Chuyên đề Một số trao đổi về bài toán giá trị nguyên của biểu thức Đại số Lớp 8

một số trao đổi về
bài toán giá trị nguyên của biểu thức.
 Về bài toán tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên:
 Ta có thể giải như sau:
 1/ Tách phần nguyên: 
 Khi k là một hằng số; B là biểu thức nguyên của biến. Khi đó nhận giá trị nguyên B nhận giá trị là ước nguyên của k. Vì vậy ta cần tìm các ước ki của k và giải các phương trình B = ki rồi tìm các giá trị nguyên của biến. 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên? 
Giải: Ta có A = =.
 Khi x Z ta có x -1 Z, vậy A Z nhận giá trị nguyên
 x -1 nhận giá trị là ước nguyên của 3
 (thoả mãn x Z)
Vậy với x thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên ?
Giải : Ta có B = = 
 = 
 Khi x Z ta có x -5 Z , vậy AZ 
 x-5 nhận giá trị là ước nguyên của 3
 Vậy với x{ 6; 4; 8; 2 } thì biểu thức nhận giá trị nguyên .
2/ Một vấn đề đặt ra : khi phần dư không chỉ là một hằng số, mà phần dư là một biểu thức của biến, bậc nhỏ hơn bậc của B? 
 Khi đó ta viết . Do hiểu sai bản chất vấn đề nên một số học sinh cho rằng :
 nhận giá trị nguyên là phép chia A cho B có dư bằng 0, nên tiến hành giải phương trình: K = 0 để tìm giá trị của biến, vì vậy lời giải sai bản chất và thiếu nghiệm.
 Chúng ta phải hiểu đây không phải là bài toán chia hết của đa thức mà phải là : “giá trị của biểu thức A chia hết cho biểu thức B” nên phải tìm giá trị của biến để “giá trị của biểu thức K chia hết cho giá trị của B”.
 Khi đó với học sinh lớp 7, 8 các em có thể dùng tính chất chia hết của số nguyên để biến đổi bài toán về dạng 1
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 
 nhận giá trị nguyên
Giải : Giả sử tồn tại x Z để (x -1) (2x2+1)
 Z
Thử lại: với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị -1 Z
Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
 Lưu ý : Đối với cách làm này , ta nhất thiết phải có bước thử lại rồi mới kết luận vì trong quá trình làm ta đã dùng tính chất :
 a b a.c b (c Z ) mà a.c b có được a b chỉ khi (b,c) = 1.
 Với học sinh lớp 9 các em có thể dùng điều kiện có nghiệm của phương trình để tìm miền giá trị của biểu thức . Trên cơ sở đó tìm các giá trị nguyên có thể có của biểu thức.
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 
 nhận giá trị nguyên.
 Ta có: 
Với x Z ta có x2 - 1 Z nên để A Z thì phải nhận giá trị nguyên.
Giả sử y0 là 1 giá trị của biểu thức. Khi đó tồn tại x để 
 phương trình: 2x = y0 (x2+x+1) có nghiệm x.
 y0 x2 + (y0 - 2)x + y0 = 0 (1) có nghiệm
 +) Xét y0 = 0 phương trình có nghiệm x = 0
 +) Xét y0 0 phương trình có nghiệm = (y0 -2)2 - 4y0 0 - 2 y0 (y0 0)
Do đó điều kiện để phương trình có nghiệm là - 2 y0 
Những giá trị nguyên của y có thể đạt được là y { -2 ; -1 ; 0 } 
+) Với y = -2 ta có phương trình : 2x2 + 4x +2 = 0 x= -1 Z
+) Với y = -1 ta có phương trình : x2 +3x+1 = 0
 =9 - 4 = 5 không chính phương phương trình có nghiệm xZ (loại)
+) Với y = 0 x = 0 Z
Vậy x= 0 hoặc x= -1 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.
 Lưu ý: Khi giải bài tập tìm giá trị nguyên của phân thức theo phương pháp miền giá trị thì biểu thức ở mẫu là biểu thức nguyên không đổi dấu.
 Khi nói về miền giá trị của biểu thức ta có thể đề cập đến những bài toán sau:
Bài 1: Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên.
 ở bài này học sinh đọc lướt qua thấy thật là dễ ?
 Rất nhiều học sinh đã giải: và yêu cầu (x2 + x + 2) là ước của 2
 Mà quên mất rằng x R thì biểu thức x2 + x + 2 không phải lúc nào cũng có giá trị nguyên.
 ở đây x2 + x + 2 > 0 nên các em thử dùng miền giá trị để xét xem y có thể nhận những giá trị nguyên nào nhé!
 Giải : nhận giá trị nguyên khi 
 nhận giá trị nguyên . Mà x2 + x + 2 ≥ => 
 Vậy giá trị nguyên của là 1
 => x2 + x + 2 = 2 
 => x1 = 0 ; x2 = - 1
 Khi đó y1 = y2 = 1 + 1 = 2 
Vậy giá trị cần tìm của x là : 0 , -1 khi đó giá trị nguyên của y là 2 
Bài 2: Cho biểu thức C = 
 Rút gọn biểu thức
 Tìm x để C nhận giá trị nguyên.
 Ta dễ dàng thu được kết quả rút gọn C = ( x 0)
 Khi đó C = 1 - nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên. Mà x 0 nên
0 <. vậy các giá trị nguyên có thể có của là 1, 2, 3, 4.
 *) =1 x =3 khi đó C=0 
 *) =2 x = 1 khi đó C = -1
*) =3 x = khi đó C = -2
*) = 4x = 0 khi đó C = -3
 Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tương ứng của x là 3, 1, , 0.
 Ngoài việc tìm giá trị nguyên của biểu thức ra phải tìm miền giá trị của hàm số còn giúp cho chúng ta tìm cực trị của biểu thức.
 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: 
 Giải: Giả sử y0 là một giá trị của hàm số, tồn tại giá trị của x để 
 y0 =phương trình y0x2 - 4x +y0 = 0 có nghiệm
 *)Xét y0=0 phương trình có nghiệm x = 0.
 *)Xét y0 0 phương trình có nghiệm =4 -y02 0
 -2(y0 0)
 Vậy giá trị của y để phương trình có nghiệm là -2
 ymin = -2, ymax=2.
 áp dụng
Bài 1: Tìm x Z để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 2: Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên:
 a) 
 b) 
 b)
 d)
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
 a)
 b) 
 c)
 d)