Chuyên đề Cực trị đại số Khối 8

A. Một số vấn đề về bất đẳng thức đại số: 
Bất đẳng thức là một trong những vấn đề lí thú nhất trong giải tóan phổ thông. Trong mục 
này chúng ta sẽ ôn lại một số bất đẳng thức cổ điển và tiếp cận một số phương pháp 
chứng minh bất đẳng thức. Do khối lượng kiến thức là tương đối lớn nên một số khái 
niệm,tính chất cơ bản đều được bỏ qua. Các bạn có thể tìm thây những tính chất này này 
Sách Giáo Khoa của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo. 
Dưói đây là các nội dung trong chuyên đề này. 
a)Bất đẳng thức Cauchy 
i)Bất đẳng thức Cauchy có lẽ là đã quen thuộc với nhiều bạn . Ngay từ năm lớp 
8,các bạn đã bắt gặp các bất đẳng thức như: 
3
4
2
3
4
x y xy
x y z xyz
x y z t xyzt
+
³
+ +
³
+ + +
³
Trong đó , , ,x y z t là các số thực không âm 
Những bất đẳng thức có dạng này được gọi là bất đẳng thức Cauchy. Bất đẳng 
thức Cauchy tổng quát có dạng như sau: 
Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực không âm. Khi đó ta có bất đẳng thức sau: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... nx x x= = = 
Đại lượng 1 2 ... nx x x
n
+ + + được gọi là trung bình cộng của các số 1 2, ,..., .nx x x 
Đại lượng 1 2...n nx x x được gọi là trung bình nhân của các số 1 2, ,..., .nx x x 
Do đó bất đẳng thức Cauchy còn có tên gọi khác là bất đẳng thức TBC-TBN (bất 
đẳng thức giữa đại lượng trung bình cộng và đại lượng trung bình nhân). 
Bất đẳng thức Cauchy có nhá nhiều cách chứng minh. Tuy nhiên do khuôn khổ 
quyển sách nên ở đây,tác giả chỉ nêu ra cách chứng minh điển hình nhất. Phương pháp 
chứng minh này cũng đa gắn liền với một tên gọi: “Quy nạp Cauchy”. Các bạn có thể 
tham khảo thêm về phương pháp này trong phần phương pháp Quy Nạp. 
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh đúng khi 2kn = 
Trước hết ta chứng minh cho trường hợp cơ sở , 1.k = 
Ta cần chứng minh 22 ( ) 0.x y xy x y+ ³ Û - = 
Bất đẳng thức tương đương là đúng do đó bất đẳng thức ban đầu cũng đúng. 
Giải sử bất đẳng thức đã đúng cho k m= , tức là 
1 2
1 2
... ...n n n
x x x x x x
n
+ + +
³ 
1 2 2 2
1 2 2
...
...
2
m m
mm
x x x
x x x
+ + +
³ 
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng cho 1.k m= + 
Ta có: 
1 11 1
1
1 2 3 41 2 2 1 22 2
1 21 2
......
...
2 2
m mm m
mm m
x x x x x xx x x
x x x
+ ++ +
+
-
+
+ + ++ + +
³ ³ 
(Ở trên ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số 
2 1 2 2 2 1 2 22 , 1,2 1
m
k k k kx x x x k+ + + ++ ³ " = - sau đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy 
cho 2m số 1 11 2 3 4 2 1 2, ,..., m mx x x x x x+ +- . 
Như vậy bất đẳng thức Cauchy đã đúng cho vô số số hạng. Bây giờ ta sẽ chứng 
minh nếu 1n m= + đúng thì bất đẳng thức cũng đúng cho .n m= Thực vậy,áp 
dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1m + số 1 2 1 2, ,..., , ...mm mx x x x x x ta có: 
1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
... ... ( 1) ... ...
... ... ( 1) ... .
... ...
... ... .
mm m
m m m m
m m
m m m
m
m m
m m
m
x x x x x x m x x x x x x
x x x x x x m x x x
x x x m x x x
x x x x x x
m
++ + + + ³ +
Û + + + + ³ +
Û + + + ³
+ + +
Û ³
Như vậy theo nguyên lý Quy nạp Cauchy ta có điều cần chứng minh. 
Nhận xét rằng bất đẳng thức cơ sở chỉ xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi x y= do đó 
trong bất đẳng thức tổng quát của ta sâu bằng cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi 
1 2x ... nx x= = = . 
Ta có nhiều cách nhìn nhận về bất đẳng thức Cauchy, ví dụ như cho các số thực 
dương có tổng không thay đổi thì giá trị lớn nhất của tích các số này là gì, hoặc ngược 
lại ,tức là tìm giá trị nhỏ nhất của các số thực dương có tích không đổi. 
Cũng cần lưu ý với các bạn rằng trong bất dẳng thức Cauchy,điều kiện các số 
thực không âm là quan trọng, ví dụ với 2 1n k= + , ta có thể chỉ ra ví dụ với các số thực 
gồm 2k số 1- và một số 2k thì bất đẳng thức không còn đúng nữa. 
ii)Bất đẳng thức Cauchy mở rộng 
Trong phần này ta hãy xem xét bất đẳng thức Cauchy có trong số.Ta hãy khởi đầu 
bằng bất đẳng thức cho hai số thực dương trước. 
Cho các số nguyên dương a,b,c,d và hai số thực dương x,y. Khi đó: 
Bất đẳng thức trên còn được gọi là bất đẳng thức Young. Chứng minh bất đẳng 
thức được đề cập dưới đây: 
ad bcad bc
a cx y
b d x ya c
b d
+
+
³
+
ad bcad bc
a cx y adx bcyb d x ya c ad bc
b d
+
+ +
= ³
++
Ở trên, ta đã áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ad bc+ số hạng, bao gồm ad số 
x ,bc số y .Như vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. 
Bằng một ý tưởng tương tự,ta có thể phát biểu bất đẳng thức Cauchy trong số 
trong trường hợp tổng quát như sau 
Cho 2n số nguyên dương 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n na a a b b b và n số thực dương 1 2, ,..., nx x x . 
Khi đó ta có bất đẳng thức sau: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... .nx x x= = = 
Ý tưởng chứng minh hòan tòan tương tự trong trường hợp hai số, do đó xin 
nhường lại cho bạn đoc J. 
Bây giờ ta hãy xét một số ví dụ ứng dụng bất đẳng thức Cauchy. 
Bài tóan : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của : 
2 (4 )Z x y x y= - - 
Trong đó 
x,y 0.
x+y 6.
³ì
í £î
(Đề thi vào lớp 10 Chuyên Tóan ĐHTH Hà Nội năm 1993) 
Trước hết ta nhận xét rằng các số , , 4x y x y- - có một mối quan hệ nào đó, thật 
vậy tổng của chúng bằng 4.Đây chẳng phải là dấu hiệu nhận biết để sử dụng bất đẳng 
thức Cauchy hay sao. 
Tuy nhiên đề bài lại là 2x (4 )y x y- - chứ không phải là (4 )xy x y- - L.Chẳng lẽ 
chịu thua? Ở đây ta sẽ sử dụng kĩ thuật tạo thành các số có tổng không đổi như sau: 
2 (4 ) 4 (4 )
2 2
x xx y x y y x y- - = - - .Chẳng phải lúc này ; ; ; 4
2 2
x x y x y- - có tổng là 
4 hay sao. Tuy nhiên ta còn cần 4 x y- - nhận giá trị không âm,do đó ta xét trường hợp 
0 4.x y£ + £ Từ đó ta thu được lời giải sau: 
Xét 0 4.x y£ + £ ,ta có: 
1 2 1 2 11 2... 1 2 1
1 2
1 2
... ...... ...1 2
1
1 2
1 2
...
...
...
n n nn n n
n
n
a b b a b b ba b b a b b bn
n
n
n
aa ax x x
b b b x xaa a
b b b
--+ +
+ + +
³
+ + +
42
4
2 2(4 ) 4 (4 ) 4 4
2 2 4
x x y x yx xZ x y x y y x y
æ ö+ + + - -ç ÷
= - - = - - £ =ç ÷
ç ÷
è ø
(Bất đẳng thức Cauchy) 
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn như 2, 1.x y= = 
Xét 4 x y£ + ,ta có: 0 4.Z £ < 
Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có 4.Z £ 
Vậy ax 4.mZ = Đẳng thức xảy ra chẳng hạn như 2; 1.x y= = 
Đối với trường hợp giá trị nhỏ nhất, các bạn có thể nhận xét rằng điều kiện 
6x y+ £ vẫn chưa được sử dụng. Và đây là lúc để ta sử dụng điều kiện này. 
Nếu các bạn thay 6x y+ = vào Z ,các bạn có thể thấy 0Z < . Do đó giá trị nhỏ 
nhất của Z cũng phải nhận giá trị âm. Từ nhận xét này ,để thuận tiện trong việc nghiên 
cứu, rõ ràng ta chỉ cần xét 4 6x y£ + £ . Trong trường hợp này, 4 2x y- - £ - ,( đẳng 
thức xảy ra khi 6x y+ = ) nên ta cần tìm giá trị lớn nhất của 2x y để Z thu được giá trị 
nhỏ nhất. 
Lúc này có lẽ mọi chuyện đã trở nên tương đối quen thuộc với các bạn rồi chứ. 
Do tổng x y+ là 6 nên ta cần biến đổi 2x y thành tích các số hạng có tổng là x+y . 
Và ta thu được kết quả mong muốn: 
3 3
3
2
2 2( )
. .2 43 3x 32.
2 2 2 2
x x y x y
x x yy
+ + +æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø= £ = £ = 
Từ đây ta đi tới lời giải: 
Xét 4 6.x y£ + £ 
Ta có: 4 6 4 2.x y+ - £ - £ 
3
3
2
2
2( )
. .2 43 32
2 2 2
32
x y
x x yx y
x y
+æ ö
ç ÷
è ø£ £ £ =
Þ - ³ -
Nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế ta thu được: 
2 2(4 ) .2 32.2 64x y x y x y- - ³ - ³ - = - (Nhân hai vế cho số không dương, bất đẳng thức 
đổi chiều) 
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn như 4, 2.x y= = 
Xét 0 4x y£ + £ ,ta có: 0 64.Z ³ > - 
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có min64 64.Z Z³ - Þ = - 
Đẳng thức xảy ra như 4, 2.x y= = 
Sau đây là một số bài tập áp dụng: 
Bài 1: 
Cho ,x y thỏa: 2 2x 4 .y xy+ = + 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2.t x y= + 
(Đề thi HSG lớp 9 TP.HCM năm 1995) 
Bài 2: 
Cho , 1a b > . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
2 2
1 1
a bP
b a
= +
- -
(Đề kiểm tra lớp 9 Chuyên Tóan TP.HCM năm 1994) 
Bài 3: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
2 2
1 11 1S
x y
æ öæ ö= - -ç ÷ç ÷
è ø è ø
, biết 
, 0
1.
x y
x y
>ì
í + =î
(Đề thì vào lớp 10 PTTH chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM năm 1994) 
Bài 4: 
Cho , , 0.a b c ³ Chứng minh rằng: 
4 4 4 ( )a b c abc a b c+ + ³ + + 
(Đề thi học sinh giỏi lớp 9,bảng B,tòan quốc năm 1994) 
Bài 5: 
Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 
2 2 2 3
3 3 3
3 2
2
a b c
b c a c a b
æ ö æ ö æ ö+ + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷+ + +è ø è ø è ø
(Tạp chi Toán học và Tuổi Trẻ). 
b)Bất đẳng thức Bouniakovski 
i)Bất đẳng thức Bouniakovski cũng là một trong những bất cổ điển nổi tiếng nhất. 
Bất đẳng thức còn gắn với nhiều tên gọi khác,như Cauchy,Schwarz. Cũng xin chú ý với 
bạn đọc rằng, những bất đẳng thức cổ điển thường được hình thành trong các vấn đề cuộc 
sống,trong các vấn đề về thiên văn,vật lý. Chúng đã xuất hiện từ rất lâu và 
Bouniakovski ,Cauchy,Schwarz là những người gắn bó tên tuổi với các bất đẳng thức 
này nhất,không hẳn vì họ là những người đầu tiên phát minh ra bất đẳng thức này, nhưng 
có lẽ họ đã góp công sức rất lơn trong việc hệ thống chúng một cách chặt chẽ nhất. 
Bây giờ ta hãy xem “hình thù” bất đẳng thức Bouniakovski này: 
Cho hai dãy số thực 1 2
1 2
, ,...,
, ,...,
n
n
a a a
b b b
.Khi đó ta có bất đẳng thức sau: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2
1 2
... 0.n
n
aa a
b b b
= = = ³ 
Bất đẳng thức Bouniakovski cũng có khá nhiều cách chứng minh. Tuy nhiên ở 
đây tác giả sẽ đề cập tới cách chứng minh sử dụng bất đẳng thức chúng ta vừa mới xem 
xét qua, bất đẳng thức Cauchy. 
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2( ... )( ... ) ... .n n n na a a b b b a b a b a b+ + + + + + ³ + + + 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
... 1
( ... )( ... )
n n
n n
a b a b a b
a a a b b b
+ + +
£
+ + + + + +
Ta có thể giả sử các số , , 1,i ia b i n= đều là các số thực dương. Bởi lẽ khi đó chúng 
ta chỉ cần sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối: 
1 1 1 1... | || | ... | || |n n n na b a b a b a b+ + £ + + 
Và lại áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski cho các số thực dương 
| |,| |, 1,i ia b i n= và ta sẽ có điều phải chứng minh. 
Quay lại vấn đề chính. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương ta 
được: 
2 2
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2
1 2 1 21 2 1 2
, 1,
2( ... ) 2( ... )( ... )( ... )
i i i i
n nn n
a b a b i n
a a a b b ba a a b b b
£ + " =
+ + + + + ++ + + + + +
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta thu được: 
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2
1 2 1 21 2 1 2
... ... ... 1.
2( ... ) 2( ... )( ... )( ... )
n n n n
n nn n
a b a b a b a a a b b b
a a a b b ba a a b b b
+ + + + + + + + +
£ + =
+ + + + + ++ + + + + +
Và như vậy bất đẳng thức đã được chứng minh xong. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
2 2 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2
1 2
...
, 1,
...
... 0.
ni
i n
n
n
a a aa i n
b b b b
aa a
b b b
+ + +
= " =
+ + +
Û = = = ³
Tương tự  ... t; " Û D = - - - £
Û D = - + + + - - + - + + £
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng,như vậy bài toán đã được giải quyết. 
ii)Phương pháp tạo tam thức. 
Để chứng minh f g³ . Ta có thể chuyển 2 ,24 0f g b ac b ac- = - = - ³ Khi đó ta 
sẽ tạo ra tam thức bậc hai 2( ) axf x bx c= + + và chứng minh ( )f x luôn có nghiệm bằng 
cách chứng minh tồn tại a sao cho ( ) 0af a £ hay tồn tại ,a b sao cho ( ) ( ) 0f fa b £ . 
Ta xét ví dụ sau: 
Bài tóan: 
Cho 2 2 2 21 2 3 ... .na a a a³ + + + Chứng minh rằng: 
( )( )2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2... ... ( ... )n n n na a a b b b a b a b a b- - - - - - £ - - - 
Bất đẳng thức trên có tên gọi là bất đẳng thức Aczela. 
Bất đẳng thức đã nằm ở một dạng rất đẹp mà t among muốn: ,2 , 0.ac b a£ ³ 
Trước hêt ta xét trường hợp 2 2 2 21 2 3 ... na a a a= + + + ,khi đó bất đẳng thức là hiển 
nhiên vì vế phải luôn không âm. 
Trường hợp 2 2 2 21 2 3 ... na a a a> + + + ,ta xét tam thức bậc hai: 
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
( ) ( ... ) 2( ... ) ( ... )
( ) ( ) ( ) ... ( )
n n n n
n n
f x a a a x a b a b a b x b b b
a x b a x b a x b a x b
= - - - - - - - + - - -
= - - - - - - - -
Ta có: 
2 2
1 2
1 2 1
1 1 1
... 0n n
ab af b b b b
a a a
é ùæ ö æ ö æ ö
ê ú= - - + + - £ç ÷ ç ÷ ç ÷
ê úè ø è ø è øë û
Do đó phương trình ( ) 0f x = luôn có nghiệm, do đó: 
' 2
1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
( ... ) ( ... )( ... ) 0.
( ... )( ... ) ( ... )
n n n n
n n n n
a b a b a b a a a b b b
a a a b b b a b a b a b
D = - - - - - - - - - - £
Þ - - - - - - £ - - -
Sau đâu sẽ là phần bài tập dành cho các bạn: 
Bài 1: 
Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 ( ), , , , , .a b c d e a b c d e a b c d e+ + + + ³ + + + " 
Bài 2: 
Chứng minh rằng: 
[ ]2 2 2 21 2 1 2(1 ... ) 4( ... ), 0,1n n ia a a a a a a+ + + + ³ + + + " Î 
Bài 3: 
Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 3 3 3( ) 3( )a b c a b b c c a+ + ³ + + . 
Bài tóan số 3 là một bài tóan ứng dụng tam thức bậc hai cực khó, bạn nào làm 
được bài tóan này xin hãy gửi thư cho chúng tôi, “nhóm chuyên đề 12 Toán trường Phổ 
thông Năng Khiếu-Đại học Quốc Gia,Thành phố Hồ Chí Minh”. Năm bạn gửi lời giải 
sớm nhất sẽ được gửi tặng một món quà của chúng tôi,các bạn nhớ ghi địa chỉ rõ ràng 
trong thư gửi đến để thuận tiện trong việc gửi quà cho các bạn J. 
i)Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối luôn gây khó khăn cho chúng ta trong 
việc tính tóan, do đó bất đẳng thức với dấu giá trị tuyệt đối không phải là một vấn đề đơn 
giản. Trước hết chúng ta hãy điểm qua một số bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản: 
0x
x x
x y x y
x y x y
³
³
+ £ +
- ³ -
Các bất đẳng thức trên tuy cơ bản và đơn giản nhưng chúng ứng dụng vào việc 
giải quyết các bài tóan về dấu giá trị tuyệt đối rất tốt,chúng ta hãy xét qua một số ví dụ 
Bài tóan: 
Cho 1 2 ... na a a£ £ £ 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1 2 ... nA x a x a x a= - + - + + - 
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK Tp.HCM) 
Giải: 
Ta xét 2 trường hợp, n chẵn và n lẻ. 
Với n chẵn,đặt 2n k= . Ta có: 
1 2 1 2 2
1 2 1 2 2
1 2 1 2 2
... ...
... ...
... ... .
k k k k
k k k k
k k k k
A x a x a x a a x a x a x
x a x a x a a x a x a x
a a a a a a
+ +
+ +
+ +
= - + - + + - + - + - + + -
³ - + - + + - + - + - + + -
= - - - - + + + +
Dấu bằng có thể xảy ra, chẵn hạn như .kx a= 
Với n lẻ, đặt 2 1n k= + . Ta có: 
1 2 1 2 3 2 1
1 2 2 3 2 1
1 2 2 3 2 1
... ...
... 0 ...
... ...
k k k k k
k k k k
k k k k
A x a x a x a x a a x a x a x
x a x a x a a x a x a x
a a a a a a
+ + + +
+ + +
+ + +
= - + - + + - + - + - + - + + -
³ - + - + + - + + - + - + + -
= - - - - + + + +
Dấu bằng có thể xảy ra, chẵn hạn như 1kx a += . 
Lời giải của bài tóan trên có lẽ là khá kỹ thuật, tuy nhiên mọi thứ đều có nguồn 
gốc của nó. Tác giả đã phải làm với các trường hợp n nhỏ rồi mới có thể giải một cách 
tổng quát. Đây cũng là một kinh nghiệm trong học và làm Tóan, chúng ta nên bắt đầu từ 
những cái nhỏ và khái quát lên cho cái lớn. 
Ngòai việc áp dụng bất đẳng thức x x³ , ta còn có thể sử dụng bất đẳng thức: 
1 2 1 2... ...n nx x x x x x+ + + ³ + + + để giải quyết bài tóan trên. 
Một phương pháp cũng hay sử dụng đối với dấu giá trị tuyệt đối nói dhung là xét 
từng khỏang để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 
Đôi khi,chúng ta cũng thường xuyên dử dụng các bất đẳng thức cổ điển trong việc 
chứng minh các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, nhất là bất đẳng thức 
Bouniakovski. Bởi lẻ áp dụng bất đẳng thức này, các giá trị tuyệt đối sẽ được bình 
phương làm mất dấu giá trị tuyệt đối. 
Ta thử xét một ví dụ 
Bài toán: 
Cho ,a b là các số thực thỏa mãn 2 2 1.a b+ = Chứng minh rằng: 
( ) ( )1 1 1 1 2 6a b a b+ + + + - + - £ 
Lời giải dựa trên bất đẳng thức Bouniakovski. Ta làm như sau: 
2 2 21. 1 1. 1 2 ( 1) ( 1) 2 1a a a a aé ù+ + - £ - + - = +ë û 
2 2 21. 1 1. 1 2 ( 1) ( 1) 2 1b b b b bé ù+ + - £ - + + = +ë û 
2 2 2 22. 1 2. 1 8( 2) 2 6.a b a b+ + + £ + + = 
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế,ta có điều phải chứng minh. 
Sau đây là các bài tập áp dụng dành cho bạn đọc: 
Bài 1: 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức sau ,biết [ ]2,3x Î - 
a) 2 1 3.A x= + + 
b) 1 2 1B x x= + + - 
c) 2 2C x x= - 
Bài 2: 
Chứng minh rằng: 
2 23( 1 1) 4( ) 10 ( 1)( 1)ab ab a b a b a b+ + - + + + - £ + + 
Bài 3: 
Cho các số thực [ ], , 1, 2x y z Î 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
2 2 2
( ) ( ) ( )
xy yz xz
P
z x y x y z y x z
- - -
= + +
+ + +
B. Một số vấn đề về cực trị phân thức. 
a)Một số kiến thức cần nhớ: 
Tam thức bậc hai 
2 2
2 4( ) ax
4
b b acf x bx c a x
a a
-æ ö= + + = + -ç ÷
è ø
i) Nếu 
2
min
40,
4
b aca f
a
-
> = - khi 
2
bx
a
-
= 
ii)Nếu 
2
ax
40,
4m
b aca f
a
-
< = - khi 
2
bx
a
-
= 
Định lý: Nếu tam thức bậc hai ( )f x có hai nghiệm thì phân tích được thành nhân tử. 
b)Một số dạng toán: 
i) Dạng 2( ) axf x bx c= + + 
Phương pháp giải và các kết quả về dạng bất đẳng thức này đã được nêu trong phần một 
số kiến thức cần nhớ. 
Dưới đây là một số bài tập áp dụng. 
Bài 1: Tìm cực trị các đa thức sau: 
a. Tìm 2min 4 4 6.A x x= - + b.Tìm ax B=-x+3 x 7m - 
c. Tìm min và max của 2( ) 4 6f x x x= - + khi [ ]3, 4x Î - 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất ( ) ( 1)( 2)( 3)( 6)f x x x x x= - + + + 
ii) Dạng 2( ) ax
mf x
bx c
=
+ +
Phương pháp chủ đạo trong việc tìm giá trị nhỏ nhất,lớn nhất của 2( ) axg x bx c= + + , sau 
đó tương ứng thành giá trị lớn nhất của 1
( )g x
,sau đó nhân vào m để đạt được điều cần 
tìm với 
( )
m
g x
. 
Dưới đây là một số bài tập áp dụng. 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2
2( )
6 5 9
f x
x x
=
- -
. 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của 6( )
3 7
f x
x x
-
=
- +
iii)Dạng 2( ) ax
mx nf x
bx c
+
=
+ +
Phương pháp tổng quát để hạ bệ những phân thức dạng này là: 
Bước 1: (Đổi biến) 
Đặt mx n y+ = . 
Bước 2: (Chuyển biến) 
Chuyển ( )f x thành ( )f y bằng cách chuyển 2 ' 2 ' 'ax bx x a y b y c+ + = + + (thay 
y nx
m
-
= ) 
Khi đó: ' 2 ' '( ) ( )
yf x f y
a y b y c
= =
+ +
Thông thường ' 'a c .Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 
' 2 ' ' '2a y c a c y+ ³ để đánh giá. Tuy nhiên nhớ cẩn thận các 
trường hợp 0.y < 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2
3 4
1
xA
x
-
=
+
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức 2
4 3
1
xB
x x
+
=
+ +
iv) Dạng 
2
2( ) , 0.ax
mx nx df x am
bx c
+ +
= ¹
+ +
Phương pháp giải là đưa về dạng iii), cụ thể như sau: 
( )22
2 2
2
ax
ax ax
ax
m mb mcbx c n x d
mx nx d a a a
bx c bx c
mb mcn x d
m a a
a bx c
æ ö æ ö+ + + - + -ç ÷ ç ÷+ + è ø è ø=
+ + + +
æ ö æ ö- + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø= +
+ +
Ta xét qua một số bài tập sau: 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất 
2
2
3 8 6
2 1
x xA
x x
- +
=
- +
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất 
2
2
3 14
4
xB
x
+
=
+
C.Từ một đẳng thức đại số. 
Bài viêt này sẽ cung cấp cho các bạn một số bất đẳng thức được hình thành từ các đẳng 
thức đại số: 
Trước hết ta nếu lại một số đẳng thức hay của đại số: 
1
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
ab bc ca
b c c a c a a b a b b c
x y y z y z z x z x x y
x y y z y x z x z x x y
+ + = -
- - - - - -
+ + + + + +
+ + = -
- - - - - -
(1)
(2)
Trong đó ( , , )a b c và ( , , )x y z là các bộ số khác nhau phần biệt. 
Lưu ý với các bạn rằng hai đẳng thức này là tương đương nhau, chẵn hạn trong (2) , đặt 
, ,x y a y z b z x c+ = + = + = ta sẽ thu được đẳng thức (1) 
Từ các đẳng thức trên ta rút ra một số hệ quả trực tiếp sau đây: 
2 2 2
2 2 2
2
2
a b c
b c c a a b
x y y z z x
x y y z z x
æ ö æ ö æ ö+ + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷- - -è ø è ø è ø
æ ö æ ö+ + +æ ö+ + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷- - -è øè ø è ø
Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM năm 1999. 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
5 .
( ) ( ) ( ) 2
1
( ) ( ) ( ) 4
x y y z z x
x y y z z x
xy yz zx
x y y z z x
+ + +
+ + ³
- - -
+ + ³ -
- - -
Ta hãy xét một số bài tóan lien quan đến các bất đẳng thức thú vị này. 
Bài tóan dưới đây là bài tóan về bất đẳng thức Nesbit ở dạng hiệu: 
Bài toán: 
Cho , ,a b c là các số thực phân biệt. Chứng minh rằng: 
2.a b c
b c c a a b
+ + ³
- - -
Rõ rang các bạn cũng thấy được mối lien hệ với các bất đẳng thức ta đang xét rồi 
chứ, để mối quan hệ thêm rõ rang ta bình phương hai vế của bất đẳng thức, và ta thu 
được: 
2 2 2
2 4
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c ab bc ca
b c c a a b b c c a c a a b a b b c
æ öæ ö æ ö æ ö+ + + + + ³ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷- - - - - - - - -è ø è ø è ø è ø
Mặc khác ta đã có: 
2 2 2
2a b c
b c c a a b
æ ö æ ö æ ö+ + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷- - -è ø è ø è ø
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
ab bc ca ab bc ca
b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b a b b c
æ ö
+ + ³ + + =ç ÷- - - - - - - - - - - -è ø
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế và ta thu được điều cần chứng minh. 
Sau đây là một số bài tập dành cho các bạn đọc: 
Bài 1: Cho các số thực , ,x y z khác nhau đôi một. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
3 3 3 3 3 3
3 3 3( ) ( ) ( )
x y y z z xA
x y y z z x
- - -
= + +
- - -
. 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1( )
( ) ( ) ( )
B x y z
x y y z z x
é ù
= + + + +ê ú- - -ë û
Trong đó , ,x y z là các số thực phân biệt. 
Bài 3: (Dành cho các bạn học sinh lớp 10 hoặc cao hơn) 
Chứng minh rằng nếu 
2
x y z p+ + = thì ta có bất đẳng thức sau: 
cos cos cos 2.
sin( ) sin( ) sin( )
x y z
y z z x x y
+ + ³
- - -
Tài liệu tham khảo 
· Bất Đẳng Thức Trần Phương. 
· Giới thiệu tóm tắt cuộc đời và GS.Nguyễn Cang 
sự nghiệp các nhà Tóan Học-Tập 1,2 PGS.Nguyễn Đăng Phất. 
· Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ 
· Các bài tóan cực trị của hàm số-Tập 1 Phan Huy Khải.