Chuyên đề Cách vẽ đường phụ trong bài toán Hình học - Năm học 2007-2008 - Lương Văn Ngọc

CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC 
	¯&¯
	 PHẦN 1: MỞ ĐẦU
	Toán học là bộ môn khoa học , sự phát triển của khoa học kỹ thuật cùng với sự phát triển nghành toán học đã được khẳng định từ lâu. Có thể nói những thành tựu của khoa học kỹ thuật trên tất cả các lĩnh vực đều có các công trình của toán học. Toán học xuất phát từ thực tiễn do nhu cầu từ đời sống như đong đo cân đếm đến đo đạc.Một trong những bộ môn toán gần gũi đến đời sống là bộ môn toán hình học ra đời sớm nhất và có từ xa xưa do nhu cầu của con người để đo đạt diện tích của các thửa ruộng, mảnh vườn giữa các gia đình hoặc các thị tộc với nhau. Tuy nhiên trong thực tế có nhiều mảnh vườn và thửa ruộng nhiều hình dạng khác nhau vì thế không tính diện tích một cách đơn giản được, vì vậy cần phải sử dụng các đường phụ để chia thửa ruộng thành các hình có công thức tính diện tích. Như vậy việc vẽ đường phụ trong toán hình là cần thiết. Nhưng làm thế nào để biết cách vẽ đường phụ trong bài toán hình.
 	Thực tế có nhiều bài toán hình nếu biết cách vẽ đường phụ thì việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn. Tuy nhiên không phải ai cũng biết cách vẽ đường phụ bỡi vì mỗi bài toán có một cách vẽ đường phụ riêng. Nhìn chung vẽ đường phụ có nhiều cách, không có một phương pháp cố định. Qua nhiều năm giảng dạy ở trường THCS tôi thấy học sinh không biết vẽ đường phụ khi gặp bài toán có kẽ đường phụ cho hợp lí để tiếp tục chứng minh bài toán, nếu có vẽ cũng vẽ một cách tuỳ tiện làm cho bài toán chừng minh càng trở nên phức tạp hơn và rối mắt. 
	 Vì vậy để giúp cho công tác giảng dạy cũng như học tập khi giải các bài toán có kẽ đường phụ trong bài toán hình học Để giúp các bạn vẽ đường phụ cho phù hợp với bài toán và để nhận ra từng loại bài toán có cách vẽ khác nhau .Tôi xin giới thiệu vài cách vẽ đường phụ cho hợp lý và học sinh dễ nhận ra cách vẽ đường phụ trong bài toán hình học phẳng. Tài liệu này gồm ba phần:
	Phần I: Mở đầu
	Phần II: Nội Dung
	Phần III: Kết luận và kiến nghị
	PHẦN 2 NỘI DUNG :
I.CƠ SƠ LÝ LUẬN VÀTHỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI :
a. Cơ sở lý luận : 
 	- Đặt ẩn phụ, vẽ thêm đường phụ là những thao tác tư duy thường gặp trong giải toán. Đối với bộ môn hình học, vẽ thêm đường phụ để chứng minh là nét sáng tạo và rèn luyện tư duy logíc toán học . Việc vẽ đường phụ không phải là việc làm mò mẫm, tuỳ tiện. Thực tế việc vẽ đường phụ phải có mục đích giúp cho chứng minh bài toán hình được dễ dàng hơn. Vẽ đường phụ phải theo các bước dựng hình cơ bản.
b.Cơ sở thực tiễn :
	Thuận lợi: Hiện nay do tốc độ phát triển khoa học kỉ thuật nên các em đã có ý thức bộ môn toán. Bên cạnh đó thông tin đài chúng ngày một rộng rãi nên tài liệu tham khảo của các em ngày một nhiều qua các tài liệu đó các em có thể học các các cách chứng minh và kinh nghiệm học tập bộ nôn toán. Một số phụ huynh học sinh ở những năm gần đây thừờng xuyên quan tâm hơn về việc học tập của các em hơn.
	Khó khăn: Học sinh học rất yếu bộ môn toán và yếu nhất là bộ môn toán hình. Nguyên nhân là các em chưahiểu rõ các khái niệm và định lí. Các bước dựng hình cơ bản các em chưa nắm chắt vì thế khi vẽ hình các em khó vẽ hình chính xác và đúng yêu cầu bài toán đặt biệt là khi có bài toán có kẽ đường phụ. Các em còn lười làm bài tập ở nhà nếu có làm cũng làm đối phó 
	II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGUYÊN CỨU:
- Khi giảng dạy bộ môn hình học 7 gặp bài toán như sau:
Cho hình vẽ 1 số đo các góc = 135 , = 70 , =25
Chứng minh Ax // Cy
Giáo Viên không nói gì thêm thì học sinh không thể chứng minh được theo bảng thống kê sau:
Lớp 
Số HS 
Số học sinh làm được
Số học sinh không làm được
7A
31
 1
 30
7B
29
 2
 27
7C
18
 0
 18
* Qua bảng thống kê trên ta thấy học sinh khó vẽ đường phụ để tiếp tục chứng minh.
 Nguyên nhân học sinh không biết vẽ đường phụ:
- Vì không biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho trong hình vẽ để gắn kết điều đã cho và điều cần chứng minh. 
- Chưa biết khai thác các dự kiện bài ra để làm xuất hiện các đại lượng mới; các quan hệ mới. 
- Vì đường phụ có nhiều loại nên không có phương pháp vẽ cố định đó là việc khó trong việc biên soạn sách giáo khoa vì không biết bắt đầu từ đâu nên không nói thì hơn
III CÁC GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
	1/ Giải pháp 1:
Tạo nên một nên một đoạn thẳng thứ 3 làm cho hai đoạn thẳng hay hai góc trở nên liên hệ với nhau 
Ví dụ 1: Bài tập toán lớp 7: 
Trong hình 2 cho các số đo của các góc: 
 = 1350 ; = 1700 ; = 250 
Chứng minh Ax // Cy	 
	Phân tích: vì giữa Ax và Cy không có các cặp góc so le trong hoặc cặp góc đồng vị để tìm cách chứng minh các cặp góc đó bằng nhau. Do đó nếu từ B kẽ Bz // Ax xuất hiện các cặp góc so le trong và cặp góc đồng vị để ta chứng minh Bz // Cy thì ta có Ax // Cy
Chứng Minh:
Kẽ Bz //Ax ( hình 2) theo tính chất thì
Các đường Cy và Bz cắt ngang đường thẳng BC tạo thành hai góc so le trong.
 Bz // Cy 
 Ax // Cy
+ Nếu từ B ke tia Bz về phía bên phải thử chứng được bài toán không?
	2/ Giải pháp 2:
Tạo nên những đại lượng mới ( có thể là đoạn thẳng hoặc góc ) bằng nhau thêm vào những đại luợng bằng nhau mà bài toán đã cho để chứng minh cho dễ
Ví Dụ 2: (Bài toán lớp 8):
Chứng minh rằng trung tuyến ứng cạnh huyền của tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyên	
* Phân tích: 
Trong bài toán chỉ có một đại luợng bằng nhau là DA = AB như vậy không chứng minh được DC = DA. Ta lấy trung điểm của AC là E nối DE ta có cặp đoạn thẳng bằng nhau AE = EC. Theo định lí đường trung bình ta có DE // BC 
	Chứng minh ; DC=DA
*Chứng minh:
	Lấy trung điểm của AC là E ( hình 3) nối DE suy ra DE // BC ( đường trungbình của tam giác) ( đồng vị ) ()
	Ta có: ( hai cạnh góc vuông) DC = DA
	3/ Giải pháp 3: 
Biến đổi hình vẽ làm cho bài toán dễ chứng minh hơn
Ví dụ 3: ( Bài tập toán lớp 8) 
Cho tam giác ABC có AB > AC và BD; CE là đường cao .
Chứng minh rằng : AB + CE > BD + AC?
Phân tích:
 Nếu tạo nên một đoạn thẳng AB + CE và một đoạn thẳng khác bằng AC + BD thì không chứng minh được. Do đó ta phải biến đổi kết luận của bài tóan và chuyển vế bất đẳng thức của bài toán ta được AB – AC > BD – CE . trên cạnh AB ta lấy lấy điểm F sao cho AF = AC thì AF = AB – AC 
Dựng FG AC ; FH BD tạo nên một đoạn thẳng BH = BD – CE .
Như vậy ta đã biến đổi bài toán trên thành bài toán khác, chứng minh: BF > BH
Chứng minh:
Trên AB lấy điểm F sao cho AF = AC ( hình 4), nối FC , dựng FG AC ; FH BD 
Ta thấy FG AC ; AC BD FG // HD 
FH BD ; AD BD FH // GD
FHDG là hình bình hành
FG = HD 
FG = CE ( Hai đường cao ứng với 2 cạnh bên của tam giác cân)
BH = BD – HD = AB = AC vì = 900
BF > BH hay AB – AC > BD – CE 
	Vậy AC + CE > AC + BD
	4/ Giải pháp 4:
Làm cho điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến việc chứng minh một tập hợp làm cho chúng có liên hệ với nhau
Ví dụ 4:( Bài toán lớp 8)
Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau thì hình chiếu của chúng trên một đường thẳng thứ ba cũng bằng nhau.
*Phân tích:
Sự bằng nhau của AB và CD và sự bằng nhau của EF và GH không thấy ngay được sự liên hệ với nhau.
Hai đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau là EF và GH.
Từ định lý “hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.Ta đã biết AE//BF//CG//DH ( E;F;G;H lần lượt là hình chiếu của A;B;C;D ). 
Ta có thể dựng thêm EK // AB; GL // CD để tạo nên hình bình hành ABKe và CDLG. Từ định lí “cạnh đối của hình bình hành ”ta có : EK = AB; GL = CD. Như vậy ta đã dời vị trí của AB và CD đến EK và GL để tạo thành hai cạnh tương ứng của tam giác EKF và GLH; trong đó ta cần chứng minh rằng 2 đoạn thẳng EF và Gh bằng nhau. Muốn có EF = GH, ta chỉ cần chứng minh EKF = GLH
Chứng minh:
Dựng EK // AB, GL // CD; AE// BF; CD//DH ( hai đoạn thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng).
 AEKB VÀ CGLD là hai hình bình hành.
 EK = AB = CD = GL 
 EK // GL
 và .
Vậy : EKF = GLH ( cạnh huyền góc nhọn)
 EF = GH.
	5/ Giải pháp 5: 
Tạo nên đoạn thẳng hay góc bằng tổng hiệu, gấp đôi hay một nửa đoạn thẳng hay góc cho trước để đạt mục đích chứng minh của bài toán.
Ví dụ 5:( bài toán lớp 9)
Khoảng cách từ trực tâm đến một đỉnh của tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh đó.
Phân tích:
	Muốn chứng minh BG = 2HE ta có thể tìm cách dựng một đoạn thẳng khác bằng gấp đôi đoạn thẳng HE.
Nhưng nếu kéo dài HE gấp đôi để đạt mục đích trên thì đoạn thẳng đó cũng không có liên hệ gì với BG cả nên phải nghĩ cách khác. Từ giả thuyết E là trung điểm của AC, ta thử nối CH và kéo dài đến L sao cho HL = CH. H là trung điểm của CL ., HE trở thành đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác CAL 
từ định lý “đường trung bình của tam giác bằng một nửa cạnh thứ ba” ta có LA = 2HE
ta quan sát hai đoạn thẳng LA và BG ta có thể chứng minh chúng là cạnh đối của một hình bình hành nên giải được bài toán này giải được.
Chứng minh:
Kéo dài CH và lấy điểm L trên Ch sao cho HL = Ch và nối LA và LB 
 LA // HE ( định lý về đường trung bình của tam giác)
 BD // HE (BD và HE cùng vuông góc với một đướng thẳng ) 
 LA // BD ( 1 )
tương tự ta cũng chứng minh được LB // AK ( 2 )
từ ( 1 ) và ( 2 ) ta suy ra LAGB là hình bình hành suy ra BG = 2 HF
chứng minh tương tự ta có AG = 2HF.
Kết quả sau khi vận dụng các giải pháp trên như sau:
Lớp 
Số HS 
Số học sinh làm được
Số học sinh không làm được
7A
31
 18
 13
7B
29
 19
 9
7C
18
 9
 9
PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
	1/ KẾT LUẬN:
Muốn vẽ đường phụ giúp ích cho việc chứng minh thì vẽ đường phụ phải có mục đích không nên vẽ đường phụ một cách tuỳ tiện nếu không thì chằng giúp ích được gì cho chứng minh ngược lại làm cho hình càng rối ren; hoa mắt; khó mà tìm được cách giải đúng.
Vẽ đường phụ phải tuân theo phép dựng hình cơ bản. Những đường không có trong phép dựng hình thì tuyệt đối không được vẽ.
	2/ KIẾN NGHỊ CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG:
*Ta thường gặp các loại đường phụ sau:
+ Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý hoặc một độ dài tuỳ ý hoặc một độ dài cho trước.
+ Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước mà ta cần chứng minh.
+ Từ một điểmcho trước hã đường vuông góc xuống một đường thẳng cho trước.
+ Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
+ Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với một đường thẳng khác một góc cho trước.
+ Nếu hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta nên vẽ dây cung chung.
+ Nếu bốn điểm nằm trên đường tròn nên vẽ đường tròn qua bốn điểm đó.
	3/BÀI TẬP THAM KHẢO :
Bài tập 1: chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ ba thì đi qua trung điểm cạnhï thứ ba
Bài tập 2: Chứng minh đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó?
Bài tập 3 Cho tam giác ABC; điểm M thuộc cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM . Điểm I di chuyển trên đường nào?
Bài tập 4: Cho góc xOy. Trên tia Ox; Oy lần lược lấy các điểm A và B. Vẽ ở bên ngoài góc xOy các tia Am,Bn song song với nhau. Biết . Chứng minh rằng Ox // Oy
Bài tập 5 Cho Vẽ BH AC ( H AC ), Gọi M là trung điểm AC, biết . Tính các góc của tam giác ABC
Bài tập 6 Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẽ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A cắt AB,AC tại D và E. 
chứng minh: BD = CE 
Bài tập 7: Chứng minh góc xen giữa cạnh đáy và đường cao của cạnh bên trong một tam giác cân bằng một nửa góc ở đỉnh.
Bài tập 8: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. tia DI và tia CB cắt nhau tại K. Kẽ đường thẳng qua D,vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại I. Chứng minh tổng không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
* Trên đây là một số giải pháp về vẽ đường phụ trong bài toán hình học phẳng. Trong quá trình tìm tòi và sưu tầm và nguyên cứu tôi đã cố gắng song chắc chắn có sai sót kính mong các anh chị đồng nghiệp và bạn đọc đóng góp ý kiến.
	4. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1/ SGK toán 6, SGK toán 7; SGK toán 8; SGK toán 9
2/ SGV toán 6, SGV toán 7; SGV toán 8; SGV toán 9
3/ Sách toán cơ bản và nâng cao toán 7 tác giả Vũ thế Hữu
5/ SBT toán 6 ; SBT toán 6 ; SBT toán 6 ; SBT toán 
—¯–
	Đạ Tẻh ngày 5 tháng 12 năm 2007
 Người Viết:
 Lương Văn Ngọc