Chuyên đề Đại số lớp 8 - Nhân chia đơn đa thức

 Chuyên đề
 Nhân chia đơn đa thức
I, Nhân, chia đơn thức với đơn thức:
	1, Nhân đơn thức với đơn thức:
	 Hệ = Hệ • Hệ
	 Biến = Biến • Biến ( nhân các luỹ thừa cùng cơ số )
	2, Chia đơn thức cho đơn thức:
	Hệ = Hệ : Hệ
 Biến = Biến : Biến ( Chia các luỹ thừa cùng cơ số )
II, Nhân, chia đơn thức, đa thức :
	1, A ( B + C ) = AB + AC
	2, ( A + B ) ( C + D ) = AC +AD + BC + BD
	3, 
	4, Chia đa thức cho đa thức : 
a, Chia đa thức đã sắp xếp :
b, Phép chia hết chia có dư :
 Phép chia hết : A = B Q 
 Phép chia có dư : A = B Q + R (R ạ 0 , bậc của R thấp hơn bậc của B)
c, Định lý Bơdu :
 Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – α bằng f(α)
	 C/ m:
 f(x) = ( x – α ) Q(x) + r với ∀x. Vậy đẳng thức vẫn đúng với x = α
 thay x = α vào (1) ta có: f(α) = (α – α)Q(x) + r ị r = f(α) (đ/pcm)
 VD: f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 5 chia cho x – 3 có dư bằng :
 r = f(3) = 2.33 + 32 – 3.3 + 5 = 59
d, Sơ đồ Hoóc ne : f(x) = ax3 +bx2 + cx + d
 f(x) = (x – α) ( a1 x2 + b1 x + c1 ) + r
 các hệ số : a1 , b1 , c1 được xác định theo sơ đồ sau:
x
a
b
c
d
α
a1 = a
b1= α a + b
c1= α b1 + c
d1= α c1+ d
 ( Nếu r = 0 thì phép chia hết ) 
 VD: (VD trên)
2
1
-3
5
3
2
7
18
59
III, Hằng đẳng thức đáng nhớ :
1, ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2, ( a - b )2 = a2 – 2ab + b2
3, a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b ) 
4, ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5, ( a – b )3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
6, a3 – b3 = ( a – b ) (a2 + ab + b2)
7, a3 + b3 = ( a + b ) (a2 – ab + b2)
 Nâng cao:
1, ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
2, an – bn = ( a – b ) ( an - 1 + an - 2b + an – 3b2+  + abn – 2 + bn – 1) 
 với ∀ n ẻN*
3, an + bn = ( a + b ) ( an - 1 – an - 2b + an – 3b2 –  + abn – 2 + bn – 1) 
 với ∀ n ẻN, lẻ
 Chú ý: (an – bn)∶ (a – b) 
 (an + bn)∶ (a + b)
4, 
 Chú ý: Sử dụng tam giác Patscan
 ( a + b )1 → 1 1
 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 → 1 2 1 
 ( a + b )3 → 1 3 3 1
 ( a + b )4 → 1 4 6 4 1
	 ( a + b )5 → 	 1 5 10 10 5 1
bài tập vận dụng
Bài1:
Cho đa thức A(x) = a2x3+ 3ax2 – 6x – 2a ( a ẻ Q ) xác định a để A(x) chia hết cho x + 1.
C1, Chia đa thức đã sắp xếp ta được đa thức dư : - a2+ a + 6
 A(x) chia hết cho x + 1 Û - a2+ a + 6 = 0 (*)
Û (a + 2) (3 – a) = 0
Û 
C2, PP hệ số bất định.
 Hạng tử cao nhất của đa thức thương là a2x3 : x = a2x2 
 Vậy đa thức thương có dạng a2x2 + bx + c
 A(x) chia hết cho x + 1 
 Û a2x3+ 3ax2 – 6x – 2a = ( x + 1)( a2x2 + bx + c)
a2x3+ 3ax2 – 6x – 2a = a2x3+ (a2 + b)x2 +(b + c)x + c
C3, PP xét giá trị giêng.
 A(x) = (x + 1) Q(x) + r (1) ( r là hằng ) đúng với ∀(x) ị đúng với x = -1 thay x = -1 vào (1) ta có : A(1) = (- 1 + 1) Q(x) + r ị r = - a2 + a + 6 
 A(x) chia hết cho x + 1 Û r = 0 Û - a2 + a + 6 = 0 (*)
Bài 2: 
Xác định giá trị của a để 
a, 10 x2 – 7x + a chia hết cho 2x – 3
b, 27x2 +a chia hết cho 3x + 2 
c, x3 + x2 - x + a chia hết cho (x + 1)2
d, ax5 + 5x4 – 9 chia hết cho (x - 1)2
e, x4 + ax +1 chia hết cho x2 + 2x + 1, 
Giải
a, 10 x2 – 7x + a chia hết cho 2x – 3 
Û 10 x2 – 7x + a = (2x – 3)Q(x) (1) với ∀(x)
Thay x = 3/2 vào (1) Ta có 10 . (3/2)2 – 7 . (3/2) + a = 0 Û a = -12
b, 27x2 +a chia hết cho 3x + 2 Û 27x2 + a = (3x + 2)Q(x) (2) ∀(x)
Thay x = - 2/3 vào (2) Ta có 27 . (2/3)2 + a = 0 Û a = - 12
c, x3 + x2 - x + a chia hết cho (x + 1)2
C1, Tương tự có a = - 1, Thay a = -1 vào rồi thực hiện phép chia ta thấy phép chia hết 
 kl: với a = -1 thì x3 + x2 - x + a chia hết cho (x + 1)2 
C2, x3 + x2 - x + a chia hết cho (x + 1)2 thì nó chia hết cho x + 1 
ị r = f(- 1) = 1 + a = 0 ị a = - 1. Thay a = -1 vào rồi thực hiện phép chia ta thấy phép chia hết 
 kl: với a = -1 thì x3 + x2 - x + a chia hết cho (x + 1)2
	C3, Thực hành phép chia x3 + x2 - x + a cho x2 + 2x + 1
d, C1, ax5 + 5x4 – 9 chia hết cho (x - 1)2 
Û ax5 + 5x4 – 9 = (x - 1)2Q(x) (3) với ∀(x)
 Thay x = 1 vào (3) Ta có a + 5 - 9 = 0 Û a = 4
Thay a = 4 vào đa thức rồi thực hiện phép chia, thấy phép chia có dư => Không có giá trị nào của a để: ax5 + 5x4 – 9 chia hết cho (x - 1)2
 C2, Thực hành phép chia, được đa thức dư ( bậc nhất ), đồng nhất với đa thức không ( 0x + 0 ), ta có hệ pt, ghpt thấy vô nghiệm => kl: ...
e, x4 + ax +1 chia hết cho x2 + 2x + 1, 
Û x4 + ax +1 = (x2 + 2x + 1)Q(x) với ∀(x)
Û x4 + ax +1 = (x + 1)2Q(x) với ∀(x)
Thay x = - 1 vào (3) Ta có (-1)4 + a(- 1) +1 = 0 Û a = 2
Thay a = 2 .... 9 (tương tự bài d) không thoả mãn chia hết => kl:...
Bài 3: Xác định a sao cho :
a, 3x2 + ax + 27 chia cho x+ 5 có số dư bằng 2.
b, 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 có số dư bằng 4.
 Giải
a, C1, 3x2 + ax + 27 chia cho x+ 5 có số dư bằng 2.
Û 3x2 + ax + 27 = ( x + 5 )Q(x) + 2 (*) với ∀(x)
Thay x = - 5 vào (*) Ta có 3. 25 - a.5 + 27 = 2 Û a = 20
C2, áp dụng định lý Bơ du f(-5) = 2 Û a = 20
b, Tương tự a = - 5
Bài 4: Không làm tính chia hãy xác định xem đa thức 4x3 – 7x2 – x – 2 có chia hết cho đa thức sau không ?
a, x – 2
b, x + 2
 Giải
a, áp dụng định lý Bơ du f(x) chia hết co x – 2 Û f(2) = 0
 f(2) = 4.23 – 7.22 – 2 – 2 = 0 Vậy f(x) chia hết cho x – 2
b, f(-2) = - 60 ạ 0 Vậy f(x) không chia hết cho x + 2
 chú ý : có thể dùng pp giá trị riêng
Bài 5: Xác định a, b sao cho f(x) chia hết cho g(x)
a, f(x) = ax3 + bx2 + 5x – 50 , g(x) = x2 + 3x – 10
b, f(x) = x4 + ax2 + b , g(x) = x2 - x + 1
c, f(x) = ax4 + bx3 + 1, g(x) = ( x – 1 )2
d, f(x) = x3 + ax + b , g(x) = ( x – 1 )2
 Giải
a, C1, ax3 + bx2 + 5x – 50 x2 + 3x – 10
 ax3 + 3ax2 – 10ax ax + (b – 3a)
 (b – 3a)x2 + (5 +10a)x - 50
 (b – 3a)x2 + (3b – 9a)x + 30a - 10b
 (5 – 3b + 19 a)x +(- 30a +10b -50)
 Phép chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất với đa thức không 
 ị 5 – 3b + 19a = 0 ị a = 1
 30a +10b – 50 = 0 b = 8
 C2, ax3 + bx2 + 5x – 50 = (x2 + 3x – 10)Q(x)
ax3 + bx2 + 5x – 50 = ( x – 2 )( x + 5))Q(x) với ∀(x)
Thay x = 2; x = - 5 ta có 8a + 4b = 40 a = 1
 - 125a + 25b =75 Û b = 8
C3,Hệ số bất định. ax3 + bx2 + 5x – 50 = (x2 + 3x – 10)( ax + 5 ) 
b, f(x) = x4 + ax2 + b , g(x) = x2 - x + 1
 x4 + ax2 + b x2 - x + 1 
 x4 – x3 + x2 x2 + x + a
 x3 + (a – 1)x2 + b
 x3 – x2+ x
 ax2 – x + b 
 ax2 – ax + a
 (a – 1)x +(b – a) 
 R(x) = 0 Û a – 1 = 0 Û a = 1
 b – a = 0 b = 1
 c, f(x) = ax4 + bx3 + 1, g(x) = ( x – 1 )2
 Chia f(x) cho g(x) được dư là ( 4a + 3b ) x + ( 1 – 3a – 2b ) 
d, f(x) = x3 + ax + b , g(x) = ( x – 1 )2
 Chia f(x) cho g(x) được dư là ( a + 3 ) x + ( b - 2 
 chú ý: Trong trường hợp g(x) không có nghiệm hữu tỉ hoặc chỉ có 1 nghiệm thì không thể giải bằng pp giá trị riêng( đ/v chương trình lớp 8)
Bài 6: Xác định a, b sao cho x3 + ax + b chia cho x+1 thì dư 7 ; chia cho x- 3 thì dư – 5 ?
x3 + ax + b = ( x + 1)Q(x) + 7 (1) với ∀(x)
x3 + ax + b = ( x – 3)Q(x) – 5 (2) với ∀(x)
Thay x = - 1 vào (1) và x = 3 vào (2) ta có :	
Bài 7: Xác định a, b, c sao cho ax3 + bx + c chia hết cho x+2 ; chia cho x2- 1 thì dư x + 5 ?
ax3 + bx + c = ( x+2 )Q(x) (1) với ∀(x)
ax3 + bx + c = ( x – 1 )( x + 1 )P(x) + x + 5 (2) với ∀(x)
Thay x = - 2 vào (1) và x = 1; - 1 vào (2) ta có :
Bài 8: Tìm dư trong phép chia sau:
a, f(x) = chia cho x – 1
b, f(x) = chia cho x2 – 1
c, f(x) = chia cho x2 – 1
 Giải
a, 	C1, r = f(2) = = 5
	C2, f(x) = 
	áp dụng hằng đẳng thức (an – bn ) ∶ (a – b) ị f(x) : (x – 1) dư 5
ơ
b, = ( x – 1 )( x + 1 )Q(x) + ax + b (*) ∀(x)
 Thay x =1 ; -1 vào (*) ta có :
 	 đa thức dư là 5x
c,	C1,Tương tự câu b, ta có đa thức dư là 2x + 3
	C2, f(x) = 
	=
	đa thức dư là : 2x + 3.
Bài 9: 
a,Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 2n2 – n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n + 1.
 Thực hành phép chia 2n2 – n + 2 cho 2n + 1 được dư là 3 .
 Vậy giá trị của biểu thức 2n2 – n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức 
2n + 1 Û 3 chia hết cho 2n + 1 Û 2n + 1 ẻ Ư(3) = 
b, Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của bt 2x2 + x – 7 chia hết cho giá trị của bt x – 2. 
Tacó: 
c, Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của bt 10x2 - 7x – 5 chia hết cho giá trị của bt 2x – 3. 
Ta có : 
d, Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 25n2 – 97n + 11 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 4.
Ta có: 
Bài 10: C/m R không có số tự nhiên nào để giá trị của biểu thức chia hết cho giá trị của biểu thức n2 – n
Ta có:
C1, Cả 4 pt VN trên Z
C2, n2 – n = n ( n – 1 ) là số chẵn không thể là ước của 3 Vậy không có giá trị nào của n làm cho chia hết cho n2 – n.