Chuyên đề Khai thác một bài toán Hình học Lớp 8 - Năm học 2006-2007 - Đỗ Văn Dương

Một cách khai thác từ 
một bài toán hình cơ bản
Đặt vấn đề.
 - Trong chương trình toán THCS thì hình học là môn học khó đòi hỏi có óc tưởng tượng phong phú, tư duy sáng tạo do đó chỉ các em học khá mới thích học còn một số em học trung bình, yếu thường né tránh và không chuyên tâm nên khó nắm chắc các bài toán cơ bản. Khi giáo viên thay đổi dữ kiện từ bài toán cơ bản để được bài toán khác.
 - Để khắc phục và rèn luyện tư duy sáng tạo, chứng minh lô gíc đồng thời kích thích hứng thú trong học tập và yêu thích môn hình tôi thấy từ bài toán cơ bản cụ thể đưa ra một số bài toán khác để các đồng chí tham khảo.
Những ví dụ cụ thể.
1, Bài toán cơ bản: Cho tứ giác ABCD các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Chứng minh: Tứ giác MNPQ là hình bình hành
	A	M	 B
	Q	N
	D	C
	P
GV: Dựa vào dấu hiệu nào để chứng minh ◊ MNPQ là HBH ? Nêu các cách chứng minh tứ giác trên là hình bình hành.
◊MNPQ là hình bình hành
 MN// PQ, MN=PQ
 MN//AC, MN= AC 
 PQ//AC, PQ=AC
 (MN, PQ là đường trung bình của ABC, ADC)
	MA = MB, NC = NB
	QA = QD, PD = PC
 GV: Hướng dẫn kẻ đường chéo AC và BD
 2, Khai thác bài toán.
 Bài toán 1:
a, Tứ giác ABCD cần điề kiện gì để MNPQ là hình thoi.
b, Điều kiện của ABCD để MNPQ là HCN, hình vuông.
GV:Hbh MNPQ khi nào là hình thoi.
 MN=MQ
 MN=AC, MQ=BD
 	AC= BD( tứ giác ABCD có hai dường chéo bằng nhau)
 * Hình chữ nhật MNPQ 
Hình bình hành MNPQ
 PNM = 900 
 MN NP
	MN // AC, NP //PD
	AC BD
* MNPQ là hình vuông 
MNPQ là hình thoi, PNM = 900, MNPQ là hình chữ nhật 
 MP NQ 
 MN = MQ 
 AC BD 
 AC = BD, AC BD 
Bài toán 2: Nếu ◊ABCD có AD=BC, M, N, P, Q là trung điểm AB, AC, DC, DB chứng minh ◊MNPQ là hình thoi.
	A	M
	B
	Q	 N
	D	P	C
◊MNPQ là hình thoi
◊MNPQ là hbh và MN=MQ
 MN//PQ( cùng//BC ) MN = 1/2 BC, MQ = 1/2AD 
 MN= PQ(=BC ) BC = AD (gt) 
( MN, PQ là đường trung bình của ABC,BCD )
Tứ giác MNPQ có MN=MQ=PQ=NP
MN=BC, PQ=BC.
MQ=AD, NP=AD
AD=BC (giả thiết)
Bài toán 3: Tứ giác ABCD( AD=BC), N, M, P, Q là trung điểm AB, AC, CD, BD. Đường thẳng NQ cắt AD, PC tại I, K.
 A M
	B
	K
	Q	 N
	I
	D	P	C
Chứng minh: AIK=BKI.
GV: Chứng minh hai góc trên bằng nhau dựa vào góc trung gian nào?
 AIK=BKI
 AIK=INP (so le trong)
 BKI=PQK (so le trong)
 NP//AD, PQ//BC, QPN cân.
Chứng minh: MNQP là hình thoi.
 MNPQ là hình bình hành, MN = MQ 
 MQ = NP, MQ // NP 
MQ//AD, MQ = 1/2 AD (Theo T/c đường trung bình trong tam giác)
NP // AD, NP = 1/2 AD (Theo T/c đường trung bình trong tam giác)
Bài toán 4: Cho ABC lấy P thuộc AB, Q AC, E, F, M, N là trung điểm của BC, PQ, PC, BQ.
Chứng minh: Tứ giác MENE là hình bình hành.
Xét BCP có MP = MC (GT) 
 EB = EC (GT)
ME là đường trung bình.
Nên: ME // BP (1)
Tương tự: Có NF là đường trung bình của BQP.
Nên: NF// BP (2).
Từ (1) và (2) => ME // NF
Xét CPQ có FP = FQ (GT)
 MP = MC(GT)
MF là đường trung bình.
Nên: MF // QC (3)
Tương tự: Có EN là đường trung bình của CBQ.
Nên: EN // QC (4) 
Từ (3) và (4) => EN // MF.
Vậy tứ giác MENF là hình bình hành.
* Ta cũng có thể chứng minh ME //NF.
 ME = NF.
Ta có ME là đường trung bình của BCP.
Nên ME //BP và ME = BP 
Tương tự có: NF là đường trung bình của BQP.
Nên NE // BP và NF = BP.
Từ đó suy ra: MENF là hình bình hành.
*GV: Khai thác bài toán.
Nếu BP = CQ thì MENF là hình gì ?
Chứng minh: Ta có ME = BP 
 	 MF = CQ (Theo chứng minh trên)
Mà: BP = CQ (Theo giả thiết)
=>ME = MF 
Hình bình hành: MENF => MENF là hình thoi.
 Có ME = NF
* Nếu cho góc ABC = 800, góc ACB = 400
Tính các góc hình thoi.
Bài giải:
Xét tam giác ABC: Có BAC = 1800 - ABC + ACB = 1800 = (800 + 400) 
 = 600
Mà MENF là hình thoi.
Góc MFN = góc BAC = 600
ENF = EMF = 1200 
Bài số 5: Cho tam giác ABC lấy M thuộc AB sao cho AM = AB
 Lấy N thuộc AC sao cho AN = AC
Chứng minh: MN // BC 
Bài giải: 
Lấy D, E lần lượt là trung điểm của MB, NC.
Ta có: DM = DB = MB
 NE = EC = NC
Mà AM = AB, AN = AC
=>AM = MD = DB 
 AN = NE = EC
Xét tam giác ADE có MN là đường trung bình.
Nên MN // DF, MN = DE
Gọi F là giao điểm của BN và DE 
Tam giác BMN có DF // MN 
 MD = DB
=>BF = FN 
 Xét BNC có BF = FN
 NE = EC
 Suy ra EF là đường trung bình.
 Suy ra EF // BC hay DE // BC.
 Từ DE // BC
 Mà MN // DE 
 Suy ra MN//BC
* GV: Khai thác: Lấy D đối xứng N qua M.
 Lấy Q đối xứng M qua N
Chứng minh tứ giác BCQP là hình bình hành.
 Bài giải.
Ta có P đối xứng N qua M ( gt)
Q đối xứng M qua N (gt)
 Suy ra 4 điểm P, M, N, Q thẳng hàng.
 Mà MN // BC suy ra PQ // BC (*)
Ta lại có MN = 1/2 DE
 Mà DE = (MN + BC)/2
Suy ra MN = 1/3 BC (1)
Theo tính chất đối xứng ta được PM = MN = NQ hay PQ = 3MN (2)
Từ (1) và (2) suy ra PQ = BC
 Theo (*) có PQ // BC
Suy ra BCQP là hình bình hành ( dấu hiệu 3)
*) Giáo viên khai thác bài toán.
 Các cạnh AB, AC của ABC có điều kiện gì để tứ giác BCQP là hình chữ nhật.
 Tứ giác BCQP là hình chữ nhật suy ra góc P = góc Q = 900.
Dẫn đến BM = CN do đó AB = AC.
GV: Từ bài toán cơ bản đầu tiên ta có thể thay đổi tiếp dữ kiện cho phù hợp để được một số bài toán khác nữa.
Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ của tôi từ việc dạy hình học 8 để các đồng chí tham khảo và bổ sung thêm để việc dạy hình được bổ ích, có kết quả. Có điều gì khiếm khuyết mong các đồng chí chỉ bảo thêm.
 	Tôi trân thành cảm ơn !.
 Thái Thịnh, ngày 02 tháng 12 năm 2007
 Người viết
 Đỗ Văn Dương