Chuyên đề Chứng minh một số không phải là số chính phương Đại số Lớp 8

Chứng minh một số không phải là số chính ph−ơng 
Ph−ơng pháp 1. 
Nhìn chữ số tận cùng: 
- Vì số chính ph−ơng bằng bình ph−ơng của một số nên suy ra.Số chính ph−ơng 
phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9. Từ đó ta có thể giải 
đ−ợc các bài toán dạng sau đây: 
Bài toán 1. 
Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012. Không là số chính 
ph−ơng. 
LG. 
- Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 20042,20032,20022,20012lần l−ợt là 6,9,4,1. 
Do đó n có chữ số tận cùng là 8. Nên n không phải là số chính ph−ơng. 
Chú ý: Nhiều khi số đG cho có chữ số tận cùng là một trong các số: 0,1,4,5,6,9 
nh−ng vẫn không phải là số chính ph−ơng, khi đó ta phải l−u ý thêm: Nếu một số 
chính ph−ơng chia hết cho số nguyên tố p thì nó phải chia hết cho p2 
Bài toán 2. 
Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính ph−ơng. 
LG. 
- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nh−ng không 
chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90). Do đó số 1234567890 không phải 
là số chính ph−ơng. 
Chú ý: 
- Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 4 (vì 
hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính ph−ơng. 
Bài toán 3. 
Chứng minh rằng xnếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không 
phải là số chính ph−ơng. 
LG. 
Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không 
chia hết cho 9. Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không 
chia hết cho 9. Do đó số này không phải là số chính ph−ơng. 
Ph−ơng pháp 2. 
Dùng tính chất của số d−. 
Bài toán 4. 
Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính 
ph−ơng 
LG. 
- ở đây ta không gặp tr−ờng hợp nh− bài toán 3 nên ta phải nghĩ đến ph−ơng pháp 
khác. 
Ta thấy chắc chắn số này chia cho 3 d− 2 nên ta có lời giải sau: 
- Vì số chíng ph−ơng khi chia cho 3 chỉ có thể d− 0 hoặc 1 mà thôi ( đây là kết quả 
của bài toán mà ta dễ dàng chứng minh đ−ợc). 
- Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 d− 2. Nên số đó không 
phải là số chính ph−ơng. 
Bài toán 5. ( T−ơng tự bài toán 4) 
Chứng minh tổng các số tự nhien liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số 
chính ph−ơng. 
Bài toán 6. 
Chứng minh số: 20044 + 20043 + 20042 + 23 không phải là số chính ph−ơng. 
Ph−ơng pháp 3. 
Tình huống chứng minh n không là số chính ph−ơng nh−ng n chia cho 3 vẫn d− 0 
hoặc 1. 
VD: Bài toán 7. 
Chứng minh số: n = 44 + 444 + 4444 + 44444 + 15 không là số chính ph−ơng. 
Nhận xét: 
- Nếu chia n cho 3 số d− sẽ là 1. Vậy không giải đ−ợc theo cách của bài toán 
3,4,5,6. 
- Nếu xét chữ số tận cùng ta thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không giải 
đ−ợc theo cách của bài toán 1,2. 
Vậy ở đây ta phải dựa vào nhận xét sau (ta có thể cm): 
Một số chính ph−ơng khi chia cho 4 thì số d− chỉ có thể là 0 hoặc 1. Lúc đó ta sẽ 
giải đ−ợc bài toán này. 
Ph−ơng pháp 4. 
 Ph−ơng pháp kẹp giữa hai số chính ph−ơng liên tiếp: n2 và (n+1)2. 
Ta thấy: Nếu n và k ∈ N và thỏa mGn điều kiện: n2 < k < (n+1)2 thì lúc đó k không 
phải là số chính ph−ơng. 
Bài toán 8. 
Chứng minh số 4014025 không phải là số chính ph−ơng. 
Nhận xét: 
Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 d− 1 và chia cho 4 cũng d− 1, 
nên không thể áp dụng bằng cách trên. 
LG. 
Ta thấy: 20032 = 401209; 20042= 4016016. Nên 20032< 4014025 < 20042. Chứng 
tỏ số 4014025 không phải là số chính ph−ơng. 
Bài toán 9. 
Chứng minh: 
A = n(n+1)(n +2)(n+3) không là số chính ph−ơng với mọi n∈N, n≠ 0 
Nhận xét: Nếu đG quen dạng này ta có thể thấy A+1 phải là số chính ph−ơng ( bài 
toán lớp 8) nh−ng lớp 6,7 có thể giải theo cách sau. 
LG. 
Ta có: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + 1 
 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 
 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 
 = (n2+3n +1)2 
Mặt khác (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A 
Điều này hiển nhiên đúng vì: n > 1. Chứng tỏ 
(n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2. Suy ra A không phải là số chính ph−ơng. 
Một số bài toán khác. 
Bài 10. 
Chứng tỏ số: 235+2312+232003 không là số chính ph−ơng. 
Gợi ý: Nghĩ ngay đến phép chia cho 3 hoặc chia cho 4 
Bài 11. 
Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh đ−ợc ghi một trong các số 
từ 1 đến 1001 (không có mảnh nào ghi khác nhau). Chứng minh rằng không thể 
ghép tất cả các mảnh bìa đó liền nhau để đ−ợc một số chính ph−ơng. 
Bài 12. 
Chứng minh rằng tổng bình ph−ơng của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là 
số chính ph−ơng. 
Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho 4 
Một số bài toán liên quan về số chính ph−ơng 
Bài 1. Chứng minh rằng tổng của n số lẻ đầu tiên là một số chính ph−ơng. 
LG. 
Ta tính tổng n số lẻ đầu tiên: 
S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1). 
Lúc này ta phải xét hai tr−ờng hợp: n chẵn và n lẻ. 
Tr−ờng hợp 1: n chẵn 
S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+... Có n/2 số hạng , mà mỗi số hạng có giá 
trị là 2n 
Vậy S = 2n. 
2
n = n2. 
Tr−ờng hợp 2: n lẻ 
Để tính S ta cũng ghép nh− tr−ờng hợp trên nh−ng ta đ−ợc 
2
1−n
 số hạng, 
mỗi số hạng có giá trị là 2n. Nên tổng S = 
2
1n −
.2n + n = 
2
2n2n2n 2 +−
= n2 
Vậy S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1) = n2 nên S là một số chính ph−ơng. 
Từ bài toán trên ta cũng có nhận xét tổng quát: 
Tổng các số lẻ đầu tiên thì bằng bình ph−ơng của số các số ấy 
Bài 2. 
Chứng minh một số là số chính ph−ơng khi và chỉ khi số −ớc của nó là một 
số lẻ. 
Bài 3. 
Biển số xe máy của bạn Hùng là một số có 4 chữ số, có đặc điểm nh− sau: 
Số đó là số chính ph−ơng, nếu lấy số đầu trừ đi 3 và số cuối cộng thêm 3 thì đ−ợc 
một số cũng là số chính ph−ơng. Tìm số xe của bạn Hùng.