Chuyên đề Hình học không gian Lớp 12 - Nguyễn Trung Kiên

 1
 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 12 
BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 
CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG 
Vấn đề1:Tính thể tích của khối chóp 
Ø Hình chóp đều 
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 
( )0 00 90ϕ ϕ< < . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) 
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng 7a , góc tạo bởi 2 mặt phẳng 
(SBC) và (ABC) bàng 600. Tính thể tích khối chóp SABC theo a. 
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có chiều cao bằng a và góc SBC bằng 2ϕ . Hãy tính 
thể tích khối chóp theo a và ϕ . 
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều SABC có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) bằng 
a, góc tạo bởi SA và đáy là 600. Tính thể tích khối chóp theo a và α . 
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều SABC có góc hợp bởi cạnh bên và đáy là α . Khoảng cách 
ngắn nhất giữa cạnh đáy và cạnh bên đối diện bằng a. Tính thể tích của khối chóp. 
Bài 6: Cho tứ diện SABC có SA=SB=SC=a và thoả mãn 0ˆ ˆ ˆ 60ASB BSC CSA= = = . GỌi H là 
hình chiếu vuông góc của A lên mp(SBC). 
1) Chứng minh rằng SH là phân giác của góc BSC 
2) Tính thể tích khối tứ diện SABC 
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi mặt bên và đáy là 
600. Tính thể tích của khối chóp đã cho. 
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 2α . 
Tính thể tích của khối chóp. 
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh đáy và mặt bên 
bằng ( )0 00 90ϕ ϕ< < . 
1) Tính tan của góc giữa hai mp (SAB) và (ABCD) theo ϕ 
2) Tính thể tích khối chóp SABCD theo a và ϕ 
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường cao của hình 
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp 
SABCD. 
Bài 11: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam giác vuông. 
1) CHứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác đều. 
2) Tính thể tích khối chóp SABCD 
3) Tính tan của góc ϕ tạo bời mặt bên và măt đáy của hình chóp. 
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 
2 3
3
a
, chiều cao bằng a và 
hai mặt chéo SAC và SBD cùng vuông góc với đáy. 
1) Chứng minh SABCD là hình chóp đều 
2) Tính thể tích của khối chóp 
3) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp. 
 2
Ø Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy 
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, BC=2a. Hai mặt bên 
SAB và SAD vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. 
1) Tình thể tích của khối chóp 
2) Tính góc của hai mp (SBC) và (ABCD) 
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, chiều cao SA. Cạnh bên SB 
hợp với đáy một góc α . 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có 3 cạnh AB, AC, AD vuông góc với nhau theo từng đôi một và 
AB=a, AC=2a, AD=3a. Hãy tính diện tích tam giác BCD theo a. 
Bài 4: Cho tứ diện SABC với SAB,SBC, SCA vuông góc với nhau theo từng đôi một và có diện 
tích tương ứng là 24cm2, 30cm2, 40cm2. Hãy tính thể tích của khối tứ diện đó. 
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với diện tích bằng 12. Hai mặt bên (SAB) 
và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Các mặt bên (SBC) và (SCD) tạo với đáy lần lượt một góc là 
300,600. Tính thể tích khối chóp SABCD 
Bài 6: Cho đường tròn đường kính AB=2R nằm trong mp(P) và một điểm M nằm trên đường 
tròn đó sao cho 0ˆ 30ABM = . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho 
SA=2R. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SM. 
1) Chứng minh rằng SB vuông góc với mp(AHK) 
2) Gọi I là giao điểm của HK với (P). Hãy chứng minh IA là tiếp tuyến của đường trong đã 
cho. 
3) Tính thể tích của khối chóp SAHK 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với 
đáy và 2SA a= . Trên AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ˆ .ACM α= Hạ SN vuông góc với CM. 
1) Chứng minh N luôn luôn thuộc một đường tròn cố định và tình thể tích tứ diện SACN 
theo a và α 
2) Hạ AH vuông góc với SC và AK vuông góc với SN. Chứng minh rằng SC vuông góc với 
mặt phẳng (AHK) và tính độ dài đoạn HK. 
Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC=a, AB=2a, SA vuông góc 
với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng 600. Gọi H, K lần lượt là hình 
chiếu của A lên SB và SC. Chứng minh rằng AK vuông góc với HK và tính thể tích khối chóp 
SABC. 
Ø Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy: 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và ˆBAC α= . Mặt bên SAB là 
tam giác đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp SABC. 
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB=AC=a. Mặt bên 
qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy , hai cạnh bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 
bằng nhau và bằng 600. Hẫy tính thể tích của khối chóp SABC. 
Bài 3: CHo hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và ˆABC α= , SBC là tam 
giác đều cạnh a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau. Tính thể tích của khối 
chóp SABC. 
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a. Mặt bên (SBC) vuông 
góc với mặt đáy (ABC) và SA=SB=a. 
1) Chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác vuông 
2) Cho SC=x. Tính thể tích của khối chóp theo a và x. 
 3
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh 
SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. 
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S 
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi O là tâm của đáy, I là trung điểm của AB. Góc 
hợp bởi SC và đáy là α . 
1) Tính thể tích của khối chóp SABCD 
2) Tính thể tích khối tứ diện SOCD 
3) Tính khoảng cách từ I đến mặt bên (SCD). Suy ra thể tích khối tứ diện SICD. 
Ø Tính thể tích các dạng khối chóp khác: 
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAC) vuông góc 
với đáy, góc 0ˆ 90ASC = và SA tạo với đáy một góc ϕ . Tính thể tích của khối chóp SABCD. 
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai vđường 
chéo AC và BD là 600, các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a. TÍnh thể tích của 
khối chóp theo a. 
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB=a, BC= 3a . Góc giữa 
các cạnh bên và mặt đáy của hình chóp đều bằng 600. Tính thể tích của khối chóp đã cho. 
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có BC=
6
2
a
 và năm cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích của khối 
tứ diện. 
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có AB=a và 
2
3
a
BD = . Trên đường thẳng 
vuông góc với mặt phẳng (P) và đi qua giao điểm H của hai đường chéo của hình thoi trên người 
ta lấy điểm S sao cho SB=a. 
1) Chứng minh rằng tam giác ASC là tam giác vuông 
2) Tính thể tích của khối chóp SABCD 
3) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau 
Bài 6: Cho hình chóp SABC có cạnh SA=a và SB+SC=3a. Góc 0ˆ 90BAC = và 
0ˆ ˆ ˆ 60BSC CSA ASB= = = . Tính thể tích khối chóp đã cho theo a. 
Bài 7: Tính thể tích khối chóp SABC biết SA=a, SB=b, SC=c, 0 0 0ˆ ˆ ˆ60 90 , 120ASB BSC CSA= = = 
Bài 8: Cho hai đoạn thẳng AB và CÁCH ĐềU ĐIểM chéo nhau, AC là đường thẳng vuông góc 
chung của chúng. Biết rằng AC=h, AB=a, CD=b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 
600. Hãy tính thể tích của khối tứ diện ABCD. 
Bài 9: Cho hình chóp SABC có AB=5a, BC=7a, AC=8a. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc 
bằng nhau và bằng 600. Tính thể tích của khối chóp. 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc nhọn BAD=600, bán kính đường 
tròn ngoại tiếp là r. Các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau và góc giữa hai mặt bên đối 
diện là α . Tính thể tích của khối chóp theo r và α 
Ø Tính thể tích của khối chóp tạo bởi thiết diện của một mặt phẳng và khối chóp cho 
trước 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đường cao SA=a, đáy là tam giác vuông cân có AB=BC=a. Gọi 
B’ là trung điểm của SB và C’ là chân đường cao hac từ A của tam giác SAC. 
1) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB’C’) 
2) Tính thể tích của khối chóp SAB’C’ 
 4
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 600. 
Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và tạo với đáy một góc 300 cắt SC, SD lần 
lượt tại M, N 
1) Tính theo a tứ diện tứ giác ABMN 
2) Tính thể tích khối chóp SABMN theo a 
Bài 3: Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên 5SA a= . Một mặt phẳng 
(P) chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD), cắt SC và SD lần lượt tại C’ và D’. 
1) Tính diện tích tứ giác ABC’D’ 
2) Tính thể tích hình đa diện ABCDD’C’ 
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 
α ( )0 045 90α< < 
1) Tính thể tích của khối chóp theo a và α 
2) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, 
D’. Hãy tính diện tích thiết diện AB’C’D’. 
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên hợp với đáy một góc 
3α . Dựng mp (P) đi qua AB và hợp với đáy một góc α cắt vSC và SD lần lượt tại C’ và D’. 
1) Tính diện tích thiết diện ABC’D’ theo a và α 
2) Tính thể tích khối chóp SABCD theo a và α 
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, các mặt bên hợp với mặt đáy một 
gócα . Dựng mặt phẳng (P) đi qua AB hợp với đáy một góc 
2
α
 cắt SB, SC lần lượt tại M và N. 
Tính thể tích khối chóp SABMN theo a và α . 
Ø Tính thể tích của khối chóp bằng phương pháp tỉ số thể tích. 
Bài 1: Cho khối chóp SABC có đường cao SA=2ª, tam giác ABC vuông ở B có AC=2a, 
0ˆ 30BAC = . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích khối chóp HABC 
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với mp tam giác tại tâm O 
lấy điểm S sao cho 
6
3
a
SO = . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SC. 
1) Tính góc giữa các đường thẳng AM và BC 
2) Tính thể tích khối đa diện ABCNM 
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đường cao SA=2a, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB=2a, 
BC=a. Gọi H là trung điểm của SB, K là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. Tính thể 
tích khối chóp SAHK 
Bài 4: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2ª và SA vuông 
góc với mp (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB 
và SC. Tính thể tích khối chóp ABCNM 
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, AB,BC=a, 0ˆ ˆ 90BAD ABC= = , 
AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứn ... tích khối nón 
tương ứng và tính diện tích thiết diện SMN 
2) Một mp(P) song song với đáy của hình nón. Khoảng cách từ S đến (P) bằng x. Tìm x theo 
a để thể tích của phần khối nón nằm giữa mp(P) và đáy của hình nón bằng 1/3 thể tích 
khối nón trên.Khi đó hãy tính diện tích của phầnmặt nón nằm giữa mp(P) và đáy của hình 
nón. 
Bài 9: Cho khối nón N có bán kính R, đường cao SO. Một mp (P) cố định vuông góc với SO tại 
O’ và cắt khối nón N theo hình tròn có bán kính R’. Mp(Q) thay đổi, vuông góc với SO tại điểm 
O1 (O1 nằm giữa O và O’) cắt khối nón theo thiết diện là hình tròn có bán kính x. Tính x theo R 
và R’ để (Q) chia phần khối nón nằm giữa (P) và đáy khối nón thành hai phần có thể tích bằng 
nhau. 
Bài 10: Cho hình nón N có bán kính R, đường cao SO. Gọi (P) là mp vuông góc với SO tại O’ 
sao cho SO’=1/3SO. Một mp qua trục của hình nón cắt phần khối nón N nằm giữa (P) và đáy 
hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích khối nón
 
nằm giữa mp(P) và mp chứa đáy hình nón N. 
Bài 11: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R, góc ở đỉnh là 2α . Một 
mp(P) vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo một đường tròn tâm H. Đặt SH=x. 
1) Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy là đường tròn tâm H theo ,x α và R 
2) Xác định vị trí điểm H trên SO để thể tích V nói trên là lớn nhất. 
 15
Bài 12: Gọi V và S lần lượt là thể tích và diện tích xung quanh của một hình nón. Chứng minh 
rằng 
32
6 2
3
v S
π π
   ≤   
   
Vấn đề 6: Hình đa diện, hình cầu, hình trụ nội tiếp và ngoại tiếp hình nón 
Bài 1: Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó. 
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SO=h và góc ( )0ˆ 45SAB α α= > . Tính 
diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. 
 Bài 3: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón 
có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. 
Bài 4: Tính thể tích của khối nón biết thể tích khối chóp tam giác đều nội tiếp trong khối nón có 
thể tích là V 
Bài 5: Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với đáy một gócα . Tính bán kính của 
mặt cầu nội tiếp trong hình tròn. 
Bài 6: Gọi (C) là đường tròn chứa các điểm tiếp xúc của mặt xung quanh hình nón với mặt cầu 
nội tiếp hình nón đó, (C) chia mặt xung quanh của hình nón thành hai phần. Hãy tính tỉ số diện 
tích hai phần đó, biết diện tích hình cầu bằng diện tích đáy hình nón. 
Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a và (P) là mp qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). 
Gọi (C) là đường tròn đường kính BC và nằm trong mặt phẳng (P) 
1) Tính bán kính mặt cầu đi qua đường tròn (C) và điểm A 
2) Xét hình nón ngoại tiếp mặt cầu nói trên sao cho các tiếp điểm giữa mặt cầu và mặt nón 
là (C). Tính thể tích của khối nón. 
Bài 8: Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R. 
1) Tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất 
2) Với hình nón ấy, xét hình trụ nội tiếp hình nón. Tìm chiều cao của hình trụ đó, biết rằng 
thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. 
Bài 9: 
1) Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bấn kính R cho trước 
2) Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước 
Bài 10: Tìm hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của nó bằng diện tích hình tròn 
bán kính a cho trước. 
 16
Bài 11: Cho hình nón có bán kính đáy là a, đường sinh tạo với mặt đáy một gócα 
1) Tính các bán kính R, r của các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón. 
2) Xác địnhα để tỉ số R/r đạt giá trị nhỏ nhất 
ĐÁP ÁN PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
Vấn đề 1: Tính thể tích của khối chóp 
Hình chóp đều: 
Bài 1) 
( )( )
3 3
tan ; , sin
24 2
a a
V d A SBCϕ ϕ= = 
Bài 2) 33V a= 
Bài 3) 
3
2
3
3cot 1
a
V
ϕ
=
−
Bài 4) 
313 39
324
a
V = 
Bài 5) 
3
2
2 3
27sin os
a
V
cα α
= 
Bài 6) 
3 2
12
a
V = 
Bài 7) 
34 15
75
a
V = 
Bài 8) 
3
2
4
3 cot 1
h
V
α
=
−
Bài 9) 
3 2
tan 2 tan ; tan
6
a
Vα ϕ ϕ= = 
Bài 10) 
3
2 2
2
3 16
a b
V
a b
=
−
Bài 11) 
3 2
; tan 2
6
a
V α= = 
Bài 12) 
3
04 ; 60
9
a
V ϕ= = 
Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: 
Bài 1) 
32 15
; arctan 15
3
a
V ϕ= = 
Bài 2) 
3
0tan ; 60
3
a
V α α= = 
Bài 3) 2
7
2BCD
S a= 
Bài 4) ( )380SABCV cm= 
Bài 5) 8 3V = 
Bài 6) 
32 3
15
R
V = 
Bài 7) 3
2
2 cos
sin 2 ;
6 1 sin
a
V a HK
αα
α
= =
+
Bài 8) 
3 6
12
a
V = 
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: 
Bài 1) 
3 3
tan
12
a
V α= 
Bài 2) 
3 3
12
a
V = 
Bài 3) 
3
2sin 2 . 3 tan
24
a
V α α= − 
Bài 4) 2 23
12
ax
V a x= − 
Bài 5) 
3 3
96
a
V = 
 17
Bài 6) 
3 3 3
2
5 5 5 tan 5
tan ; tan ; ; tan
6 24 125 tan 4
SABCD SOCD SICD
a a a a
V V d V
αα α α
α
= = = =
+
Tính thể tích các dạng khối chóp khác: 
Bài 1) 
3 2
sin 2
6SABCD
a
V ϕ= 
Bài 2) 
3
8SABCD
a
V = 
Bài 3) 3SABCDV a= 
Bài 4) 
3
8SABCD
a
V = 
Bài 5) 
34 3
27SABCD
a
V = 
Bài 6) 
3 2
12SABC
a
V = 
Bài 7) 
2
12SABC
abc
V = 
Bài 8) 
3
12ABCD
V abh= 
Bài 9) 310 3SABCV a= 
Bài 10) 
38 3
cot
9 2SABCD
r
V
α
= 
Tính thể tích của khối chóp tạo bởi thiết diện của một mặt phẳng và khối chóp cho trước: 
Bài 1) 
3
' ' 36SAB C
a
V = 
Bài 2) 
2 23 3 3
;
8 16ABMN SABMN
a a
S V= = 
Bài 3) 
2 3
' ' ABCDD'C' 
3 3 5 3
;
2 6ABC D
a a
S V= = 
Bài 4) 
3 22 cos 2
tan ;
6 sinSABCD AMNP
a a
V S
αα
α
= = − 
Bài 5) 
2 2 3
' ' 2
sin 3 cos tan 3
;
sin 4 6ABC D SABCD
a a
S V
α α α
α
= = 
Bài 6) 
3 3
2
sin
3
12sin .cos
2
SABMN
a
V
α
α α
= 
Tính thể tích của khối chóp bằng phương pháp tỉ số thể tích: 
Bài 1) 
3 3
7HABC
a
V = 
Bài 2) 
( )
33 2
, arccos ;
6 16ABMN
a
AM BC V= = 
Bài 3) 
34
27AHK
a
S = 
Bài 4) 
33 3
50SBCNM
a
V = 
Bài 5) 
3
3SBCNM
a
V = 
Bài 6) 
3
' ' '
16
45SAB C D
a
V = 
Bài 7) 
32
9SAMPN
a
V = 
So sánh thể tích: 
Bài 1) 
3 215 19 285
; ; ;
12 4 19SABC SBC
a a a
V S d= = = M là trung điểm của SA. 
Bài 2) 
3
cos ; sin 2
6 2
a a
V dα α= = 
 18
Bài 3) ( ) 2 2 3 52 ;
2MNBC
S a x a x x a
 −
= − + =   
 
Bài 4) ( ) 2 21 22 ;
2 3MNCD
a
S a x a x x= − + = 
Bài 5) ( ) 2 21 2 22 2 2 ;
4 3ADNM
a
S a x x a x a x= + − + = 
Vấn đề 2: Tính thể tích của khối trụ 
1. Tính thể tích của khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều: 
Bài 1) 3
6
;cos
3
V a ϕ= = 
Bài 2) 
3 2 7
;
2 7
a a
V d= = 
Bài 3) 3 6V a= 
Bài 4) 
33 2
16
a
V = 
Bài 5) 
3 6
8
a
V = 
Bài 6) 32V a= 
Bài 7) 
34
3
a
V = 
Bài 8) 324V a= 
Bài 9) 
32 3
3
a
V = 
Bài 10) 
3
' '
2
12MA BC
a
V = 
2. Tính thể tích khối lăng trụ xiên: 
Bài 1) 
3
03 ;60
4
a
V = 
Bài 2) 
3
sin
2
a
V α= 
Bài 3) 
3
22 2; 1
8 2xq
a
V S a
 
= = +  
 
Bài 4) 
3 3
2
2
2
2 tan
3tan 1
a
V
α
α
=
−
Bài 5) 
33
cot
2
a
V α= 
Bài 6) Tam giác vuông cân; 
( )3 10 7 2
2
V = − 
Bài 7) 
3 3
2
27 tan
4 3tan 1
a
V
α
α
=
−
Bài 8) 
3 2
4
a
V = 
3. Tính thể tích của khối hộp: 
Bài 1) 
32 2
3
a
V = 
Bài 2) 
38 2
3
a
V = 
Bài 3) 
7
4
V = 
Bài 4) 
3
0 330 ;
4
a
V = 
Bài 5) 
3
23 4 3cos
6cos
a
V α
α
= − 
Bài 6) 
3 2
2
a
V = 
Bài 7) 
3 2
2
a
V = 
Bài 8) V=14 
 19
Bài 9) 
3
' ' 6A O BD
a
V = 
Bài 10) 
3
' 12BCD M
a
V = 
Bài 11) 
3
2
a
V = 
4. Thiết diện của khối lăng trụ: 
Bài 1) 2
3
4
S a= 
Bài 2) 2
7 17 25
;
24 47
S a= 
Bài 3) 2
9 3
16
S a= 
Bài 4) 2
7 6
16
S a= 
Bài 5) 2
7 219
96
S a= 
Bài 6) 2
5 30
24
S a= 
Vấn đề 3: Các bài toán cực trị thể tích khối đa diện 
Bài 1) 
3 3
02 2 6sin 2 ; 45 ;max ; arctan
6 6 2
a a
V Vα α α
 
= = = =   
 
Bài 2) 
2
min
3SABC
a h
V = 
Bài 3) 
2 2 2 3 2 3
1 ; ;max
6 4 3 27
xy x y
V x y V
+
= − = = = 
Bài 4) 
32 6
;min
2 12
a a
x V= = 
Bài 5) 
32 5 3
;max
3 96SCHK
a a
x V= = 
Bài 6) 
3 3
max ;
8 2ABCMS
a a
V x= = 
Bài 7) 3
2 3
;max
3
R
h V R= = 
Chương II: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón 
I. Mặt cầu, khối cầu 
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
Bài 1) 
3 3
;
48 2
a a
V R= = 
Bài 2) 
2 2
;
3 2
a a
R d= = 
Bài 3) 
3
3
a
V = 
Bài 4) 
2
2sin 2
a
R
ϕ
= 
Bài 5) 
2 2
3
2sin 3cot 1
a
r
ϕ ϕ
=
−
Bài 6) 
2 6
3;
3
OA
OH
= 
Bài 7) 2R a= 
Bài 8) 2 2 2
1
2
R a b c= + + 
Bài 9) 
2
2 24
a
R
a b
=
−
 20
Bài 10) 
21
6
a
R = 
Bài 11) R=a 
Vấn đề 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp 
Bài 1) 
6
12
a
r = 
Bài 2) 
3
tan
6 2
a
r
α
= 
Bài 3) 
2 24
ah
r
a h a
=
+ +
II. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ 
Vấn đề 1: Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ 
Bài 1) 
3
2;
4xq
a
S a V
ππ= = 
Bài 2) ( ) ( ) ( )2 3 270 ; 175 ; 56xqS cm V cm S cmπ π= = = 
Bài 3) 
Bài 4) 
Bài 5) 
Bài 6) 
2 33 3 2
;
2 16xq
a a
S V
π π
= = 
Bài 7) 
2 10
2
R
S = 
Vấn đề 2: Hình đa diện, hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình trụ 
Bài 1) 1
2
1 2
;
2
V R
d
V π
= = 
Bài 2) 
Bài 3) ( ) ( ) 1 1
8 2
6 ; 2 ; ; 2 3
3tp ABB At C
S V V S
ππ π= = = = 
Bài 4) 
Bài 5) 
' 1
2
S
S
= 
III. Mặt nón, hình nón và khối nón 
Vấn đề 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối 
nón 
Bài 1) 
3
2 32 ;
3xq
a
S a V
ππ= = 
Bài 2) 
2 2 32 2 3 3
; ;
3 3 3SMN xq
R R R
S S V
π π
∆ = = = 
Bài 3) 1) 
2 2 33 3
; ;
2 4 24xq tp
a a a
S S V
π π π
= = = ; 2) 
2
23 31 3cot ; cos
4sin 2ABC
a a
S dα α
α∆
= − = 
 21
Bài 4) 
100000
1) 2000;2) 2500 ;
3SMN xq
S S V
ππ∆ = = = 
Bài 5) 1) 
2 3 2cot cot
;
sin 3xq
h h
S V
π α α
α
= = 
2) 
2
2
( /( ))
2
cot 1;
3 2SAB O SAB
h h
S dα∆ = − = 
Bài 6) 
3
2 23cos sin .cos
2
a
V
π
α α β
= 
Bài 7) 060ϕ = 
Bài 8) 1) 
2 3 28 3 8 3 32 13
; ;
3 9 169xq SMN
R R a
S V S
π π
∆= = = 
2) 
32 2 3
3
a
x = 
Bài 9) 
3 3
3
'
2
R R
x
+
= 
Bài 10) 
352
81
R
V
π
= 
Bài 11) ( )2 21 2tan cot ; cot
3 3
R
V x R x xπ α α α= − = 
Vấn đề 2) Hình đa diện, hình cầu, hình trụ nội tiếp và ngoại tiếp hình nón 
Bài 1) 
36
27
a
V
π
= 
Bài 2) 
2
2
2
cos (tan 1)xq
h
S
π
α α
=
−
Bài 3) 
25
4xq
a
S
π
= 
Bài 4) 
4 3
9N
V Vπ= 
Bài 5) tan
2
r R
α
= 
Bài 6) 1
2
4
21
S
S
= 
Bài 7) 
33 3
;
3 3
a a
r V
π
= = 
Bài 8) ( )2 2 4 4, ; ' 2 2
3 3 3
R R R
r h h= = = − 
Bài 9) 
2 2 4
, ; 2, 4
3 3
R R
r h x r h r= = = = 
Bài 10) ; 2
2
a
r h a= = 
Bài 11) 0; tan ; 60
2sin 2 2
a
R r a
α α
α
= = =