cỏch trờn chủ yếu là cỏc cỏch chứng minh dựa vào cỏc chứng minh về gúc. Ngoài cỏc cỏch trờn chỳng ta cú một vài điều kiện đủ khỏc để một tứ giỏc là tứ giỏc nội tiếp. Chỳng ta xột bài toỏn sau:
Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chộo và I là giao điểm hai cạnh bờn AD và BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD
b) Tứ giỏc ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC
Việc chứng minh bài toỏn này khụng cú gỡ khú khăn, chỳng ta chỉ việc chứng minh cỏc tam đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toỏn trờn cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giỏc nội tiếp đú là chứng minh một đẳng thức về cạnh.
Hóy dựng ý tưởng đú để giải cỏc bài toỏn sau:
Bài 2: Cho đườn trũn (O), A là một điểm nằm ngoài đường trũn. Một cỏt tuyến qua A cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hỡnh chiếu của P trờn OA. Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cựng thuộc một đường trũn.
Hướng dẫn giải:
Chỳng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đú để chứng minh tứ giỏc OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC.
Thật vậy ta cú:
(hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng APO)
(tam giỏc APB và ACP đồng dạng).
Từ đú ta cú , theo bài 1 ta cú điều cần chứng minh.
Bài 3: Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC). Đường trũn tõm O tiếp xỳc với AB tại B và tiếp xỳc với AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dõy cung DE của (O) đi qua H. Chứng minh rằng tứ giỏc ADOE nội tiếp.
Hướng dẫn giải
Tam giỏc OCA vuụng tại C, CH là đường cao nờn ta cú: 
Dõy cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nờn ta cú 
Từ đú ta cú , chứng minh tương tự bài 1 ta cú tứ giỏc ADOE nội tiếp.
Bài tập
Bài 1: Cho đườn trũn (O; R) và một điểm I nằm trong đường trũn. Hai dõy cung AB và CD cựng đi qua I. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q. Gọi M là giao điểm của OQ và CD, N là giao điểm của OQ và AB. Chứng minh:
a) Tứ giỏc MNPQ nội tiếp.
b) OI vuụng gúc với PQ.
Bài 2: Cho hỡnh thang vuụng ABCD ( AB//CD). Gọi O là trung điểm của AD. Đường thẳng qua A vuụng gúc với OB cắt đường thẳng qua D vuụng gúc với OC tại K. Chứng minh OK vuụng gúc với BC.
Cỏc bài toỏn cực trị cơ bản và ứng dụng.
Posted on May 3, 2008 by masterwin 
Chỳng ta cú cỏc bài toỏn cực trị cơ bản sau:
Bài 1: Cho đường trũn (O) và dõy cung AB cố định. M là điểm di chuyển trờn cung lớn AB, H là hỡnh chiếu của M trờn AB. Tỡm vị trớ của M để MH đạt giỏ trị lớn nhất. Giải bài toỏn trong trường hợp M thuộc cung nhỏ AB.
Hướng dẫn giải:
Vẽ OI vuụng gúc với AB (I thuộc AB). Ta cú . Dấu ” =” xảy ra khi và chỉ khi M, O, I thẳng hàng hay M là trung điểm cung AB.
Vậy MA + MB đạt giỏ trị lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.
Tương tự đối với trường hợp M là trung điểm cung nhỏ AB.
Bài 2: Cho đường trũn (O) và dõy cung AB cố định. M là một điểm thay đổi trờn cung nhỏ AB. Tỡm vị trớ của M để tổng MA + MB đạt giỏ trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Trờn tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MB = MC. Khi đú ta cú MA + MB = AC.
Ta cú 
Suy ra C thuộc cung chứa gúc dựng trờn đoạn AB. Từ đú AC lớn nhất khi AC là đường kớnh. Khi đú M là trung điểm cung AB.
Vậy MA + MB lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.
Trờn đõy là hai bài toỏn cực trị cơ bản của lớp 9, từ hai bài toỏn trờn ta cú thể giải cỏc bài toỏn sau:
Bài 1: Cho đường trũn (O) và dõy cung AB cố định. C là điểm thay đổi trờn cung lớn AB. Gọi H là trực tõm của tam giỏc ABC. Tỡm vị trớ của C để chu vi, diện tớch tam giỏc HAB cú giỏ trị lớn nhất.
Bài 2: Cho đường trũn (O) và AB là dõy cố định. Tỡm điểm C thuộc cung lớn AB sao cho đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Bài 3: Chứng minh rằng trong cỏc tứ giỏc nội tiếp đường trũn (O) thỡ hỡnh vuụng cú chu vi lớn nhất.
Bài 4: ( CT NK 2007 - 200 
 Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4 
Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (C). P là một điểm trờn cung BC khụng chứa điểm A. Hạ AM, AN lần lượt vuụng gúc với PB, PC.
a) Chứng minh rằng MN luụn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi.
b) Xỏc định vị trớ của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giỏ trị lớn nhất.
Bài 5: Cho tam giỏc ABC cõn nội tiếp đường trũn tõm O. Trờn cạnh BC lấy một điểm M.Đường trũn tõm D qua M và tiếp xỳc với AB tại B và đường trũn tõm E qua M tiếp xỳc AC tại C cắt nhau tại I.
a) Tỡm vị trớ của M để DE cú giỏ trị nhỏ nhất.
b) Tỡm vị trớ M để chu vi tam giỏc IBC cú giỏ trị lớn nhất.