Chuyền đề môn Toán Lớp 12 - Những sai lầm khi giải toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

 NHệếNG SAI LAÀM KHI GIAÛI TOAÙN TèM 
GIAÙ TRề NHOÛ NHAÁT VAỉ GIAÙ TRề LễÙN NHAÁT
A-Muùc Tieõu:
-Cung Caỏp cho HS traựnh nhửừng sai laàm khi tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt,giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa bieồu thửực.
-Naộm vửừng caực phửụng phaựp vaứ linh hoaùt tửứng daùng toaựn .
-Vaọn duùng caực phửụng phaựp vaứo giaỷi toaựn cửùc trũ.
B-Noọi dung:
I-ẹũnh nghúa giaự trũ lụựn nhaỏt giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực:
-ẹũnh nghúa 1:
Cho bieồu thửực f(x,y,) xaực ủũnh treõn mieàn D .ta noựi M laứ giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa f(x,y,) treõn D neỏu hai ẹK treõn ủaõy ủửụùc thoaừ maừn :
+Vụựi moùi x,y,thu6oùc D thỡ f(x,y,) M vụựi M laứ haống soỏ .
+Toàn taùi x0,y0,thuoọc D sao cho f(x0,y0,) = M
-ẹũnh nghúa 2:
Cho bieồu thửực f(x,y,) xaực ủũnh treõn mieàn D .ta noựi N laứ giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa f(x,y,) treõn D neỏu hai ẹK treõn ủaõy ủửụùc thoaừ maừn :
+Vụựi moùi x,y,thu6oùc D thỡ f(x,y,) vụựi N laứ haống soỏ .
+Toàn taùi x0,y0,thuoọc D sao cho f(x0,y0,) = N
II_Caực Haống baỏt ủaỳng thửực caàn nhụự
a2 0 Toồng quaựt a2k 0 (k nguyeõn dửụng) ẹaỳng thửực xaồy ra khi a = 0
a2 0 Toồng quaựt a2k 0 (k nguyeõn dửụng) ẹaỳng thửực xaồy ra khi a = 0
{a{ 0 ẹaỳng thửực xaồy ra khi a = 0
–{a{ a {a{ ẹaỳng thửực xaồy ra khi a = 0
{a+b{ {a{+{b{ ẹaỳng thửực xaồy ra khi ab 0
a2+b2 2ab ẹaỳng thửực xaồy ra khi a = b
.Vụựi a,b 0(BẹT Coõ si) ẹaỳng thửực xaồy ra khi a= b
a b , ab > 0 => ẹaỳng thửực xaồy ra khi a= b
 Vụựi ab >0 ẹaỳng thửực xaồy ra khi a= b
 Vụựi ab >0 ẹaỳng thửực xaồy ra khi a= b
(am+bn)2 (a2+b2)(m2+n2) ẹaỳng thửực xaồy ra khi (BẹT Bu nhi a coõp xki)
III-Nhửừng sai laàm thửụng gaởp trong giaỷi toaựn cửùc trũ:
1-sai laàm trong chửựng minh ẹK 1:
VD1:Tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa bieồu thửực P 
Lụứi giaỷi sai:
Phaõn thửực tửỷ thửực coự giaự trũ khoõng ủoồi neõn P coự giaự trũ lụựn nhaỏt khi maóu coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt 
Ta coự :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 8
Min(x2- 6x +17) = 8 x = 3. Vaọy MaxP = x = 3
Phaõn tớch sai laàm :Tuy ủaựp soỏ khoõng sai nhửng laọp luaọn laùi sai ,vỡ : “Phaõn thửực tửỷ thửực coự giaự trũ khoõng ủoồi neõn P coự giaự trũ lụựn nhaỏt khi maóu coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt” maứ chử ủửa ra nhaọn xeựt tửỷ vaứ maóu ủeàu laứnhửừng bieồu thửực coự gioaự trũ dửụng.
Ta ủửa ra moọt phaỷn vớ duù:
Xeựt bieồu thửực A = Vụựi laọp luaọn nhử treõn: A = “Phaõn thửực tửỷ thửực coự giaự trũ khoõng ủoồi neõn A coự giaự trũ lụựn nhaỏt khi maóu coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt”Nghúa laứ A coự giaự trũ lụựn nhaỏt x2 – 4 coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt .Maứ x2 – 4 coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt laứ -4 x = 0 .Neõn A coự giaự trũ lụựn nhaỏt laứ x =0 .ẹieàu naứy khoõng ủuựng .Vỡ Khoõng phaỷi laứ giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa bieồu thửực A .chaỳng haùn vụựi x =3 thỡ A = 
Lụứi giaỷi ủuựng: Ta coự :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 8 .Tửỷ vaứ maóu cuỷa P ủeàu laứ bieồu thửực coự giaự trũ dửụng .=> P > 0 ,do ủoự P coự giaự trũ lụựn nhaỏt Coự gia 1trũ nhoỷ nhaỏt x2- 6x +17 coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt.
VD2: 
Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa A = (x-1)2 + (x-3)2
Lụứi giaỷi sai:ta coự (x-1)2 0(1) ; (x-3)2 0(2) .Neõn A coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt laứ 0.ta khoõng theồ keỏt luaọn nhử vaọy .vỡ khoõng theồ xaồy ra ủaỳng thửực ủoàng thụứi cuỷa (1) vaứ (2)
VD3: Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa A= .Vụựi x,y,z > 0 
Lụứi giaỷi sai:
Giaỷ sửỷ :xy z > 0 .=> x-z 0 => y(x-z) z (x-z) => xy-yz+z2 xz
Chia hai veỏ cho soỏ dửụng xz: Ta coự :1(1) .Maởt khaực ,ta coự (2).Coọng (1) vụựi (2): 3.Vaọy Min A = 3 x = y = z
Phaõn tớch sai laàm :Khi hoaựn vũ voứng quanh thỡ A trụỷ thaứnh .Tửực laứ bieồu thửực khoõng ủoồi .ẹieàu ủoự cho pheựp taủửụùc giaỷ sửỷ x laứsoỏ lụựn nhaỏt (hoaởc laứ soỏ nhoỷ nhaỏt),nhửng khoõng cho pheựp giaỷ sửỷ x yz.Thaọt vaọy sau khi choùn x laứ soỏ lụn nhaỏt (x y,xz) thỡ vai troứ cuỷa y vaứ z laùi khoõng bỡnh ủaỳng :giửừ nguyeõn x thay y bụừi z thay z bụừi y ta ủửụùc ,khoõng baống bieồu thửực A.
(Ta ủửa ra moọt vớ duù khaực cho pheựp ủửụùc giaỷ sửỷ x yz.Chaỳng haùn :B = x2+ y2+z2+xy+xz+yz.Sau khi choùn x laứ soỏ lụựn nhaỏt thỡ vai troứ cuỷa y vaứ z laứ bỡnh ủaỳng :Giửừ nguyeõn x thay y bụừi z ,thay z bụừi y ta ủửụùc : x2+ y2+z2+xy+xz+yz, vaón baống B)
Caựch giaỷi ủuựng :
Caựch 1:AÙp duùng baỏt ủaỳng thửực Coõ si cho ba soỏ dửụng x,y,z:
A= .
Do ủoự min() = 3Khi vaứ chổ khi:,tửực laứ x = y = z
Caựch 2:Ta coự = .Ta ủaừ coự :(Do x,y>0)Neõn ủeồ chửựng minh Chổ caàn chửựng minh :(1)
 xy+z2-yzxz(Nhaõn hai veỏ vụựi soỏ dửụng xz)
xy+z2-yz-xz0
y(x-z)-z(x-z) 0
(x-z)(y-z) 0(2)
(2)ủuựng vụựi giaỷ thieỏt raống zlaứ soỏ nhoỷ nhaỏt trong ba soỏ x,y,z do ủoự (1) ủuựng .
Tửứ ủoự tỡm ủửụùc giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa 
VD3:Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa A = x2+y2 bieỏt x+y =4
Lụứi giaỷi sai:Ta coự x2+y22xy
Do ủoự A coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt x2+y2=2xy x=y=2 Khi ủoự MinA = 22+22= 8
Phaõn tớch sai laàm :ẹaựp soỏ khoõng sai tuy nhieõn laọp luaọn sai laàm .Ta mụựi chửựng minh f(x,y) g(x,y) Chửự chửa C/m ủửụùc f(x,y) M Vụựi M laứ haống soỏ .
	Ta ủửa ra moọt vớ duù :Vụựi laọp luaọn nhử treõn tửứ baỏt ủaỳng thửực ủuựng :x2 4x-4 seừ suy ra :x2 nhoỷ nhaỏt x2 = 4x-4 (x-2)2 = 0 x=2 ủi ủeỏn Min x2 = 4 x=2
Deó thaỏy keỏt quaỷ ủuựng phaỷi laứ minx2 = 0 Khi vaứ chổ khi x = 0
Caựch giaỷi ủuựng :Ta coự x+y = 4 => x2+2xy+y2 = 16 (1)
Ta laùi coự (x-y)2 0 => x2-2xy +y2 0(2)
Tửứ (1) vaứ (2) : 2(x2+y2) 16 => x2+y28
Min A = 8 Khi vaứ chổ khi x= y= 2
2.Sai laàm trong chửựng minh ủieàu kieọn 2: 
VD1:Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa A= x+
Lụứi giaỷi sai:
A= x+= 
Vaọy MinA = 
Phaõn tớch sai laàm :
Sau khi chửựng minh f(x) ,chửa chổ trửụứng hụùp xaỷy ra f(x) = .Xaỷy ra daỏu baống khi vaứ chổ khi ,voõ lyự .
Lụứi giaỷi ủuựng :ẹeồ toõn taùi phaỷi coự x 0
Do ủoự A= x+0
MinA = 0 Khi vaứ chổ khi x = 0
VD2:Tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Vụựi x,y.z 0 vaứ x+y+z = 1
Lụứi giaỷi sai:AÙp duùng baỏt ủaỳng thửực 4ab :
4(x+y).z
4(x+z).y
4(z+y).x
Nhaõn tửứng veỏ (do khoõng aõm)
64xyz(x+y)(y+z)(z+x) 1
Max A = 
Phaõn tớch sai laàm :Sai laàm ụỷ choó chửa chổ ra ủửụùc trửụứng hụùp xaỷy ra daỏu ủaỳng thửực .ẹieàu kieọn ủeồ A =laứ 
Caựch giaỷi ủuựng :AÙp duùng baỏt ủaỳng thửực coõ si cho ba soỏ khoõng aõm :
1= x+y+z (1)
2= (x+y)+(y+z)+(z+x) (2)
Nhaõn tửứng veỏ (1) vụựi (2) (do hai veỏ ủeàu khoõng aõm ):
2
Max A = 
VD3:Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa A= vụựi x > 0 ,a,b laứ caực haống soỏ dửụng cho trửụực.
Lụứi giaỷi sai:Ta coự x+a(1)
	 x+b(2)
Do ủoự : 	.MinA = 4
Phaõn tớch sai laàm:Chổ xaồy ra A = Khi ụỷ (1) vaứ ụỷ (2)xaồy ra daỏu ủaỳng thửực ,tửực laứ x = a vaứ x = b.Nhử vaọy ủoứi hoỷi a= b .Neỏu a b thỡ khoõng coự ủửụùc A = 
Caựch giaỷi ủuựng :Ta thửùc hieọn pheựp nhaõn vaứ taựch ra caực haống soỏ :
A=
Ta laùi coự :(baỏt ủaỳng thửực coõsi)
Neõn A 
Min A =
VD4:Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa A= 2x+3y bieỏt 2x2+3y2 5
Lụứi giaỷi sai:Goùi B= 2x2+3y2 ta coự B5
Xeựt A+B = 2x+3y +2x2+3y2
	= 2(x2+x)+3(y2+y)
	=2(x+1/2)2+3(y+1/2)2-5/4(1)
Ta laùi coự B5 neõn -B -5
Coọng (1)vụựi (2):A minA =
Phaõn tớch sai laàm :Sai laàm ụỷ choó vụựi x= y= -,chổ coự xaỷy ra daõu “=” ụỷ (1),coứn daỏu “=” ụỷ (2) khoõng xaỷy ra . Thaọt vaọy vụựi x = y = -thỡ :
B= 2.Do ủoự –B 
Caựch giaỷi ủuựng:
Ta xeựt bieồu thửực phuù:A2 = (2x+3y)2
AÙp duùng baỏt ủaỳng thửực Bunhiacoõpxki
Ta coự : A2 = (2x+3y)2 =
=(2+3)(2x2+3y2)
A2 = 25 .Do A2 neõn -5 
Min A = -5 
Max A = 5
 GV:Nguyễn Thị Duyờn
*******************************************