Chuyên đề Một số phương pháp phân tích đa thức một biến thành nhân tử

Chuyên đề: một số phương pháp phân tích đa thức 
một biến thành nhân tử.
Các phương pháp:
Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Thêm, bớt cùng một hạng tử.
Đổi biến số.
Hệ số bất định.
Xét giá trị riêng (Đối với một số đa thức nhiều biến).
I) Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
	Đối với các đa thức mà các hạng tử không có nhân tử chung, khi phân tích ra nhân tử 	ta thường phải tách một hạng tử nào đó ra thành nhiều hạng tử khác để nhóm với các 	hạng tử đã có trong đa thức để cho trong các nhóm có nhân tử chung, từ đó giữa các 	nhóm có nhân tử chung mới hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức quen thuộc.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	f(x) = 2x2 - 3x + 1.
Giải:
	Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: -3x = -2x - x.
	Ta có f(x) = (2x2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1).
	Cách 2: 
 	Ta có f(x) = (x2 - 2x + 1) + (x2 - x) = (x - 1)2 + x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x]
	= (x - 1)(2x - 1).
Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ra nhân tử, ta tách hạng 	tử bx 	thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac
Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
4x2 - 4x - 3;
2x2 - 5x - 3;
3x2 - 5x - 2;
2x2 + 5x + 2.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	f(x) = x3 - x2 - 4.
Giải:
	Ta lần lượt kiểm tra với x = ±1; ±2; ±4 ta thấy f(2) = 0.
	Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử x - 2.
	Từ đó: f(x) = x3 - x2 - 4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + (2x - 4)
	 = x2(x - 2) + x (x - 2) + 2 (x - 2)
	 = (x - 2)(x2 + x + 2).
Tổng quát: Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 +  + a1x + a0 có nghiệm nguyên là 
 x = x0 thì x0 là một ước của hệ số tự do a0, khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có
 chứa nhân tử x - x0. Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy
 một nghiệm của nó để định hướng việc phân tích ra nhân tử.
Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
x3 + 2x - 3;
x3 - 7x + 6;
x3 - 7x - 6; (Nhiều cách)
x3 + 5x2 + 8x + 4;
x3 - 9x2 + 6x + 16;
x3 - x2 - x - 2;
x3 + x2 - x + 2;
x3 - 6x2 - x + 30.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5.
Giải:
	Theo ví dụ 2, ta thấy các số ±1; ±5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy đa thức 	không có nghiệm nguyên, tuy vậy đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác.
	Ta chứng minh được điều sau đây:
Tổng quát: Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 +  + a1x + a0 có nghiệm hữu tỉ là 
 x = (dạng tối giản) thì p là một ước của hệ số tự do a0 còn q là ước dương của 
 hệ số cao nhất an. Khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx - p.
	Trở về ví dụ 3: Xét các số , ta thấy là nghiệm của đa thức, do đó khi 	phân tích ra nhân tử, đa thức chứa nhân tử 3x - 1.
	Từ đó: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = (3x3 - x2) - (6x2 - 2x) + (15x - 5) 
 	 = x2(3x - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1)
	 = (3x - 1)(x2 - 2x + 5).
Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
6x2 - x - 1;
6x2 - 6x - 3;
15x2 - 2x - 1;
2x3 - x2 + 5x + 3;
2x3 - 5x2 + 5x - 3
2x3 + 3x2 + 3x + 1;
3x3 - 2x2 + 5x + 2;
27x3 - 27x2 + 18x - 4;
Đáp số:
(2x - 1)(3x + 1);
(2x + 3)(3x - 1);
(3x + 1)(5x - 1);
(2x + 1)(x2 - x + 3);
(2x - 3)(x2 - x + 1);
(2x + 1)(x2 + x + 1);
(3x + 1)(x2 - x +2);
(3x - 1)(9x2 - 6x + 4);
II) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
	Mục đích: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có trong đa thức 	nhằm xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức, đặc biệt là xuất 	hiện hiệu của hai bình phương.
III) Phương pháp đổi biến:
	Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc thấp hơn để thuận 	tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tich ra nhân tử đối với đa thức mới, 	thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ.
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128.
Giải:
	Ta có: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128.
	Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức trở thành:
	f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y - 4)(y + 4)
	 = (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8).
Ví dụ 4’: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.
Giải:
 Cách 1: f(x) = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2.
	 = (x2 + 3x - 1)2.
 Cách 2: Giả sử x ≠ 0; Ta có:
	f(x) = x2(x2 + 6x + 7 - ) = x2[(x2 + ) + 6(x - ) + 7].
	Đặt x - = y, suy ra: x2 + = y2 + 2. Do đó đa thức trở thành:
	f(x; y) = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
	 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1) 2.
Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
(x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15;
(x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12;
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24;
x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;
(x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4;
(x2+y2+z2)(x+y+z)2 + (xy+yz+zx)2;
A = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.
Đáp số:
Đặt x2 + x = y. Ta phân tích được thành: (x2 + x - 5)(x2 + x + 3).
Đặt x2 + x + 1 = y. Đáp số: (x2 + x + 5)(x+2)(x-1).
Biến đổi thành: (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24;
 Đặt x2 + 7x + 11 = y. Đáp số: (x2 + 7x + 16)(x + 1)(x + 6).
Đặt x + y = z. Đáp số: (x + y + 3)(x + y -4)
Đặt x2 + 5ax + 5a2 = y. Đáp số: (x2 + 5ax +5a2)2.
Đặt x2+y2+z2 = a; xy + yz + zx = b. Ta được: a(a + 2b) + b2 = (a + b)2 = 
Đặt các biểu thức đối xứng: x4 + y4 + z4 = a; x2 + y2 + z2 = b; x + y + z = c.
 Ta có: A = 2a - b2 -2bc2 + c4 = (2a - 2b2) + (b2 - 2bc2 + c4) = 2(a - b2) + (b - c2)2.
 Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy + xz + yz).
 Ta được M = -4(x2y2 + x2z2 + y2z2) + 4(xy + xz + yz)2
 = 8x2yz + 8xy2z + 8xyz2 = 8xyz(x + y + z). 
IV) Phương pháp hệ số bất định: 
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.
Giải: 
	Nhận xét: Các số ±1; ±3 không phải là nghiệm của đa thức f(x) nên đa thức không 	có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu f(x) phân tích được 	thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), với a, b, c, d ẻ Z.
	Khai triển dạng này ra ta được đa thức: x4 + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd. 	Đồng nhất đa thức này với 	f(x) ta được hệ điều kiện:
	Xét bd = 3, với b, d ẻ Z, b ẻ {±1; ±3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trở thành:
	Từ đó tìm được: a = -2; c = -4. Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1).
	Ta trình bày lời giải như sau:
	f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3)
	 = x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)
	 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x +3).
Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử, dùng phương pháp hệ số bất định:
4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1;
x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1;
x4 - 8x + 63;
(x+1)4 + (x2 + x +1)2.
Đáp số:
(2x2 + x + 1)2. Có thể dùng phương pháp tách: 5x2 = 4x2 + x2.
(x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1).
(x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9).
(x2 + 2x + 2)(2x2 + 2x +1).
 Cách khác: (x+1)4 + (x2 + x +1)2 = (x+1)4 + x2(x +1)2 + 2x(x + 1) + 1
 = (x + 1)2[(x + 1)2 + x2] + (2x2 + 2x + 1)
 = (x2 + 2x + 1)(2x2 + 2x + 1) + (2x2 + 2x + 1)
 = (2x2 + 2x + 1)(x2 + 2x +2).
V) Phương pháp xét giá trị riêng: 
	(Đối với một số đa thức nhiều biến, có thể hoán vị vòng quanh)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Giải: 
	Nhận xét: Nếu thay x bởi y thì P = 0, nên P chia hết cho x - y
	Hơn nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi (Ta nói đa thức P 	có thể hoán vị vòng quanh). Do đó: P chia hết cho x - y thì P cũng chia hết cho 
	y - z và z - x.
 	Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có bậc 3 	đối với tập hợp các biến, còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp 	các biến.
	Ta có: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) đúng với mọi x, 	y, z ẻ R nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong. 
	Chú ý: Các giá trị của x, y, z ta có thể chọn tuỳ ý, chỉ cần chúng đôi một khác 	nhau để tránh P = 0 là được.
	Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*), ta tìm được a = - 1
	Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z).
Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
	Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b). 
Giải: 
	Nhận xét: với a = 0 thì Q = 0, cho nên a là một nhân tử của Q. Do vai trò bình đẳng 	của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến 	nên Q = k.abc.
	Chọn a = b = c = 1 được k = 4. Vậy Q = 4abc.
Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (173):
4x4 - 32x2 + 1;
x6 + 27;
3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2;
(2x2 - 4)2 + 9;
Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (174):
	a) 4x4 + 1; 	b) 4x4 + y4; 	c) x4 + 324.
Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (175):
x5 + x4 + 1;
x5 + x + 1;
x8 + x7 + 1;
x5 - x4 - 1;
x7 + x5 + 1;
x8 + x4 + 1;
Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (176):
	a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; 	b) * x3 + 3xy + y3 - 1.
Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (172):
	A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc bằng cách đổi biến: đặt a + b = m, a - b = n.
Bài tập 6**: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (178):
	a) x8 + 14x4 + 1;	 b) x8 + 98x4 + 1.
Bài tập 7: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính 	phương. (180)
Bài tập 8*: Chứng minh rằng: số A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương 
	khác 1 với mọi số n nguyên dương. (181)
Bài tập 9: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho khi phân tích đa thức (x + a)(x - 4) - 7 ra 	nhân tử ta được (x + b)(x + c). 
Bài tập 10: Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho khi phân tích đa thức x3 + ax2 + bx2 + c thành 	nhân tử ta được (x + a)(x + b)(x + c). 
Bài tập 11:(184)Số tự nhiên n có thể nhận bao nhiêu giá trị, biết rằng khi phân tích đa thức 
	x2 + x - n ra nhân tử ta được (x - a)(x + b) với a, b là các số tự nhiên và 1 < n < 100 ?
Bài tập 12: (185)Cho A = a2 + b2 + c2, trong đó a và b là hai số tự nhiên liên tiếp và c = ab.
	CMR: là một số tự nhiên lẻ.