Chuyên đề Phân loại một số bài toán tỉ lệ thức Số học Lớp 7

Phân loại Một số dạng toán tỉ lệ thức lớp 7
A. đặt vấn đề
 Qua thực tế giảng dạy và trao đổi cùng các đồng nghiệp tôi nhận thấy các bài toán dùng kiến thức về tỉ lệ thức để giải là một phần hay được mọi người quan tâm cả về phương pháp giảng dạy, cả về nội dung kiến thức, trong đó việc phân loại bài tập và phương pháp suy luận tìm tòi lời giải đối với từng dạng, đã được chúng tôi đề xuất đem ra trao đổi ở tổ chuyên môn, rồi được áp dụng vào các tiết giảng ở các lớp đại trà và các lớp bồi dưỡng HSG đã đạt kết quả tốt, nay chúng tôi đem trình bầy ở đây hy vọng góp được một phần nhỏ bé của mình vào kho tàng kinh nghiệm chung trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
 Các bài toán về tỉ lệ thức là một mảng toán rất rộng nên chúng tôi không có ý định đề cập tới tất cả các dạng ở các khối lớp mà chỉ hạn chế mức độ toán 7 để sử dụng trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp 7
B.thực trạng dạy học:
 Khi giảng dạy phần toán tỉ lệ thức do không phân loại tốt từng dạng bài nên khi hướng dẫn học sinhh giáo viên thường đan xen các dạng bài tập với nhau, làm cho học sinh bị rối trong trình bầy và tư duy tìm tòi lời giải, khi trình bầy lời giải nhiều em còn lẫn lộn giữa các cách giải với nhau. 
C.điều tra cơ bản
 Chúng tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng học sinh ở mảng toán tỉ lệ thứckhi chưa dạy theo kiểu phân loại bài tập vao cuối năm học 2008- 2009 có kết quả như sau: 
Tổng số HS
giỏi
Khá
tb
Yếu
kém
40
1
5
20
10
4
2,5%
12,5%
50%
25%
10%
d.giải quyết vấn đề
 Chúng tôi đã tóm lược phần kiến thức cơ bản và phân dạng bài tập giúp cho học sinh nắm bài được dễ dàng hơn
Kiến thức cơ bản
Tỉ lệ thức
Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số .
Tỉ lệ thức còn được viết là a:b = c:d.
Tính chất
Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
 Nếu thì a.d = b.c
Tính chất 2 (điều kiện để 4 số lập thành tỉ lệ thức)
 Nếu ad = bc và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
 Từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra:
 = 
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Tổng nquát cho dãy tỉ số bằng nhau:
 (n2; nZ)
Nếu nói: Các sỗ x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c ta có thể viết như sau:
 hoặc x: y: z = a: b: c
các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Nhận biết tỉ lệ thức: chủ yếu là ta dùng phép thử trực tiếp
Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập các tỉ lệ thức:
28:14; ; 8: 4; ; 3:10; 2,1: 7; 3: 03.
Giải:
28:14 = 8:4 ; 3 : 10 = 2,1 : 7
Từ các tỉ số sau đây có lập được tỉ lệ thức không?
a) 3,5: 5,25 và 14:21: b) và 2,1: 3,5;
c) 6,51: 15,19 và 3: 7; d) -7: và 0,9: (-0,5).
Giải:
a), c) được 
Dạng 2: Tính số chưa biết bằng cách áp dụng tính chất tỉ lệ thức:
Tìm x biết: 
2x:6 = 5:3
Giải: 
2x: 6= 5: 3 => 2x = 6.5 : 3 => 2x = 10 => x = 10 :2 => x = 5
 b) => 3x -2 = => 3x -2 = 
 => x= (24/7 +2 ):3 = 
 c) => 4x2 -1 = 15 => x2 = 4=> x= 2 hoặc x = -2
Dạng3: Tìm số chưa biết (áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau):
I. Tìm x, y 0 biết:
 a) và 2x+ 5y = 10
 b) và 2x + 3y = 7
 c) 21x = 19y và x- y = 4
 d) và x.y = 84
 e) và x2 – y2 = 4 (x, y > 0).
Giải:
 a) => => 
 Ta có 
 x= ; y = 
 b), c) giải tương tự.
 d) Do x 0 Nên từ => 10x2 = 3x2 +252
 => x2 = 36 => x = 6 hoặc x = -6
 e) Từ => 
 =>x= và y= hoặc x= - và y= - 
II. Tính x, y, z biết rằng: 
a) 
b) 2x = 3y = 5z, x+y-z = 95.
c) 
Giải:
a)Biến đổi thành 
 Kết hợp với x + y + z = 92 ta được x= 20; y = 30; z = 42
Từ 2x = 3y = 5z ta có tức là kết hợp với x+y-z = 95
Ta được x= 75 ; y = 50 ; z = 30.
Từ : (1)
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho ba tỉ số đầu ta được:
 (2)
Nếu x+y+z = 0 thì từ (1) ta suy ra x= y = z = 0
 Nếu x +y +z 0 thì từ (2) suy ra = x + y+ z Khi đó (1) trở thành
 Do đó
 2x = x= 
 2y = => y = 
 2z = - z = -
Vậy (x, y, z) = ( 0, 0, 0) hoặc (x, y, z) = (, ,- )
Dạng4: Chứng minh tỉ lệ thức:Đây là một phần khó trong các bài toán ti lệ thức, khi chúng tôi giảng dạy phần này, nhiều học sinh ngạc nhiên không biết do đâu mà thầy ,cô lại có được lời giải như vậy, do đó chúng tôi đã cố gắng giúp cho học sinh nắn được một số cách giải và phương pháp cơ bản để tìm tòi lời giải, đó là:
Cách1 -Phân tích ngược để phát hiện biểu thức cần thêm hoặc bớt vào đẳng thức đã cho để suy ra biểu thức cần chứng minh.
Cách 2 -Đặt ẩn phụ rồi chỉ ra hai vế của đẳng thức cần phải chứng minh cùng bằng một biểu thức thứ ba.
Cách3- Lập các tích trung tỉ và các tích ngoại tỉ rồi so sánh chúng kết hợp với đẳng thức suy ra được từ giả thiết.
Ví dụ1 Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau( giả thiết các tỉ lệ thức phải chứng minh đều có nghĩa):
a) 
b)
c)
Câu a) Tìm tòi lời giải: 
 <= (a-b)(c+d) = (c-d)(a+b) <= ac +ad – bc- bd = ac + bc –ad –bd 
 <= ad – bc = bc – ad <= 2ad = 2bc <= ad = bc <= 
 Giải:
 Cách 1 => ad = bc => 2ad = 2bc => ad – bc = bc – ad 
ac + ad – bc – bd = ac + bc – ad – bd => (a-b)(c+d) = (c-d)(a+b) 
Cách 2 : Dùng ẩn phụ
 Đặt = k => a = bk ; c = dk =>
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) ta có đẳng thức cần phải chứng minh.
Câu b)
Cách thứ nhất là ta có thể so sánh tích các trung tỉ và tích các ngoại tỉ
 Giải: 
Xét tích A = (2a + 5b)(3c – 4d) = 6ac – 8ad + 15bc – 20bd
 B = (3a – 4b)(2c + 5d) = 6ac +15ad – 8bc – 20bd
Mặt khác theo giả thiết ta lại có: => ad = bc
 Nên B = 6ac + 15bc – 8ad – 20bd = A => 
Cách 2: làm tương tự cách 2 của câu a) Chỉ ra 2 vế của đẳng thức cần chứng minh đều bằng từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ2: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng 
Giải:Cách1: Đặt = k => a = bk; c = dk. Ta có:
 = k2 (1)
 (2)
 Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.
 Cách 2: 
Từ: => , do đó (1)
 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 (2)
 Từ (1) và (2) Ta suy ra điều phải chứng minh.
 Cách 3: Xét tích ac(b2 + d2) và bd(a2 + c2), ta có:
 ac(b2 +d2) = ab2c+ acd2 =ab.bc + ad.cd (1)
 bd(a2+ c2) = a2bd + bc2d = ab.ad = bc.cd (2)
Mặt khác ta lại có: => ad = bc
 Kết hợp với (1) và (2) suy ra:
 ac(b2 +d2) = bd(a2+ c2). Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập tự giải
 Bài1. Cho bốn số khác không a1, a2 , a3, a4 thỏa mản điều kiện a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4. Chứng minh:
 Gợi ý cách giải: Từ điều kiện đã cho, áp dụng tính chất tỉ lệ thức để có được dãy tỉ số bằng nhau
Bài 2. Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c và .
Chứng minh bốn số đã cho lập thành một tỉ lệ thức.
 Gợi ý cách giải: Chỉ ra tồn tại đẳng thức ad = bc.
 Dạng 5: Một số bài toán thường quy về tỉ lệ thức để giải: Đối với dạng toán này ta thường tiến hành theo 3 bước đó là :
 -Xác định xem đây là bài toán tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch.
 -Xác định các đại lượng và dựa vào tính chất để lập tỉ lệ thức.
 -áp dụng các cánh giải đã nêu trên để tính các đại lượng phải tìm.
 Bài 1:Bài toán tỉ lệ thuận
 Ba lớp 7A, 7B, 7C có số học sinh giỏi phân bố theo tỉ lệ 3, 5, 7. Tính số học sinh gỏi của cả ba lớp, biết rằng lớp 7C có số học sinh giỏi nhiều hơn lớp 7A là 12 em.
Giải:
 Gọi số học sinh giỏi của các lớp 7A,7B, 7C lần lượt là x, y, z. Theo bài ra ta có:
 và z – x = 12
Từ: = => x = 3.3 = 9
 y = 5.3 = 15 
 z = 7.3 = 21
Vởy lớp 7A, 7B, 7C lần lượt có 9, 15, 21 học sinh giỏi và số học sinh giỏi ở cả 3 lớp là 9 + 15 + 21 = 45 (em).
Bài 2: Bài toán tỉ lệ thuận
 Biết rằng hiện giờ là 3 giờ, với giả thiết rằng các kim đồng hồ chạy đúng. Hãy tính xem sau bao nhiêu phút nữa thìkim phút đuổi kịp kim giờ.
 Giải:
Gọi x, y là số vòng mà kim phút và kim giờ đã quay được khi kim phút đuổi kịp kim giờ. Ta có x- y = vòng (1)
Mặt khác vì khoảng các tỉ lên thuận với khoảng cách mà vận tốc kim phút gấp 12 lần vận tốc kim giờ nên: (2) 
 Thay (1) vào (2) Tính được x = (vòng) ứng với (phút)
 Vậy sau phút thì kim phút đuổi kịp kim giờ.
Bài 3 Bài toán tỉ lệ nghịch
Một tàu thủy chậy từ bến sông A đến bến sông B vói vận tốc 20km/h và quay về A với vận tốc 24km/h. Thời gian cả đi lẫn về mất 5h30phút. Tìm chiều dài quãng sông từ A đến B.
Giải:
 Gọi Vận tốc V1 = 20 km/h và t1 là thời gian tàu thủy đi từ bến A đến bến B , vận tốc V2 = 24 km/h và thời gian t2 của tàu thủy đi tứ bến B về bến A.
 Ta có: V1t1 = V2t2 =>= 
 Ta có t1= V2 : = 24 : = 3 (h)
 Chiều dài quãng sông từ A đến B là:
 S = V1t1 = 20.3 = 60 (km).
 Các bài tập tự giải:
 Bài 1: Đội I có 10 công nhân mỗi người làm 18 ngày đào đắp được 648 m3 đất. Hỏi 8 công nhân của đội II mỗi người lam 25 ngày đào đắp được bao nhiêu m3 đất? (giả thiết rằng năng suất của mỗi công nhân là như nhau).
 Bài 2*: Lúc rời nhà đi học bạn Tùng xem giờ thấy kim đồng hồ chỉ hơn 1 giờ và khi đến trường thấy hai kim đồng hồ đã đổi vị trí cho nhau (trong thời gian này hai kim đồng hồ không chập với nhau lần nào). Tính thời gian Tùng đi từ nhà đến trường? Xác định thời điểm Tùng xuất phát từ nhà và đến trường?
 Bài 3: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau theo 2: 3: 4. Hỏi các chiều cao tương ứng của các cạnh trong tam giác đó tỉ lệ với nhau theo tỉ số nào?
e. Kết quả thực nghiệm:
 Sau một số năm chúng tôi đã cho tiến hành kiểm chứng trên các nhóm học sinh có lực học như nhau ở khối 7, thì nhóm học sinh khi học được phân dạng bài tập bao giờ cũng có kết quả bài làm tốt hơn về dung lượng, sáng sủa hơn về nội dung.
 Kết quả khảo sát năm hoc 2009-2010
 Khi chưa dạy phân loại bài tập:
Số học sinh
giỏi
Khá
tb
Yếu
kém
40
2
5
20
10
3
5%
12,5%
50%
25%
7,5%
Sau khi dạy phân loại bài tập:
Số học sinh
giỏi
Khá
tb
Yếu
kém
40
5
10
20
5
0
12,5%
25%
50%
12,5%
0%
g. bài học kinh nghiệm:
 Trong khi giảng dạy toán nói chung, đặc biệt là dạy các tiết luyện tập và bồi dưỡng học sinh giỏi thì việc phân dạng các bài tập là rất cần thiết, nó vừa gúp cho học sinh nắm bài một cách rõ ràng, vừa rèn luyện cho học sinh thói quen thường xuyên tổng hợp lại các đơn vị kiến thức đã học theo các nhiệm vụ, điều này không chỉ là một thói quen tốt trong học tập mà còn là một phẩm chất tốt trong cuộc sống.
*
***
 Trên đây chỉ là một phần nhỏ trong các dạng toán về tỉ lệ thức và các bài toán có liên quan thường gặp ở lớp 7 và một số kết quả thu được trong quá trình giảng dạy, chúng tôi xin được mạnh dạn trình bày, mặc dù đã cố gắng nhiều nhưng cắc chắn vẫn còn nhiều khiếm khuyết. Rất mong được sợ góp ý của các đồng nghiệp.
Tài liệu tham khảo:
 -Toán bồi dưỡng học sinh lớp 7 (Vũ Hữu Bình- Tôn Thân- Đỗ Quang Thiều)
 -Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 7 (Vũ Dương Thụy- Nguyễn Ngọc Đạm)
 -Tuyển tập 306 bài tập toán đại số lớp 7 (Phan Hoàng Ngân)
 -Một số vấn đề phát triển đại số 7 (Vũ Hữu Bình )
 Hoàn chỉnh ngày 14/4/2010