Chuyên đề Bồi dưỡng Toán 8 - Trường THCS Phù Hóa

CHUYÊN ĐỀ 1: DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẤU TẠO SỐ
Dạng 1: Giải các bài tập thông thường về cấu tạo số
Dạng 2: Bài tập về chứng minh sự chia hết trực tiếp theo theo định nghĩa và tính chất
Dạng 3: Tìm giá trị của tham số sao cho biểu thức này chia hết cho biểu thức kia
Dạng 4: Chứng minh sự không chia hết và tìm số dư phép chia
Dạng 5: Phương pháp Quy nạp và nguyên tắc DRICLE để chứng minh sự chia hết.
Bài viết này đề cập đến dạng 1: 
 Giải các bài tập chia hết thông thường về cấu tạo số
I. Phạm vi: Bài tập thuộc dạng này thường là các bài toán “tìm số” hoặc điền số mà các điều kiện ràng buộc có liên quan đến tính chất chia hết và dấu hiệu chia hết
II. Ví dụ:
1.Ví dụ 1: Hãy thay các chữ số a, b để số hia hết cho 180.
Giải
 Số 180 chia hết cho 10, chia hết cho 9 nên chia hết cho 180 dấn đến chia hết cho 10 (1) ; chia hết cho 9 (2)
Từ (1) suy ra b=0. Từ (2) suy ra a+ b+10 9; kết hợp với b=0 => a+10 9 . Vì a là chữ số nên a=8. Thử lại 28440 chia hết cho 180. Vậy a=8; b=0
2. Ví dụ 2: biết rằng số vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 11, cho 13. tìm số đó?
Giải
Vì số vừa chia hết cho 7, cho 11, cho 13 mà BCNN(7;11;13) nên chia hết cho 1001 và thương tìm được là một số có 3 chữ số ( nếu thương có 4 chữ số thì số đã cho có 7 chữ số)
Gọi thương là Khi đó = 1001. hay ta có = . Suy ra a=8; b=7; c=9 và số phải tìm là 879879. thử lại ta thấy kết quả đúng.
3. Ví dụ 3 : Tôi nghĩ ra hai số tự nhiên liên tiếp trong đó có một số chi hết cho 9. Tổng của hai số là một số có những đặc điểm sau ;
a) Có ba chữ số
b) là bội của 5
c) Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là một bội của 9 
d) Tỗng chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục chia hết cho 4
Bạn hãy đoán xem tôi nghĩ ra số nào ?
Giải
Gọi 2 số đầu bài đã nêu là N ; N+1 (N thuộc số tự nhiên)
Từ đầu bài ta có :
N+N+ 1 = ( a, b, c là các chữ số)
chia hết cho 5
 a+c chia hết cho 9
a+b chia hết cho 4.
Theo a) ta có là số lẻ
Theo b) và c khác 0 nên c=5
Theo c) => a+5 chia hết cho 9. Mà a là chữ số nên a= 4
Theo d) => a+b chia hết cho 4 => 4+b chia hết cho 4 mà b là chữ số nên b= 0 hoặc b =4 hoặc b=8
 Thử chọn ta được b=8 và hai số đó là 242 và 243
Bài tập
Bài 1 : Hãy tìm chữ số x để
Bài 2 : Tìm x ; y để 
Bài 3 ; cho số . Biết rằng Hãy tìm để số đã cho chia hết cho 2 ; 3 ; 4 ; 5
Bài 4 : Tìm x ; y để chia hết cho 3 ; 4 ; 5
Bài 5 : Phải thay x ; y bởi chữ số nào để chia hết cho 3
Bài 6 : Phải thay x bởi chữ số nào để :
12+ chia hết cho 3
THUẬT TOÁN ƠCLIT
1. Thuật toán Ơclit
 Để tìm USCLN của hai số a và b ta có thể dùng cách chia liên tiếp gọi là thuật toán Ơclit như sau:
Bước 1: Lấy a chia cho b
Nếu a b thì ƯSCLN (a, b) =b
Nếu a b (dư r) thì làm tiếp bước 2
Bước 2: Lấy b chia cho số dư r
Nếu b r thì ƯSCLN (a, b) =r
Nếu b r (dư r1) thì làm tiếp bước 3
Bước 3: Lấy r chia cho số dư r1
Nếu r r1 thì ƯSCLN (a, b) =r1
Nếu r r1 (dư r2) thì làm tiếp bước 4
Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2
Nếu r1 r2 thì ƯSCLN (a, b) =r2
Nếu r1 r2 (dư r3) thì làm tiếp tục như trên cho đến khi số dư bằng 0
 Số dư cuối cùng khác 0 trong dãy phép chia liên tiếp như trên là ƯSCLN (a, b)
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: 
Tìm ƯSCLN (450; 198)
Giải
Bước 1: Lấy 450 chia cho 198
 450 : 198 = 2 (dư 54) 
Bước 2: Lấy 198 chia cho số dư 54
 198 : 54 = 3 (dư 36) 
Bước 3: Lấy 54 chia cho số dư 36
 54 : 36 = 1 (dư 18) Số dư cuối cùng khác 0
Bước 4: Lấy 36 chia cho số dư 18
 36 : 18 = 2 (dư 0) Số dư cuối cùng bằng 0
ƯSCLN (450; 198) =18 .
Thí dụ 2:
 Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯSCLN của là 15 và phép chia liên tiếp của thuật toán Ơclit các thương lần lượt là 2; 15; 9 . 
Giải
Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a, b (a>b) 
Theo đầu bài ta có 3 phép chia liên tiếp nên số dư trong phép chia thứ hai cho ta ƯSCLN (a, b) 
Ta có các phép chia sau:
a = 2b + r (1) 
b = 2r + r1 (trong đó r1=15) (2) 
r = r1.9 (3) 
Vậy r = 15.9 = 135 
b = 3.135 +15 = 420
a = 2.420 + 135 = 975
Hai số cần tìm là 975 và 420 . 
*****************************
CHUYÊN ĐỀ 2 : DẤU HIỆU CHIA HẾT
PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA
	Cho 2 số nguyên a và b trong đó b ¹ 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho:
a = bq + r Với 0 £ r £ | b|
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra | b| số dư
	r Î {0; 1; 2; ; | b|}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
	Ký hiệu: aMb hay b\ a
 Vậy:
a M b Û Có số nguyên q sao cho a = bq
II. CÁC TÍNH CHẤT
Với " a ¹ 0 Þ a M a
Nếu a M b và b M c Þ a M c
Với " a ¹ 0 Þ 0 M a
Nếu a, b > 0 và a M b ; b M a Þ a = b
Nếu a M b và c bất kỳ Þ ac M b
Nếu a M b Þ (±a) M (±b)
Với " a Þ a M (±1)
Nếu a M b và c M b Þ a ± c M b
Nếu a M b và cMb Þ a ± c M b
 Nếu a + b M c và a M c Þ b M c
 Nếu a M b và n > 0 Þ an M bn
 Nếu ac M b và (a, b) =1 Þ c M b
 Nếu a M b, c M b và m, n bất kỳ am + cn M b
 Nếu a M b và c M d Þ ac M bd
 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT
	Gọi N = 
1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N M 2 Û a0 M 2 Û a0Î{0; 2; 4; 6; 8}
+ N M 5 Û a0 M 5 Û a0Î{0; 5}
+ N M 4 (hoặc 25) Û M 4 (hoặc 25)
+ N M 8 (hoặc 125) Û M 8 (hoặc 125)
2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
+ N M 3 (hoặc 9) Û a0+a1++an M 3 (hoặc 9)
3. Một số dấu hiệu khác
+ N M 11 Û [(a0+a1+) - (a1+a3+)] M 11
+ N M 101 Û [(++) - (++)]M101
+ N M 7 (hoặc 13) Û [( + +) - [( + +) M11 (hoặc 13)
+ N M 37 Û ( + +) M 37 
+ N M 19 Û ( a0+2an-1+22an-2++ 2na0) M 19
IV. ĐỒNG DƯ THỨC
a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.
	Ký hiệu: a º b (modun)
	Vậy: a º b (modun) Û a - b M m
b. Các tính chất
Với " a Þ a º a (modun)
Nếu a º b (modun) Þ b º a (modun)
Nếu a º b (modun), b º c (modun) Þ a º c (modun)
Nếu a º b (modun) và c º d (modun) Þ a+c º b+d (modun)
Nếu a º b (modun) và c º d (modun) Þ ac º bd (modun)
Nếu a º b (modun), d Î Uc (a, b) và (d, m) =1 
 Þ (modun)
Nếu a º b (modun), d > 0 và d Î Uc (a, b, m) 
 Þ (modun )
V. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ
1. Định lý Euler
	Nếu m là 1 số nguyên dương j(m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1
	Thì aj(m) º 1 (modun)
Công thức tính j(m)
	Phân tích m ra thừa số nguyên tố
	m = p1a1 p2a2  pkak với pi Î p; ai Î N*
Thì j(m) = m(1 - )(1 - )  (1 - )
2. Định lý Fermat
	Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì ap-1 º 1 (modp)
3. Định lý Wilson
	Nếu p là số nguyên tố thì
( P - 1)! + 1 º 0 (modp)
PHẦN II: 
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
1. Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT
Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho M 45
Giải
	Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 
để M 45 Û M 5 và 9
	Xét M 5 Û b Î {0 ; 5}
	Nếu b = 0 ta có số M 9 Û a + 5 + 6 + 0 M 9
 Þ a + 11 M 9 
 Þ a = 7
	Nếu b = 5 ta có số M 9 Û a + 5 + 6 + 0 M 9
 Þ a + 16 M 9 
 Þ a = 2
Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560
	a = 2 và b = 5 ta có số 2560
Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh răng số đó chia hết cho 9.
Giải
	Gọi số đã cho là a
Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư 
Þ 5a - a M 9 Þ 4a M 9 mà (4 ; 9) = 1
Þ a M 9 (Đpcm)
Ví dụ 3: CMR số M 81
Giải
Ta thấy: 111111111 M 9
Có = 111111111(1072 + 1063 +  + 109 + 1)
Mà tổng 1072 + 1063 +  + 109 + 1 có tổng các chữ số bằng 9 M 9
Þ 1072 + 1063 +  + 109 + 1 M 9 
Vậy: M 81 (Đpcm)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho 
a. M 4 và 9
b. M 17
Bài 2: Cho số N = CMR
	a. N M 4 Û (a + 2b) M 4
	b. N M 16 Û (a + 2b + 4c + 8d) M 16 với b chẵn
	c. N M 29 Û (d + 2c + 9b + 27a) M 29
Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.
Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A = 1920217980. Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?
Bài 6: Chứng tỏ rằng số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: 	a. x = 	và y = 2
	 	 x =	và y = 6
	b. = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)M17 Û x = 2
Bài 2: 	a. NM4 Û M4 Û 10b + aM4 Û 8b + (2b + a) M4
 Þ a + 2bM4
	b. NM16 Û 1000d + 100c + 10b + aM16
 	 Û (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) M16
	 Þ a + 2b + 4c + 8dM16 với b chẵn
	c. Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - M29
 mà (1000, 29) =1
 M29
 Þ (d + 3c + 9b + 27a) M29
Bài 3: Gọi là số có 2 chữ số
 Theo bài ra ta có:
= 10a + b = 2ab (1)
 M2 Þ b Î{0; 2; 4; 6; 8} 
 Thay vào (1) a = 3; b = 6
Bài 4: Có 1980 = 22.32.5.11 
	Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 M 4 và 5
	Þ AM 4 và 5
Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3++7).10+8 = 279
Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1++9).6+0 = 279
Có 279 + 279 = 558 M 9 Þ A M 9
 279 - 279 = 0 M 11 Þ A M 11
Bài 5: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2. 
Có 46 số tự nhiên liên tiếp Þ có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ Þ tổng 23 cặp không chia hết cho 2. Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46.
Bài 6: Có =
Mà = 3. 
Þ = (Đpcm)
2. Phương pháp 2: 
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT
* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.
CMR: Gọi n là số nguyên liên tiếp
	m + 1; m + 2;  m + n với m Î Z, n Î N*
Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta được tập hợp số dư là: {0; 1; 2;  n - 1}
* Nếu tồn tại 1 số dư là 0: giả sử m + i = nqi ; i = 
	Þ m + i M n
* Nếu không tồn tại số dư là 0 Þ không có số nguyên nào trong dãy chia hết cho n Þ phải có ít nhất 2 số dư trùng nhau.
Giả sử: 
	 Þ i - j = n(qi - qj) M n Þ i - j M n
mà ½i - j½< n Þ i - j = 0 Þ i = j
	 Þ m + i = m + j
Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n
Ví dụ 1: CMR: a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
 	 b. Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
Giải
a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn
Þ Số chẵn đó chia hết cho 2.
Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b. Trong 3 sô nguyên liên tiếp bao giơ cũng có 1 số chia hết cho 3.
Þ Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1.
Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.
Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
Giải
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n - 1 , n , n+1
Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3
 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9
 = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n
Ta thấy (n - 1)n (n + 1) M 3 (CM Ví dụ 1)
Þ 3(n - 1)n (n + 1) M 9
mà 
Þ A M 9 (ĐPCM)
Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n M 3 84 với " n chẵn, n³4
Giải
Vì n chẵn, n³4 ta đặt n = 2k, k³2
Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k
 = đặt 16k(k3 - 2k2 - k +  ...  thöùc môùi coù chöùa A
Töø x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1(1). Maët khaùc (x – y)2 0 x2 – 2xy + y2 0 (2)
Coäng (1) vôùi (2) veá theo veá, ta coù:
2(x2 + y2) 1 x2 + y2 min A = x = y = 
2)Ví duï 2: Cho x + y + z = 3
a) Tìm GTNN cuûa A = x2 + y2 + z2
b) Tìm GTLN cuûa B = xy + yz + xz
Töø Cho x + y + z = 3 Cho (x + y + z)2 = 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1)
Ta coù x + y + z- xy – yz – zx = .2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
= 0 x + y + z xy+ yz + zx (2)
Ñaúng thöùc xaåy ra khi x = y = z 
a) Töø (1) vaø (2) suy ra 
9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2)
 x2 + y2 + z2 3 min A = 3 x = y = z = 1
b) Töø (1) vaø (2) suy ra 
 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx)
 xy+ yz + zx 3 max B = 3 x = y = z = 1
3) Ví duï 3: 
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x + y + z = 1
V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã: x+ y + z 
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho x+y ; y+z ; x+z ta cã 
 DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z = S 
VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ khi x = y = z = 
4) Ví duï 4: Cho xy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 
¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z)
Ta cã (1)
¸p dông B§T Bunhiacèpski cho () vµ (1,1,1)
 Ta cã 
 Tõ (1) vµ (2) 
VËy cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi x= y = z = 
D. Moät soá chuù yù:
1) Khi tìm GTNN, GTLN ta coù theå ñoåi bieán
Ví duï : Khi tìm GTNN cuûa A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta ñaët x – 2 = y thì 
A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2 2
2) Khi tìm cöïc trò cuûa moät bieåu thöùc, ta coù theå thay ñk cuûa bieåu thöùc naøy ñaït cöïc trò bôûi ñk töông ñöông laø bieåu thöùc khaùc ñaït cöïc trò: 
+) -A lôùn nhaát A nhoû nhaát ; +) lôùn nhaát B nhoû nhaát (vôùi B > 0)
+) C lôùn nhaát C2 lôùn nhaát
Ví duï: Tìm cöïc trò cuûa A = 
a) Ta coù A > 0 neân A nhoû nhaát khi lôùn nhaát, ta coù
 min = 1 x = 0 max A = 1 x = 0
b) Ta coù (x2 – 1)2 0 x4 - 2x2 + 1 0 x4 + 1 2x2. (Daáu baèng xaåy ra khi x2 = 1)
Vì x4 + 1 > 0 1 max = 2 x2 = 1 
 min A = x = 1
3) Nhieàu khi ta tìm cöïc trò cuûa bieåu thöùc trong caùc khoaûng cuûa bieán, sau ñoù so saùmh caùc cöïc trò ñoù ñeå ñeå tìm GTNN, GTLN trong toaøn boä taäp xaùc ñònh cuûa bieán
Ví duï: Tìm GTLN cuûa B = 
a) xeùt x + y 4
- Neáu x = 0 thì A = 0 - Neáu thì A 3
- Neáu y = 4 thì x = 0 vaø A = 4
b) xeùt x + y 6 thì A 0
So saùnh caùc giaù trò treân cuûa A, ta thaáy max A = 4 x = 0; y = 4
4) Söû duïng caùc haèng baát ñaúng thöùc
Ví duï: Tìm GTLN cuûa A = bieát x2 + y2 = 52
Aùp duïng Bñt Bunhiacoápxki: (a x + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) cho caùc soá 2, x , 3, y ta coù:
(2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 26
Max A = 26 y = x2 + y2 = x2 + = 52 13x2 = 52.4 x = 4
Vaäy: Ma x A = 26 x = 4; y = 6 hoaëc x = - 4; y = - 6
5) Hai soá coù toång khoâng ñoåi thì tích cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng nhau
Hai soá coù tích khoâng ñoåi thì toång cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng nhau
a)Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)
Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khoâng ñoåi neân tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lôùn nhaát khi vaø chæ khi x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = 0 x = 5 hoaëc x = - 2
Khi ñoù A = 11. 11 = 121 Max A = 121 x = 5 hoaëc x = - 2
b) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa B = 
Ta coù: B = 
Vì caùc soá x vaø coù tích x. = 36 khoâng ñoåi neân nhoû nhaát x = x = 6
 A = nhoû nhaát laø min A = 25 x = 6
6)Trong khi tìm cöïc trò chæ caàn chæ ra raèng toàn taïi moät giaù trò cuûa bieán ñeå xaåy ra ñaúng thöùc chöù khoâng caàn chæ ra moïi giaù trò ñeå xaåy ra ñaúng thöùc
Ví duï: Tìm GTNN cuûa A = 
Ta thaáy 11m taän cuøng baèng 1, 5n taän cuøng baèng 5
Neáu 11m > 5n thì A taän cuøng baèng 6, neáu 11m < 5n thì A taän cuøng baèng 4
khi m = 2; n = 3 thÌ A = = 4 min A = 4, chaúng haïn khi m = 2, n = 3
CHUYEÂN ÑEÀ 20 – PHÖÔNG TRÌNH NGHIEÄM NGUYEÂN
¯ - PHÖÔNG PHAÙP 1: Phöông phaùp ñöa veà daïng toång
 	µ Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình coù caùc bieåu thöùc chöùa aån vieát ñöôïc döôùi daïng toång caùc bình phöông.
	- Bieán ñoåi phöông trình veà daïng moät veá laø moät toång cuûa caùc bình phöông caùc bieåu thöùc chöùa aån; veá coøn laïi laø toång bình phöông cuûa caùc soá nguyeân (soá soá haïng cuûa hai veá baèng nhau).	
Caùc ví duï minh hoaï:
- Ví duï 1: Tìm thoaû maõn: (1)
 (II)
(1) 
	Töø (I) ta coù: Töông töï töø (II) ta coù:
 Vaäy 
 Ví duï 2: Tìm thoaû maõn: (2)
 (2) 
 Vaäy 
Ví duï 3: Tìm thoaû maõn: (1)
 (1) (Vì )
Ví duï 4: Tìm thoaû maõn: (2)
	Vaäy: 
¯ - PHÖÔNG PHAÙP 2: Phöông phaùp cöïc haïn
 	µ Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình ñoái xöùng 
	- Vì phöông trình ñoái xöùng neân coù vai troø bình ñaúng nhö nhau. Do ñoù; ta giaû thieát ; tìm ñieàu kieän cuûa caùc nghieäm; loaïi tröø daàn caùc aån ñeå coù phöông trình ñôn giaûn. Giaûi phöông trình; duøng pheùp hoaùn vò ñeå suy ra nghieäm.
	X Ta thöôøng giaû thieát 
{Caùc ví duï minh hoaï:
 Ví duï 1: Tìm thoaû maõn: (1)
w Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi:
	Ta thaáy ñaây laø phöông trình ñoái xöùng.
Giaû söû . Khi ñoù:
	(1) (Vì )
* Neáu: (voâ lí)
* Neáu: 
* Neáu: (voâ lí)
	Vaäy: laø hoaùn vò cuûa 
Ví duï 2: Tìm thoaû maõn: (2)
w Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi:
	Ñaây laø phöông trình ñoái xöùng.
	Giaû söû . Khi ñoù:
	(2) 
 Vôùi: 
t.Neáu: (voâ lí)
t.Neáu: 
Vaäy: laø hoaùn vò cuûa 
¯ - PHÖÔNG PHAÙP 3: Phöông phaùp söû duïng tính chaát chia heát
	{Caùc ví duï minh hoaï:
Ví duï 1: Tìm ñeå: nhaän giaù trò nguyeân
	Ta coù: . Khi ñoù:
	Ñeå A nhận giaù trò nguyeân thì nhaän giaù trò nguyeân.
	 Vì : 
	Vaäy ñeå A nhaän giaù trò nguyeân thì: hoaëc 
Ví duï 2: Tìm thoaû maõn: 
 (2) 
 Vôùi: khoâng phaûi laø ngieäm cuûa phöông trình. Neân:
	. 
	Phöông trình coù nghieäm nguyeân 
 Ví duï 3: Tìm thoaû maõn: (3)
	Ta coù:
	(3). laø soá leû laø hai soá leû lieân tieáp laø caùc luyõ thöøa cuûa 3, neân:
 § Vôùi: 
 § Vôùi: Töø ( voâ lí)	
	Phöông trình coù nghieäm nguyeân: 
¯ - PHÖÔNG PHAÙP 4: Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc
 	µ Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình maø hai veá laø nhöõng ña thöùc coù tính bieán thieân khaùc nhau.
	- AÙp duïng caùc baát ñaúng thöùc thöôøng gaëp:
	*Baát ñaúng thöùc Coâ – si: 
	Cho n soá khoâng aâm: . Khi ñoù: 
	. Daáu “=” xaûy ra 
	* Baát ñaúng thöùc Bunhiacoâpxki: 
	Cho 2n soá thöïc: vaø. Khi ñoù:
	.
	Daáu “=” xaûy ra .
	*Baát ñaúng thöùcgiaù trò tuyeát ñoái:
	{Caùc ví duï minh hoaï:
Ví duï 1: Tìm thoaû: (1) 
	AÙp duïng BÑT Coâ – si. Ta coù: . 
	Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 
 Ví duï 2: Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: (2)
 (Toaùn Tuoåi thô 2)
	Theo Bunhiacoâpxki,ta coù:
	Daáu “=” xaûy ra 
	Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 
 Ví duï 3: Tìm taát caû caùc soá nguyeân thoaû maõn: 
 (3)
w Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi:
	Ta nhaän thaáy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 vaø 
	Ta coù:(3). 
	Maø 
	Do ñoù: . 
 Vôùi (voâ lí). Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 
1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n: 
 V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn
 (*) Mµ 
 C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ 
PHÖÔNG PHAÙP 5: Phöông phaùp löïa choïn 
 Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy ñöôïc söû duïng vôùi caùc phöông trình maø ta coù theå nhaåm (phaùt hieän deå daøng) ñöôïc moät vaøi giaù trò nghieäm
	- Treân cô sôû caùc giaù trò nghieäm ñaõ bieát. AÙp duïng caùc tính chaát nhö chia heát; soá dö; soá chính phöông; chöõ soá taän cuøng .. ta chöùng toû raèng vôùi caùc giaù trò khaùc phöông trình voâ nghieäm
 Caùc ví duï minh hoaï:
Ví duï 1: Tìm thoaû maõn: 
w Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi:
	Ta thaáy vôùi thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng. Ta caàn chöùng minh phöông trình voâ nghieäm vôùi 
	+ Vôùi thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng 
	+ Vôùi . Khi ñoù:
 (*)
	Vì laø hai soá nguyeân lieân tieáp neân khoâng coù giaù trò naøo cuûa y thoaû (*)
	Vaäy laø nghieäm cuûa phöông trình.
Ví duï 2: Tìm thoaû: (2) 
 (Taïp chí Toaùn hoïc vaø tuoåi treû )
	Goïi b laø chöõ soá taän cuøng cuûa x ( Vôùi . Khi ñoù: coù chöõ soá taän cuøng laø: 1, 5 hoaëc 9. (*)
	Maët khaùc: laø luyõ thöøa baäc leû cuûa 3 neân coù taän cuøng laø 3 hoaëc 7. (**)
	Töø (*) vaø (**) suy ra phöông trình voâ nghieäm.
Ví duï 3: Tìm thoaû maõn: (3)
	(3) 
	 Do ñoù: 
Phöông trình coù nghieäm nguyeân: 
 PHÖÔNG PHAÙP 6: Phöông phaùp luøi voâ haïn (xuoáng thang)
 Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi nhöõng phöông trình coù (n – 1) aån maø heä soá coù öôùc chung khaùc 1
	- Döïa vaøo tính chaát chia heát ta bieåu dieãn aån theo aån phuï nhaèm “haï” (giaûm bôùt) haèng soá töï do, ñeå coù ñöôïc phöông trình ñôn giaûn hôn.
	- Söû duïng linh hoaït caùc phöông phaùp ñeå giaûi phöông trình ñoù. 
Caùc ví duï minh hoaï:
Ví duï 1: Giaûi phöông trình: (1) 
w Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi:
	Ta thaáy maø neân
	Ta coù: (1)
 Khi ñoù: (1). 
	.
	* Tieáp tuïc söï bieåu dieãn treân vaø neáu goïi laø nghieäm cuûa (1) vaø thì vaø . Thöïc hieän thöû choïn ta ñöôïc: 
	Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 
c¸c bµi tËp KH¸C
1/Dïng ®Þnh nghÜa 
 1) Cho abc = 1 vµ . . Chøng minh r»ngb2+c2> ab+bc+ac
Gi¶i
Ta cã hiÖu: 
 b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac
= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +
 =(-b- c)2 +>0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn a >0 )
VËy : b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh
2) Chøng minh r»ng 
 a) 
 b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã : 
 c) 
 Gi¶i :
 a) XÐt hiÖu :
 H = = 
 H0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
 b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt 
 H = 
 H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
 c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt
 H = 
 H 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
Ii / Dïng biÕn ®æi t­¬ng®¬ng
 1) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng : 
 Gi¶i :
Ta cã (v× xy = 1)
Do ®ã B§T cÇn chøng minh t­¬ng®­¬ngvíi
B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
2) Cho xy 1 .Chøng minh r»ng : 
 Gi¶i :
Ta cã 
B§T cuèi nµy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
Iii / dïng bÊt ®¼ng thøc phô
 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1
 Chøng minh r»ng 
 Gi¶i :
 ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c)
 Ta cã 
 (v× a+b+c =1 ) (®pcm)
2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d­¬ng
 Chøng minh r»ng (1)
 Gi¶i :
 (1) 
 ¸p dông B§T phô Víi x,y > 0
 Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng
 VËy (®pcm)
Iv / dïng ph­¬ngph¸p b¾c cÇu
 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng :
 Gi¶i :
 Do a <1 <1 vµ b <1 Nªn 
 Hay (1)
 MÆt kh¸c 0 <a,b <1 ; 
 VËy 
 T­¬ngtù ta cã : 
 (®pcm)
2) So s¸nh 31 vµ 17
Gi¶i :
 Ta thÊy < 
 MÆt kh¸c 
 Vëy 31 < 17 (®pcm)
V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè
vÝ dô 4: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú, chøng minh r»ng: 
Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
 ta cã ac + bd 
 mµ