Chuyên đề bồi dưỡng môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề Phương trình

PHƯƠNG TRÌNH 
A. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 
 Phần này đề cập đến các phương pháp giải các phương trình có bậc nhỏ hơn 5 
I. Phương trình bậc nhất 
Dạng tổng quát : ax b c+ = 
Biện luận : 
· 0a ¹ : phương trình có nghiệm duy nhất bx
a
= - 
· 0a = : phương trình có dạng 0x b= - 
0b ¹ : phương trình vô nghiệm 
0b = : phương trình có vô số nghiệm 
II. Phương trình bậc hai 
Dạng tổng quát : ( )2 0 0ax bx c a+ + = ¹ (1) 
Biện luận : Ta xét 2 4b acD = - 
· 0D < : phương trình vô nghiệm. 
· 0D = : phương trình có nghiệm kép : 1 2 2
bx x
a
= = - 
· 0D > : phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1 2
bx
a
- + D
= , 2 2
bx
a
- - D
= 
Ví dụ. Chứng minh rằng phương trình ( )2 0x a b c x ab bc ca+ + + + + + = vô nghiệm với 
, ,a b c là 3 cạnh của một tam giác . 
Giải. 
Ta có ( ) ( ) ( )2 2 2 24 2a b c ab bc ca a b c ab bc caD = + + - + + = + + - + + 
Mà 0D < do , ,a b c là ba cạnh tam giác ( xem phần bất đẳng thức hình học) 
Định lý Viet và một số ứng dụng 
Giả sử 0D ³ . Gọi 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình (1) thì : 
1 2
1 2
 .
bS
a
cP
a
x x
x x
-ì = =ïï
í
ï = =
ïỵ
+
Bằng định lý Viet chúng ta có thể xét dấu của các nghiệm như sau 
- Phương trình có hai nghiệm dương 0Û D ³ và 0P > và 0S > 
- Phương trình có hai nghiệm trái dấu 0Û D ³ và 0P < 
- Phương trình có hai nghiệm âm 0Û D ³ và 0P > và 0S < 
Thí dụ . Tìm m sao cho phương trình ( )2 2 2 6 1 0x m x m- + + + = (*) có hai nghiệm không 
nhỏ hơn 2 
Giải 
Đặt 2t x= - thì phương trình đã cho trở thành 
 2 2 2 3 0t mt m- + - = (**) 
Phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 Û phương trình (**) có hai nghiệm 
không âm 
 ' 0 
 0
0
S
P
D ³ì
ïÛ ³í
ï ³ỵ
2 2 3 0
 2 0
 2 3 0
mm
m
m
- + ³ì
ïÛ ³í
ï - ³ỵ
 3
2
mÛ ³ 
Vậy 3
2
m ³ thì phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 
III. Phương trình bậc ba 
Dạng tổûng quát : ( )3 2 0 0ax bx cx d a+ + + = ¹ 
Ta đưa về dạng : 3 2 0x ax bx c+ + + = (2) 
Đặt 
3
ax y= - thì phương trình (2) được viết lại dưới dạng 3 0y py q- - = (2’) trong đó 
2
3
ap b= - và 
32
27 3
abaq c-= + - . Công thức nghiệm của phương trình (2’) là : 
y = 3
32
3
32
27422742
pqqpqq +--+++- được gọi là công thức Cardano , lấy tên của nhà 
toán học Italia. Cardan theo học trưịng đai học Pavie, rồi đại học Padoue và nhận bằng tốt 
nghiệp Y khoa năm 1526 
Cardan viết khá nhiều về Tốn, cũng như một số ngành khác. Ơng đặt vấn đề giải phương trình 
bậc ba cụ thể là 3 6 20x x+ = . Bây giờ ta nĩi tổng quát là 3x px q+ = . Phương pháp của 
Cardan như sau: thay x u v= - và đặt ,u v như thế nào đĩ để tích 1
3
uv = ( hệ số của x trong 
phương trình bậc ba đang khảo sát ). Nghĩa là 2 uv= . Từ phương trình 3 6 20x x+ = ta cĩ 
( )3 3 3( ) 3 20u v uv u v u v- + - = - = . Khử v từ 2 uv= và từ 3 3 20u v- = ta cĩ 
6 3 320 8 108 10u u u= + Þ = + . Từ x u v= - và 3 3 20u v- = , ta cĩ 
3 3108 10 108 10x = + - - . 
Cardan cho một cơng thức tương đương đối với phương trình 3x px q+ = là: 
2 3 2 3
3 3
2 4 27 2 4 27
q qq p q px = - - + + + - - + 
 Các dạng phương trình bậc ba thường gặp và phương pháp giải 
1. Giải phương trình khi biết một nghiệm của phương trình 
Giả sử ta biết được nghiệm 0x của phương trình (2) bằng cách đoán nghiệm ( thường là 
các nghiệm nguyên đơn giản từ –3 đến +3 ) tức là 3 20 0 0 0ax bx cx d+ + + = . Khi đó phương 
trình (2) 3 2 3 20 0 0ax bx cx d ax bx cx dÛ + + + = + + + 
( ) ( )( )
( )
2 2
0 0 0 0
0
2 2
0 0 0
0
0
x x ax ax b x ax bx c
x x
ax ax b x ax bx c
Û - + + + + + =
=é
Û ê
+ + + + + =ë
Xét ( ) ( )2 20 0 04ax b a ax bx cD = + - + + 
 i) Nếu 0D < thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất 0x x= 
 ii) Nếu 0D ³ thì phương trình (2) có các nghiệm 
0
0( )
2
x x
ax bx
a
=é
ê
- + ± Dê =êë
Thí dụ. Giải phương trình 3 2 3 10 0x x x- + - = 
Giải 
Nhận thấy 2x = là 1 nghiệm của phương trình 
Phương trình ( )( )22 5 0 2x x x x- + + = Û = 
Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm 2x = 
2. Phương trình bậc ba đối xứng 
Dạng tổng quát ( )3 2 0 0ax bx bx a a+ + + = ¹ 
Phương trình bậc ba đối xứng luôn nhận 1x = - làm nghiệm 
Thật vậy, ta có phương trình ( ) ( )( )21 0x ax b a x aÛ + + - + = 
( )2
1
0
x
ax b a x a
= -é
Û ê + - + =ë
Mở rộng 
Một số tính chất của phương trình hệ số đối xứng (PT HSĐX) 
Dạng tổng quát của PT HSĐX ( )11 1 0 0 1 1... 0 , ,...n nn n n na x a x a x a a a a a-- -+ + + + = = = 
Tính chất 1. PT HSĐX nếu có nghiệm 0x thì 0 0x ¹ và 
0
1
x
 cũng là nghiệm 
Tính chất 2. PT HSĐX bậc lẻ ( 2 1n k= + ) nhận 1x = - là nghiệm 
Tính chất 3. Nếu ( )f x là đa thức bậc lẻ có hệ số đối xứng thì ( ) ( ) ( )1f x x g x= + , trong đó 
( )g x là đa thức bậc chẵn có hệ số đối xứng 
Thật vậy, ta xét đa thứ c bậc 5 làm thí dụ 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )5 4 3 2 4 3 21ax bx cx cx bx a x ax b a x c a b x b a x a+ + + + + = + + - + + - + - + 
Vậy việc giải một phương trình có hệ số đối xứng bậc n lẻ tương ứng với việc giải một 
phương trình có hệ số đối xứng bậc 1n - chẵn 
3. Phương trình bậc ba hồi quy 
Dạng tổng quát ( )3 2 3 30 , 0,ax bx cx d a d ac db+ + + = ¹ = 
q Từ điều kiện ta thấy nếu 0c = thì 0b = Þ phương trình (2b) có nghiệm 3 dx
a
-
= 
q Nếu 0c ¹ thì 0b ¹ , điều kiện 
3d c
a b
ỉ ưÛ = ç ÷
è ø
. 
Đặt c t
b
= - thì c bt= - và 3d at= - 
khi đó phương trình trở thành 3 2 3 0ax bx btx at+ - - = 
( ) ( )
( )
2 2
2 2
0
0
x t ax at b x at
x t
ax at b x at
é ùÛ - + + + =ë û
=é
Û ê + + + =ë
Vậy cx
b
= - là 1 nghiệm của phương trình . Nếu ( )2 24 0at b aD = + - ³ thì phương trình có 
thêm các nghiệm là ( )
2
at bx
a
- + ± D
= 
Thí dụ. Giải phương trình 3 28 2 1 0x x x- - + = 
Đáp số. 1
2
x = - 
IV. Phương trình bậc bốn 
Dạng tổng quát ( )4 3 2 0 0at bt ct dt e a+ + + + = ¹ 
Ta đưa về dạng 4 3 2 0t at bt ct d+ + + + = (3) 
Đặt 
4
at x= - thì phương trình (3) được đưa về dạng 4 2x px qx r= + + (3’) trong đó 
( )
2
3
4 2
3
8
1
8 2
1 3 16 64 256
256
ap b
aq ab c
r a a b ac d
ì
= -ï
ï
ï = - + -í
ï
ï = - + -ï
ỵ
Phương trình (3’) ( ) ( ) ( )4 2 2 2 22 2 x x p x qx r Ra a a a a+ + = + + + + Ỵ 
( ) ( ) ( )22 2 22x p x qx ra a aÛ + = + + + + (3*) 
Ta tìm a thỏa hệ thức ( ) ( )2 24 2q p ra a= + + để viết vế phải thành 
( )2p a+
2
2( 2 )
qx
p a
é ù
+ê ú+ë û
 Khi đó ta được ( ) ( ) ( )
2
22 2
2 2
qx p x
p
a a
a
é ù
+ = + +ê ú+ë û
 (3**) 
§ Nếu 2 0p a+ = thì phương trình (3*) ( )22 2x ra aÛ + = + (Bạn đọc tự biện luận tiếp) 
§ Nếu 2 0p a+ < thì phương trình (3**) vô nghiệm ( do VT ³ 0 và VP < 0) 
§ Nếu 2 0p a+ > thì phương trình (3**) 
( )
2 2
2 2
qx p x
p
a a
a
é ù
Û = ± + + -ê ú+ë û
 Đây là phương trình bậc 2 theo x , các bạn tự biện luận 
Thí dụ. Giải phương trình 4 22 8 3 0x x x- - - = (*) 
Giải. 
Phương trình (*) 4 22 8 3x x xÛ = + + 
Ta chọn a thỏa ( )( )264 4 2 2 3a a= + + . Dễ dàng nhận thấy a = 1 thoả 
Phương trình (*) 4 2 22 1 4 8 4x x x xÛ + + = + + ( cộng mỗi vế một lượng 22 1x + ) 
( ) ( )
( )
( )
2 22
2
2
1 4 1
1 2 1
1 2 1
x x
x x
x x
Û + = +
é + = +
Û ê
+ = - +êë
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là 1 5x = ± 
 Các dạng phương trình bậc bốn thường gặp và phương pháp giải 
1. Phương trình bậc bốn trùng phương: 
Dạng tổng quát ( )4 2 0 0ax bx c a+ + = ¹ 
Phương pháp giải rất đơn giản bằng cách đặt 2 0y x= ³ để đưa phương trình về dạng 
phương trình bậc hai 2 0ay by c+ + = và biện luận 
2. Phương trình bậc bốn đối xứng 
Dạng tổng quát ( )4 3 2 0 0ax bx cx bx a a+ + + + = ¹ 
Do 0a ¹ nên 0x = không là nghiệm của phương trình, ta có thể chia cả 2 vế của phương 
trình cho 2 0x ¹ và được 2 2 0
b aax bx c
x x
+ + + + = 
2
2
1 1 0a x b x c
x x
ỉ ư ỉ ưÛ + + + + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 (*) 
Đặt 1y x
x
= + ( điều kiện : 2y ³ ) 2 2 2 22 2
1 12 2y x x y
x x
Þ = + + Þ + = - 
Khi đó phương trình (*) trở thành 2 2 0ay by c a+ + - = và dễ dàng giải được 
Lưu ý 
Ngoài kiểu phương tình bậc bốn đối xứng như trên còn có phương trình bậc bốn có hệ số đối 
xứng lệch 4 3 2 0ax bx cx bx a+ + - + = ( 0a ¹ ) 
Phương pháp giải tương tự như trên, xin giành cho bạn đọc 
Thí dụ: Cho phương trình : 8x4 – 5x3 + mx2 + 5x + 8 = 0. 
a) Giải phương trình khi m = -16. 
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm . 
Đáp số: a) x1 = 1, x2 = -1, x3 = 
16
2815 + , x4 = 
16
2815 - 
b) m £ 
32
487- . 
3.Phương trình bậc bốn hồi quy : 
Dạng tổng quát : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , (a ¹ 0) trong đó ad2 = eb2 (*) 
q Nếu b = 0 thì d = 0 phương trình trở thành phương trình trùng phương : 
ax4 + cx2 + e = 0 và ta giải quyết được theo phương pháp 1. 
q Nếu b ¹ 0 thì d ¹ 0 , điều kiện ĩ 
a
e = 
2d
b
ỉ ư
ç ÷
è ø
Đặt 
b
d = t thì e = at2 và d = bt thì phương trình (*) trở thành: 
ax4 + bx3 + cx2 + btx + at2 = 0. (**) 
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình (**) nên ta chia 2 vế phương trình (**) cho 
x2 ¹ 0 ta được ax2 + bx + c + 
x
bt + 
x
ta
2
2
 = 0 
 ĩ a(x2 + 
x
t
2
2
) + b(x + 
x
t ) + c = 0 (***) 
 Đặt x + 
x
t = y (điều kiện : y2 ³ 4t) Þ x2 + 
x
t
2
2
 + 2t = y2 Þ x2 + 
x
t
2
2
 = y2 – 2t. 
 Phương trình (***) trở thành : ay2 + by + c – 2at = 0 là phương trình bậc hai theo y , ta sẽ 
tìm được nghiệm y Þ tìm được x. 
 Thí dụ : giải phương trình 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105 x + 50 = 0. 
 Hứơng dẫn: Đặt x - 
x
5 = y ta thu được phương trình : 2y2 –21y + 54 = 0 có nghiệm 
y1 = 6, y2 = 2
9 
o Với y1 = 6 thì ta thu được các nghiệm : x1 = 143 + , x2 = 143 - . 
o Với y2 = 
2
9 thì ta thu được : x3 = 
4
1619 + , x4 = 
4
1619 - . 
4.Phương trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c , (c > 0) : (3d) 
Phương pháp giải phương trình loại này là đặt x = y - 
2
ba + . Khi đó phương trình (3d) trở 
thành: 
4 4
2 2
a b a by y c- -ỉ ư ỉ ư+ + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. Đặt a = 
2
ba - để được phương trình gọn hơn : 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
24 4 2 2 2 22y y c y y y y ca a a a a ắ ù+ + - = Û + + - - + - =ë û 
 ( ) ( )
2 22 2 2 2
4 2 2 4
2 2 2
2 12 2 0 (*)
y y c
y y c
a a
a a
Û + - - =
Û + + - =
(*) là phương trình trùng phương theo y. 
Ta giải quyết tiếp bài toán theo phương pháp 1. 
Thí dụ : Giải phương trình ...  ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
h x y f x y f y x
g x y f x y f y x
= -ì
í = +ỵ
. Ta sẽ đưa hệ về dạng: 
( , ) 0
( , ) 0
h x y
g x y
=ì
í =ỵ
. Ở đĩ 
( , ) ( , )
( , ) ( , ).
h x y h y x
g x y g y x
= -ì
í =ỵ
Cĩ thể các bạn thấy rằng ( , )h x y khơng đối xứng hịan tịan (nửa đối xứng). Tuy nhiên ở 
đây cĩ thể chấp nhận được bởi lẽ hệ ta ở dạng ( , ) 0.h x y = (Nếu các bạn vẫn thấy ray rứt vì 
điều này thì các bạn hãy viết dưới dạng 2 ( , ) 0h x y = ,chẳng phải 2 ( , )h x y đối xứng đĩ sao 
.Chú ý thêm là tác giả chỉ muốn các bạn nắm bắt mối quan hệ của sự đối xứng và nửa đối 
xứng một cách rõ ràng hơn, chứ trong lúc giải bài tập các bạn chớ bình phương lên nhé. J) 
C. Phương trình đẳng cấp. 
( , ) (1)
( , ) (2)
f x y a
g x y b
=ì
í =ỵ
 mà ở đĩ : 
( , ) ( , )
( , ) ( , )
k
k
f tx ty t f x y
g tx ty t g x y
ì =
í
=ỵ
Ở đây điều kiện thứ hai các bạn cĩ thể hiểu một cách đơn giản là các đơn thức trong các 
hàm f và g là đồng bậc (bậc của đơn thức hai biến x,y là tổng các bậc của x và y). Nhận 
xét này sẽ giúp cho các bạn nhận biết được phương trình đẳng cấp một cách dễ dàng hơn. 
Cách giải tổng quát ở đây là đưa về phương trình: 
( , ) ( , ) 0bf x y ag x y- = ,ở dĩ ,a b khơng đồng thời bằng 0. 
Nếu a,b đồng thời bằng 0. Ta giải riêng các phương trình ( , ) 0; ( , ) 0f x y g x y= = và so 
sánh nghiệm. 
Cách giải tương tự như phương trình ( , ) ( , ) 0bf x y ag x y- = nên các bạn cĩ thể tham khảo 
bên dưới. 
Ta xét 2 trường hợp. 
) 0i x = là nghiệm của hệ phương trình. Điều này thì các bạn chỉ cần thế 0x = và giải 
phương trình một biến theo y. 
Trường hợp này ta thu được nghiệm 1( , ) (0, )...x y y= 
 )ii Trường hợp này ta sẽ tìm các nghiệm khác 1(0, )...y Chia hai vế cho 
kx trong đĩ k là 
bậc của f . Đặt xt
y
= . Ta đưa về phương trình theo ẩn t . Giải phương trình này ta tìm 
được tỉ số x
y
 .Sau đĩ thay x thành ty trong (1) . Giải phương trình này theo ẩn y, ta sẽ rút 
ra được các nghiệm của bài tốn 0( , )oty y . 
Ví dụ: 
2 2
2 2
3 2 2 7
6 3 8
x xy y
x xy y
ì - + =
í
+ - = -ỵ
Giải: 
Hệ đã cho tương đương với: 
2 2
2 2
24 16 16 56
7 42 21 56
x xy y
x xy y
ì - + =
í
+ - = -ỵ
2 2
2 2
24 16 16 56
31 26 5 0(*)
x xy y
x xy y
ì - + =
Û í
+ - =ỵ
Ta giải (*). 
2 231 26 5 0
(31 5 )( ) 0(**)
31 5 0(1)
0(2)
x xy y
x y x y
x y
x y
+ - =
Û - + =
- =é
Û ê + =ë
Từ đây ta cĩ thể dễ dàng giải được bằng cách thế vào hệ phương trình ban đầu 
II.Các phương pháp giải hệ khơng mẫu mực: 
 A.Dùng bất đẳng thức : 
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là ta sẽ thấy số phương trình trong hệ ít 
hơn số ẩn . 
Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương : 
( )( ) ( ) ( )33
3
1 1 1 1
x y z
x y z xyz
+ + =ìï
í
+ + + = +ïỵ
Giải: 
 1 ( )VT x y z xy yz zx xyz= + + + + + + + ³ ( ) ( )3233 31 3 3 1xyz xyz xyz xyz+ + + = + 
Suy ra dấu bằng xảy ra khi x y z= = =1 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : 
2 2
1 3 5 1 3 5
80
x x x y y y
x y x y
ì + + + + + = - + - + -ï
í
+ + + =ïỵ
Giải: Đk: 1; 5x y³ - ³ 
Giả sử 
6 
6
x y VT VP
x y VT VP
> - Þ >
< - Þ <
 Suy ra 6x y= - 
 Đến đây bạn đọc cĩ thể tự giải 
Ví dụ 3: Giải hệ : 
9 3 4 2
3 4 2 1
1 1 1
8 . 1
x y z
x y z
x y z
ì + + =ï + + +í
ï =ỵ
Giải: 
-Bài tĩan này cĩ số ẩn nhiều hơn số phương trình vì vậy ta sẽ sự dụng bất đẳng thức 
-Nhận xét : bậc của x,y,z khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho xuất hiện bậc giống hệ 
Ta cĩ: 
1 2 4 2
1 1 1 1
x y z
x x y z
= + +
+ + + + 
Áp dụng Cauchy 8 số: 
1
1x
=
+ ( ) ( ) ( )
2 4 2
8 2 4 281 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x x y y y y z z x y z
x x y y y y z z x y z
+ + + + + + + ³
+ + + + + + + + + + +
Hịan tịan tương tự : 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 2
8 3 3 2
3 4 1
8 3 4 1
1 8
1 1 1 1
1 8
1 1 1 1
x y z
y x y z
x y z
z x y z
³
+ + + +
³
+ + + +
Từ các bất đẳng thức thu được ta cĩ: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
24 32 16
9
83 4 2 24 32 16
9 3 4 2
1 1 1 8
1 1 1 1 1 1
8 1
x y z
x y z x y z
x y z
³
+ + + + + +
Þ £ 
dấu bằng xảy ra Û 1 1
1 1 1 9 8
x y z x y z
x y z
= = = Û = = =
+ + +
Ví dụ 4: giải hệ: 
4 2
2 2
697
81
3 4 4 0
x y
x y xy x y
ì + =ï
í
ï + + - - + =ỵ
Giải: 
-Ví dụ này chúng tơi muốn giới thiệu cơng cụ xác định miền giá trị của x,y nhờ 
điều kiện cĩ nghiệm của tam thức bậc hai 
-Xét phương trình bậc hai theo x: 
( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2
3 4 4 0
73 4 2 0 1 3 7 0 1
3
x x y y y
y y y y y
+ - + - + =
= - - - £ Û - - £ Û £ £ 
Tương tự xét phương trình bậc hai theo y thì ta cĩ 40
3
x£ £ 
Suy ra: 
4 2
4 2 4 7 697
3 3 81
x y ỉ ư ỉ ư+ £ + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
4
3
xÞ = và 7
3
y = .Tuy nhiên thế vào hệ thì bộ nghiệm này khơng thỏa 
Vì vậy hệ phương trình vơ nghiệm 
Ví dụ 5: Giải hệ: 
5 4 2
5 4 2
5 4 2
2 2
2 2
2 2
x x x y
y y y z
z z z x
ì - + =
ï
- + =í
ï - + =ỵ
Ý tưởng của bài tĩan này là ta phải đĩan nghiệm của hệ là 1x y z= = = ,sau đĩ chứng 
minh là 1x > hay 1x < đều vơ nghiệm 
Nếu 1x > ( )( )5 4 2 5 4 2 42 2 2 0 1 2 2z z z x z z z z z zÞ = - + > - + Þ > - + + 
 Do 4 2 2z z+ + luơn dương nên 1 z> 
 Tương tự 1 1y xÞ > Þ < Þ Vơ lí 
Tương tự 1x < Þ vơ lí.Vậy 1 1 1x y z= Þ = Þ = 
Bài tập luyện tập 
Giải các hệ: 
 1) 
2
2
2 4
x y z
xy z
+ + =ì
í
- =ỵ
 2)
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
2
1 2
1 2
1 2
x y z
y z x
z x y
ì = - +
ïï = - +í
ï = - +ïỵ
 3)
2
2
2
21 6 1988
21 6 1988
21 6 1988
y y
x
z z
y
x x
z
ì
+ =ï
ï
ï + =í
ï
ï
+ =ï
ỵ
 4)
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x y
x
y z
y
z x
z
ì
=ï +ï
ï
=í +ï
ï
=ï
+ỵ
 5)
2 2 2
2 2 2
3
9
x y z
x y z
y z x
ì + + =
ï
í
+ + =ï
ỵ
B.Đặt ẩn phụ: 
Đơi khi bài tĩan sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x,y,z,) nhưng chỉ sau một phép đặt 
( ), ( ), ( ),....a f x b f y c f z= = = 
Ví dụ 1:Giải hệ 
12
5
18
5
36
13
xy
x y
yz
y z
xz
x z
ì =ï +ï
ï =í +ï
ï
=ï
+ỵ
Hướng dẫn: Đặt 1 1 1, , .a b c
x y z
= = = 
Ví dụ 2: Giải hệ: 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) (3 1)
( ) (4 1)
( ) (5 1)
x y z x x y z
y x z y y x z
z x y z z x y
ì + = + +
ï + = + +í
ï + = + +ỵ
Nếu 0x = dễ dàng suy ra được: 0y z= = .Như vậy ( , , ) (0,0,0)x y z = là một nghiệm của 
hệ. 
Ta tìm các nghiệm khác ( )0,0,0 
Chia hai vế cho 2 2 2x y z ta thu được hệ tương đương: 
2
2
2
2
2
2
1 13
1 14
1 15
y z
yz x x
x z
xz y y
x y
xy z z
ìỉ ư+
= + +ïç ÷
ïè ø
ï
+ïỉ ư = + +íç ÷
è øï
ïỉ ư+ï = + +ç ÷ïè øỵ
Ta lại đặt 1 1 1; ;a b c
x y z
= = = ta nhận được: 
2 2
2 2
2 2
( ) 5(1)
( ) 3(2)
( ) 4(3)
a b c c
b c a a
a c b b
ì + = + +
ï + = + +í
ï + = + +ỵ
Lấy 
( )(2) (3) ( ) 2( ) 1 1
(1) (2) ( )(2( ) 1) 1
a b a b c
b c a b c
- Þ - + + + =
- Þ - + + + =
Từ đây suy ra a b b c- = - 2a c bÞ + = 
Thay vào (2) ta được 23 4 0b b- + = . 
Từ đây các bạn cĩ thể dễ dàng giải tiếp bài tốn. 
Ví dụ 3: Giải hệ 
3
3
(6 21 ) 1
( 6) 21
x y
x y
ì + =
í
- =ỵ
Nếu giải hệ với ẩn ( , )x y thì ở đây ta thật khĩ để thấy đwocj hướng giải. 
Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt 1 .x
z
= 
3
3
21 6
21 6
z y
y z
ì = +
í
= +ỵ
Đây là hệ đối xứng mà ta cĩ thể dễ dàng tìm ra đước hướng giải. J 
Sau đây là bài tập áp dụng dành cho bạn đọc: 
Bài tập luyện tập. 
Bài 1: Giải hệ: 
2 22 2 2 6
( 1) 4
x x y
xy xy x y
ì + + + =
í
+ + + =ỵ
Bài 2: Giải hệ: 
 3 3
3 3
3 3
3 3
( ) 12
( ) 12
( ) 12
( ) 12
x y z t
y z t x
z t x y
t x y z
ì + + =
ï + + =ï
í
+ + =ï
ï + + =ỵ
C.Tính các đại lượng chung 
Ý tưởng của phương pháp này là tính các đại lượng trong đĩ. 
Ví dụ 1:Giải hệ: 
2 2 4
2 3 6 (*)
3 5
xy y x
yz z y
xz z x
+ + + =ì
ï + + =í
ï + + =ỵ
( 1)( 2) 6
(*) ( 2)( 3) 12 ( 1)( 2)( 3) 24
( 3)( 1) 8
x y
y z x y z
z x
+ + =ì
ïÛ + + = Þ + + + = ±í
ï + + =ỵ
Từ đây các bạn cĩ thể cĩ thể giải tiếp một cách dễ dàng. 
Ví dụ 2:Giải hệ: 
 2 2
3 3
2(1)
3(2)
5(3)
9(4)
u v
ux vy
ux vy
ux vy
+ =ì
ï + =ï
í + =ï
ï + =ỵ
Giải: 
Nhân x y+ vào (3) 
3 3 2 2 5( )
9 3 5( )
ux vy ux y vxy x y
xy x y
Þ + + + = +
Þ + = +
 Nhân x y+ vào (2) 
 2( ) 3uy vx x yÞ + = + - 
 Nhân 2 2x y+ vào (2) 
 [ ]2 23( ) 9 ( ) 9 2( ) 3x y xy uy vx xy x y+ = + + = + + - 
Đặt ;a x y b xy= + = . 
Đến đây các bạn cĩ thễ dễ dàng giải tiếp J. 
Bài tập luyện tập 
Bài 1: Giải hệ 
2 2 2 2
2 2 2 2
50
24
0.
x y z t
x y z t
xz yt
x y z t
ì + + + =
ï - + - = -ï
í
=ï
ï - + + =ỵ
Bài 2:Giải hệ 
2
2
2
y xz b
z xy c
x yz a
ì - =
ï - =í
ï - =ỵ
 ( , ,a b c là những hằng số) 
Bài 3:Giải hệ 
2
2
2
( )
( )
( )
ax by x y
by cz y z
cz ax z x
ì + = -
ï + = -í
ï + = -ỵ
 ( , ,a b c là những hằng số) 
Bài 4:Giải hệ. 
3 2
3 2
3 2
( ) 2
( ) 30
( ) 16
x x y z
y y z x
z z x y
ì + - =
ï + - =í
ï + - =ỵ
D.Nhân liên hợp. 
Phương pháp này chủ yếu bỏ dâu căn thức đễ dễ tính tốn hay để xuất hiện những đại 
lượng cĩ thể đặt ẩn phụ. 
Ví dụ 1:Giải hệ: 
4
(1)
5 5 6
x y
x y
ì + =ï
í
+ + + =ïỵ
Giải: 
Ta cĩ: 
5 5 13
(1)
5 5 2
5 5 13
5 5 2
5 5
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
ì + + + + + =ïÛ í
+ - + + - =ïỵ
ì + + + + + =
ïÛ í + =ï + + + +ỵ
Đặt 
5
5
u x x
v y y
= + +
= + +
Ta suy ra: 
10
1 1 2
5
10
25
5 2.
u v
u v
u v
uv
u v x y
+ =ì
ï
í
+ =ïỵ
+ =ì
Þ í =ỵ
Þ = = Þ = =
Ví dụ 2: Giải hệ: 
53 2 4
42
53 2
42
y
y x
x
y x
ìỉ ư
- =ïç ÷+ïè ø
í
ỉ ự + =ç ÷ï +è øỵ
Giải: 
Từ hệ ta suy ra điều kiện: 
, 0x y > 
Hệ đã cho tương đương với: 
2 2
4 2 6
2
10 2 4
42 2
15 1 2
42
15 ( 2 )( 42 )
25 84 0
(3 )( 28 ) 0
3
28 0
y x
y x x y
y x x y
xy y x y x
y xy x
x y y x
x y
y x
ì + =ï
ï
í
ï = -
ï +ỵ
Þ = -
+
Þ = - +
Þ + - =
Þ - + =
=é
Þ ê + =ë
Trường hợp thứ hai ta loại do khơng thỏa điều kiện , 0x y > . 
Thay vào hệ ban đầu ta thu được nghiệm sau: 
 5 2 6 5 2 6( , ) ,
27 9
x y
ỉ ư+ +
= ç ÷ç ÷
è ø
Bài tập luyện tập 
Bài 1: Giải hệ 
6 1 5
1 6 5
x y
x y
ì + + + =ï
í
+ + + =ïỵ
Bài 2: Giải hệ 
1 5 2
( 1)( 1) 1
x y xy
x y
ì- + + + = -ï
í
- - =ïỵ
Bài 3: Giải hệ 
1 1
2 2
2 ( 1)( 1) 0
x yx x y y
y x x y
ì + + - = + + -ï
í
ï + + + + =ỵ
Kết thúc bài viết là phần bài tập tổng hợp các mục về hệ phương trình mà ta đã xem xét: 
III)Bài tập tổng hợp. 
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 
 a)
2 2 6.
5.
x y xy
xy x y
ì + =
í
+ + =ỵ
 b)
4 2 2 4
2 2
21
7
x x y y
x xy y
ì + + =
í
- + =ỵ
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 
2 2 8
( 1) ( 1) 12
x y x y
x x y y
ì + + + =
í
+ + + =ỵ
Bài 3:Giải hệ phương trình sau: 
3 2 2 32 2 0
2.
x y x x y xy y
x y
ì + + + + + =ï
í
= -ïỵ
Bài 4:Giải hệ phương trình sau: 
 3 3
6
126
x y
x y
- =ì
í - =ỵ
Bài 5:Giải hệ phương trình sau: 
2 2 2
2 1 2
x y a
xy a
ì + =
í
+ =ỵ