Chuyên đề: ''Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học 8''

Trong hoạt động của mình, con người luôn luôn đối mặt với một câu hỏi tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một đối tượng hình học nào đó về độ dài, diện tích, bề mặt hoặc thể tích, Ngay trong tự nhiên, những hình có dạng đều, chúng mang những tính chất rất đặc biệt, trong nó chứa ẩn những tính chất “cực trị” mà các hình khác không có được như tam giác đều, hình vuông, lục giác đều hoặc hình tròn, khối cầu,.
Ngày nay những bài toán cực trị vẫn được quan tâm và nghiên cứu. Những phương pháp giải và các dạng bài tập này trong hình học rất đặc trưng và bắt nguồn từ lý thuyết cơ bản của toán học. Ở ta, những loại sách tổng kết lại những bài toán cực trị trong hình học còn hiếm, nhất là không hệ thống phương pháp giải và đưa ra một cách nhìn mới trong học tập, rất nhiều cuốn bài tập chỉ mang tính chất liệt kê không làm nổi bật những ý tưởng của đề toán và các phương pháp tiếp cận giải toán
Thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học”. Chuyên đề này chỉ giới thiệu về một số phương pháp tìm cực trị cơ bản thường gặp trong hình học phẳng và hình học vectơ. Trong mỗi phương pháp sẽ có các ví dụ minh họa. Và cuối cùng là phần bài tập tổng hợp với các bài tập giải bằng những phương pháp khác nhau. 
Trong quá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh. Vì vậy, chúng em mong thầy và các bạn thông cảm. Xin chân thành cảm ơn! 
Nhóm biên tập
Phạm Ngọc Xuân Đào
Nguyễn Thị Mỹ Huyền
Võ Thị Diễm Phí
Lê Thị Thu Thảo
Nguyễn Hòang Anh Thư
Trương Thanh Thư
Tóm tắt kiến thức :
Cực trị hình học : Cho biểu thức f phụ thuộc điểm X biến thiên trên miền D. Ta nói :
Phép toán vector: 
Phép cộng vector: 
* Quy tắc 3 điểm: 
* Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì 
Phép trừ vector:
 * Quy tắc: 
Tích vector với 1 số: 
 Cho số k ≠ 0 và . Tích vector a với số k là một vector kí hiệu , cùng hướng vector a nếu k > 0 và ngược hướng vector a nếu k < 0 và có độ dài bằng 
Tích vô hướng của hai vector : 
 Cho khác vector 0 . Ta có : 
Một số kí hiệu dùng trong tài liệu
: độ dài các cạnh BC, CA, AB của.
: độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của.
: độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của.
: bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp .
: bán kính các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C của.
Một số điểm đặc biệt trong tam giác
Điểm Lemoine:
Định nghĩa: Trên các cạnh BC, CA, AB của lấy các điểm tương ứng sao cho (các đường là các đường đối trung). Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm L gọi là điểm Lemoine.
Tính chất: Cho, L là điểm trong tam giác. Gọi H, K, N theo thứ tự là hình chiếu của L trên BC, CA, AB. Khi đó L là điểm Lemoine của khi và chỉ khi L là trọng tâm của khi và chỉ khi 
Điểm Toricelli: Cho có các góc đều nhỏ hơn . Khi đó tồn tại duy nhất điểm T có tính chất cùng nhìn các cạnh BC, CA, AB dưới các góc . Điểm T như vậy gọi là điểm Toricelli của .
Điểm Gergone: Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại . Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm J gọi là điểm Gergone.
Điểm Naghen: Các đường tròn bàng của tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại . Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm N gọi là điểm Naghen.
Phương pháp 1: Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc.
Ví dụ 1.1: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE= BF= CG= DH. Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Giải: 
rHAE= rEBF(c-g-c) HE= EF.
Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là hình thoi.
rHAE= rEBF còn suy ra 
 Ta lại có
 Do đó: . Như vậy hình thoi EFGH là hình vuông.
 Gọi O là giao điểm của AC và EG. Tứ giác AECG có AE= CG, AE// CG nên là hình bình hành, suy ra O là trung điểm của AC và của EG, do đó O là tâm của cà hai hình vuông ABCD và EFGH.
rHOE vuông cân: 
 Chu vi EFGH= 4.HE= .OE. Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất OE nhỏ nhất.
 Kẻ . Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: OE ³ OK( độ dài OK không đổi) nên OE= OK Eº K
 Do đó min OE= OK
 Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E, F, G, H là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
 óNhận xét về phương pháp giải: trong cách giải trên có các biến đổi tương đương sau:
 Chu vi EFGH nhỏ nhất HE nhỏ nhất OE nhỏ nhất.
 Quan hệ OE£ OK (OK không đổi) cho phép ta xác định vị trí của điểm E để OE có độ dài nhỏ nhất .
Ví dụ 1.2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Xáx định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Giải: Gọi K là giao điểm của CM và DB.
rMAC= rMBK(g-c-g) MC= MK.
rDCK có đường cao DM là trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra .
Kẻ . Do M thuộc tia phân giác cùa góc D nên: MH= MB= a. 
 Do CD³ AB= 2a và MH= a nên: 
 Khi đó .
 Vậy . Các điểm C, D được xác định trê Ax, By sao cho AC= BD= a
Ví dụ 1.3: Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Xác đ5nh vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng Ad có giá trị lớn nhất.
Giải: Gọi S là diện tích rABC. Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có:
 Kẻ ta có : nên BE+ CF = 
 Do đó BE + CF lớn nhất AD nhỏ nhất.
 Đường xiên AD nhỏ nhất hình chiếu HD nhỏ nhất.
 Ta có HD ³ HB ( do ) và HD = HB khi và chỉ khi DºB.
 Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình hành. Gọi B’, C’, D’, lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên đường thẳng d.
Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn nhất.
Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD.
 O’ là hình chiếu vuông góc của O trên d.
 DD’B’B là hình thang. 
Mà và O là trung điểm BD ( ABCD là hình bình hành)
 Do đó OO’ là đường trung bình của hình thang DD’B’B
 và O là trung điểm AC.( ABCD là hình bình hành)
 Do đó OO’ là đường trung bình cùa rACC’ 
 nên OO’£ OA. Do đó BB’ + CC’ + DD’ = 4.OO’£ 4.OA ( không đổi)
 Dấu “=” xảy ra O’ º Ad vuông góc AC tại A.
Phương pháp 2: Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc
Ví dụ 2.1: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Giải: 
 Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.
rAEF vuông tại A có AI là trung tuyến AI= 
M
 Tương tự MC= .
IK là đường trung bình của rEFG IK=.
 Tương tự KM= 
 Do đó: chu vi EFGH= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)
 Ta lại có: AI + IK + KM + MC ³ AC (so sánh độ dài đoạn thẳng và đường gấp khúc)
 Suy ra: chu vi EFGH ³ 2AC ( không đổi).
 Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC A, I, K , M, C thẳng hàng.
ó Nhận xét về phương pháp giải: bằng cách vẽ trung điểm các cạnh EF, GH, và trung điểm của đường chép EG, ta tính được chu vi của tứ giác EFGH bằng hai lần độ dài đường gấp khúc AIKMC, độ dài đường gấp khúc trên nhỏ nhất khi đường gấp khúc đó trở thành đoạn thẳng AC.
Ví dụ 2.2: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếprABC, tức là có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của tam giác ấy.
Giải: 
Cách 1: Xét tam giác MNP nội tiếp rABC một cách tùy ý ( M thuộc AB, N thuộc BC, P thuộc AC). Vẽ E, F sao cho AB là đường trung trực của NE, AC là đường trung trực của NF.
 Chu vi rMNP = NM + MP + PN = EM + MP + PF ³ EF
 Ta cần xét khi nào thì EF nhỏ nhất. Ta có 
rEAF là tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất.
EF nhỏ nhất AE nhò nhất AN nhỏ nhất 
 Như vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi N là chân đường cao kẻ từ A, còn M và P là giao điểm cùa EF với AB, AC.
 Ta có nhận xét rằng khi N là chân đường cao kẻ từ A thì M và P cũng là chân hai đường cao còn lại của tam giác.
 CM: 
Xét rHMP: AB là đường phân giác của góc EMH, AC là đường phân giác ngoài của góc FPH. Ta có AB, AC gặp nhau tại A nên HA là tia phân giác của góc MHP. Vì AH HC nên HC là đường phân giác ngoài tại đỉnh H. Theo trên AC là đường phân giàc ngoài tại đỉnh P, HC gặp AC tại C nên MC là tia phân giác góc trong tại đỉnh M. 
 MB và MC là các tia phân giác của các góc kề bù nên MB MC. Tương tự PC PB
 Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi M, N, P là chân ba đường cao của tam giác ABC. Do tam giác ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên của tam giác.
Cách 2: Lấy M, N, P tùy ý trên AB, BC, CA và nối tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với M, N, P.
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, S là diện tích tam giác.
 Khi đó: 
 Do OA = OB = OC = R nên 
 Do đó chu vi 
 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi OA MP, OB MN, OC NP. Ta sẽ CM rằng khi đó thì AN, BP, CM là các đường cao của tam giác ABC.
 Thật vậy, giả sử OA MP, OB MN, OC NP. Kẻ tiếp tuyến Ax. Ta có ( cùng bằng góc BAx). Chứng minh tương tự . Do đó suy ra . Như vậy MA là phân giác ngoài của tam giác MNP. Tương tự PA là đường phân giác ngoài tam giác MNP. Suy ra NA là đường phân giác của góc MNP. Ta lại có nên .
 Chứng minh tương tự . Tam giác MNP có chu vi nhò nhất khi và chỉ khi N, P, M là chân các đường cao của tam giác ABC.
Ví dụ 2.3: Cho tam giác đều ABC và trung điểm M của AB. Trước tiên An chọn một điểm N trên BC, tiếp đó Bình chọn một điểm P trên AC. Mục tiêu của An là muốn tổng d = MN + NP + PM lớn nhất, còn Bình muốn tổng d nhỏ nhất. Hỏi rằng nếu cả hai đều có cách chọn tốt nhất thì N và P là những điểm nào?
Giải Vẽ các điểm D, E sao cho AC là đường trung trực của MD, BC là đường trung trực của ME.
 Độ dài đường gấp khúc DPNE bằng d.
 Dễ thấy hoặc PN + NE < PB + BE hoặc PN + NE < PC + CE nên độ dài của đường gấp khúc DPNE không vượt quá độ dài của đường gấp khúc DPBE hoặc độ dài của đường gấp khúc DPCE. Vậy để d lớn nhất thì An phải chọn N trùng B hoặc C.
 Rõ ràng để tổng d nhỏ nhất thì Bình phải chọn P là giao điểm của ND và AC.
 Trong trường hợp An chọn N trùng B thì Bình chọn P là giao điểm của BD và AC, khi đó d = . Còn trong trường hớp An chọn N trùng C thì Bình chọn P là giao điểm của CD và AC, chính là C, khi đó d = .
Bây giờ ta so sánh và . Đặt MC = h thì = 2h (1). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt MP ở B’. Ta có BP = B’P nên :
 = MB + Bp + PM = MB + B’P + PM = MB +B’M > BB’ = 2h (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra .
Do cả hai người đều chơi tối ưu nên An chọn N trùng B để có tổng d lớn nhất, sau đó Bình chọn P là giao điểm của BD và AC. 
 Ví dụ 2.4: Cho hai điểm A và B nằm trong góc nhọn xOy. Xác định điểm M trên tia Ox, điểm N trên tia Oy sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhò nhất. 
Giải:
Vẽ các điểm A’, B’ sao cho Ox là đường trung trực của AA’, Oy là đường trung trực của BB’. Độ dài đường gấp khúc AMNB bằng AM + Mn + NB = A’M + MN + NB’ A’B’.
Độ dài đường gấp khúc đó nhỏ nhất trong trường hợp M, N nằm trên A’B’.
Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức trong đường tròn tìm cực trị
Ví dụ 3.1:Cho hai điểm A và B nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d, hai điềm M,N thuộc d và dộ dài MN không đổi. Xác định vị trí hai điềm M, N để dường gấp khúc AMNB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Dựng hình bình hành BNMB’Þ BB’= MN = a (không đổi); NB =MB’, B’ cố định.
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d. Ta có AM =A’M, A’ cố định.
Xét ba điểm A’, M, B’ ta có 
A’M + MB’≥ A’B’
 Do đó AM + MN + NB =A’M+ MN +MB’
=( A’M+ MB’) + MN ≥ A’B’+ a (không đổi)
Dấu bằng xảy ra Û M 
Ví dụ 3.2: Nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. M là điểm di động trên nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, gọi D,C Lần lượt là hình chiếu của A; B trên tiếp tuyến ấy.
Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.
Giải:
Ta có: AD ^ DC (gt), BC ^ DC (gt) Þ AD// BCÞABCD la hinh thang mà = 900 nên ABCD là hình thang vuông,
OM ^ DC nên OM // AD và O là trung điểm AB nên OM là đường trung bình của hình thang ABCD Þ
Do đó 
Vẽ AE ^ BC. Tứ giác ADCE là hình chữ nhật 
() Þ DC = EA 
= 900 Þ E thuộc đường tròn đường kính AB,
	 Þ AE là dậy cung của đường tròn (o)
	 Þ DC £ 2R (trong đường tròn đườn kính là dây lớn nhất)
Do đó (không đổi)
Dấu bằng xảy ra Û AE là đường kính cùa (O)
ÛOM ^ AB Û M là trung điểm của cung AB.
Ví dụ 3.3: Cho đường tròn (O;R) BC là dây cung cố định (BC2R). A là diểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhất
Giải:
 = AB + AC + BC (BC không đổi)
Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AC
Ta có DABC cân tại A Þ 
Mà không đổi Þ không đổi.
Mặt khác không đổi, BC cố định Þ D thuộc cung chứa góc có số đo của (O) dựng trên đoạn thẳng BC.
lớn nhất Û (AB + DC) max Û BD max Û BD là đường kính của cung chứa góc nói trên.
Khi đó = 900.
Mà = 900
 ( AC = AD)
Do đó Û Û A là trung điểm của cung lớn BC
Phương pháp 4: Áp dụng bất đẳng thức đại số tìm cực trị
Ví dụ 4.1: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn. Xác định vị trí M để MA + đạt giá trị lớn nhất.
Giải: (góc nội tíếp chắn nửa đường tròn)
Tam giác MAB có nên theo định lý Pitago ta có:
 Áp dụng bất đảng thức 
Ta có: 
 hằng số.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi là nủa tam giác đều
Ví dụ 4.2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Lấy điểm D trên cạnh BC ( D khác B,C ). Gọi lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD. Xác định vị trí của D để tích đạt giá trị lớn nhất.
Giải: Gọi O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC, là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD. Dễ thấy , . Vì > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : .
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
 Khi đó suy ra BK = CN. Suy tiếp ra BH = CM.
 Từ đó AH = AM. Vậy . Nên , kẻ . Dễ thấy I trùng J và 
 Từ đó KD = DN.
 Vậy D là trung điểm của BC thì tích đạt giá trị lớn nhất. Lúc đó A, O, D thẳng hàng.
Ví dụ 4.3: Cho đoạn thẳng BC cố định. A là điểm di động sao cho tam giác ABC nhọn. AA’ là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Xác dịnh vị trí A để AA’.A’H đạt giá trị lớn nhất
Giải 
Xét DA’BH và DA’AC có ( Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc )
Do đó DA’BH ~ DA’AC Þ HA’/A’C = A’B/ AA’ Þ A’A. HA’ = A’B. A’C,
Ta có : 
A’B,A’C = A’B(BC  A’B) = A’B. BC –A’B2 
 = 
Vậy AA’. HA’ £ (không đổi)
Dấu bằng xảy ra Û = AB
ÛA’ là trung điểm BC Û A thuộc trung trực của BC 
Vì DABC nhọn nên A nằm ngoài đường tròn đường kính BC.
Phương pháp 5: Ứng dụng diện tích tìm cực trị
Ví dụ 5.1: Hãy tìm trong tam giác ABC một điểm M sao cho tích các khoảng cách từ M đến ba cạnh có giá trị lớn nhất.
Giải: Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ m đến ba cạnh BC, AC, AB; tương ứng là đường cao xuất pháp từ các đỉnh A, B, C. Ta có: 
 Như vậy, các số có tổng không đổi, do đó tích lớn nhất (cũng có nghĩa là x.y.z lớn nhất) khi và chỉ khi: .
Khi đó M là trọng tâm tam giác ABC.
Ví dụ 5.2: Cho điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB. Vẽ các tam giác đều AMC và BMD về một phía của AB. Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều trên là nhỏ nhất.
Giải: 
Cách 1: Gọi K là giao điểm AC và BD. Các tam giác AMC, BMD đồng dạng với tam giác AKB.
Đặt AM = x, AB = a, .
Ta có: nên 
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x = y
Do đó: M là trung điểm của AB
Cách 2: Ta có 
M là trung điểm của AB.
Ví dụ 5.3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 12 cm, E là trung điểm của CD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho CF = 4 cm. Các điểm G và H theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và AD sao cho GH // EF. Xác định vị trí của điểm G sao cho tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Giải:Đặt , BG = x và kí hiệu như hình vẽ.
đồng dạng 
 =144-
 =
 =
 =
maxS = 75 khi và chỉ khi x = 3
Diện tích lớn nhất của tứ giác EFGH là 75 với BG = 3cm.
Ví dụ 5.4: Cho hình vuông ABCD có AB = 6m, điểm E nằm trên cạnh AB sao cho AE = 2m. Xác định vị trí điểm F trên cạnh BC sao cho hình thang EFGH ( G thuộc cạnh CD, H thuộc cạnh AB và EH // GF // BD) có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Giải: Đặt BF = x, . 
Ta có:
MaxS = 18 khi và chỉ khi x = 2
Vậy BF = 2m. Khi đó