Chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 8 - Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

Chuyên đề tìm GTLN, GTNN
(Dành cho bồi dỡng HSG lớp 8)
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
 Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, ..., z) với x, y, ..., z thuộc miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x0, y0, ...z0) S mà ta có: P(x0, y0, ...z0) P(x, y, ..., z) hoặc P(x0, y0, ...z0) P(x, y, ..., z) thì ta nói P(x, y, ..., z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x0, y0, ...z0) trên miền S.
 P(x, y, ..., z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0, y0, ...z0) S còn gọi là P đạt cực đại tại (x0, y0, ...z0) hoặc Pmax tại (x0, y0, ...z0). Tơng tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x0, y0, ...z0) S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x0, y0, ...z0) hoặc Pmin tại (x0, y0, ...z0).
 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trên miền S.
 2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức
 Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là: 
 *) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:
 - Chứng tỏ rằng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S
 - Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
 *) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:
 - Chứng tỏ rằng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S
 - Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
 Chú ý rằng không đợc thiếu một bớc nào trong hai bớc trên.
Ví dụ: Cho biểu thức A = x2 + (x - 2)2 
Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A nh sau: 
Ta có x2 0 ; (x - 2)2 0 nên A 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng không?
Giải:
 Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ rằng A0 nhng cha chỉ ra đợc trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:
 x2 = 0 và (x - 2)2 = 0 .
 Lời giải đúng là:
 A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x + 4 
 = 2(x2 -2x - +1) + 2 = 2(x - 1)2 + 2
 Ta có: (x - 1)2 0 , x
 2(x - 1)2 + 2 2 x
 A 2 x
 Do đó A = 2 x = 1.
 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
 3. Kiến thức cần nhớ:
 Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
 a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức.
 b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a2 0, tổng quát: a2k 0 (k nguyên dơng)
 Xảy ra dấu đẳng thức a = 0
* -a2 0, tổng quát: -a2k 0 (k nguyên dơng)
 Xảy ra dấu đẳng thức a = 0
* . (Xảy ra dấu đẳng thức a = 0)
* . (Xảy ra dấu đẳng thức a = 0)
* (Xảy ra dấu đẳng thức ab 0)
* (Xảy ra dấu đẳng thức a b 0 hoặc a b 0)
* , a >0 và , a <0
* a,b (Xảy ra dấu đẳng thức a = b)
* (Xảy ra dấu đẳng thức a = b)
II - các biện pháp thực hiện
(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)
 Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồi hớng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng dạng toán đó. Sau đây là một số dạng cơ bản thờng gặp:
Dạng 1: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức là tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
 A(x) = x2- 4x+1
 Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
Hớng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi về dạng A(x)k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến và chỉ ra trờng hợp xảy ra đẳng thức
 Lời giải: A(x) = x2- 4x+1
 = x2- 2.2x+1
 = (x2- 2.2x+4)- 3
 = (x- 2)2- 3
Với mọi giá trị của x: (x - 2)2 0 nên ta có:
 A(x) = (x- 2)2- 3-3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2
 Đáp số: A(x)nhỏ nhất = - 3 với x=2
 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = -5x2- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
Hớng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đa B(x) về dạng B(x) k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức
Lời giải: B(x) = -5x2 – 4x+1
Với mọi giá trị của x: nên 
suy ra: B(x)= 
Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)= , khi x = 
Đáp số: B(x)lớn nhất = với x =
 Ví dụ 3: (Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax2 +bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
 Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hớng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến đổi sao cho P = a.A2(x) + k. Sau đó xét với từng trờng hợp a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải:
 	P = a.A2(x) + k
	 = a (x2 + x) + c
	 với 
 Do nên:
+Nếu a>0 thì do đó P k
+Nếu a<0 thì do đó P k
Vậy khi thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0)
hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a<0)
Dạng 2: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất,giá tri lớn nhất của đa thức bậc cao:
Ví dụ4:
	Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x2 + x + 1)2
Hớng dẫn giải:
(?) Ta nhận thấy A = (x2 + x + 1)2 0, nhng giá trị nhỏ nhất của A có phải bằng 0 hay không? Vì sao?
Trả lời : Mặc dù A 0 nhng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì: x2 + x +1 ≠ 0
Do đó Amin ó (x2 + x +1)min 
(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + x +1? và tìm giá trị nhỏ nhất của A?
Trả lời: Ta có x2 + x +1 	= 
Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 + x + 1 bằng với 
Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng với 
Ví dụ 5:
	Tìm giá trị nhỏ nhất của
x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9
Hớng dẫn giải:
Gợi ý: -Hãy viết biểu thức dới dạng A2(x) + B2(x) 0
 -Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bao nhiêu?
 Lời giải: x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9	 
 = x4 - 2.x2.3x + (3x)2 + x2 - 2x.3 +32 
 = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:
	x2–3x = 0	 x(x-3) = 0	 x = 0
	 ó 	 ó	 x = 3 ó x = 3
	x – 3 = 0	 x – 3 = 0	 x = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
 Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Dạng 3: bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = i x - 1i + ix - 3i
Hớng dẫn giải: 
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức.
 A Nếu A 0
iAi =	
	 - A Nếu A 0
 Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các khoảng nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải
 + Trong khoảng x < 1 thì ix - 2i = - (x -2) = 2 - x
	 ix - 5i = - (x - 5) = 5 - x
 A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x
Do x -4 do đó A = 7 - 2x >3
 + Trong khoảng 2 x 5 thì ix - 2i = x - 2
	 ix - 5i = - (x - 5) = 5 - x
 A = x - 2 + 5 - x = 3
 + Trong khoảng x > 5 thì 	ix - 2i = x - 2
	ix - 5i = x - 5
 A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x – 7 > 3
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 x 5
	Đáp số: Amin = 3 khi và chỉ khi 2 x 5
 Cách 2: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối.Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Lời giải: 	A = ix - 2i+= ix - 2i+ 
	Ta có: ix - 2i + i5 - xiix - 2 + 5 - xi = 3
	ix - 2i 0 
	A = 3 ó 	ó (x - 2) (5 - x) 0
	i5 - xi 0 
	ó 2 x 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 x 5
dạng 4: Bài toán Tìm gtnn, gtln của phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
 Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của 
Hớng dẫn giải:
Gợi ý: Sử dụng tính chất a b, ab >0 hoặc theo quy tắc so sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dơng.
Lời giải:
Xét M = = = 
Ta thấy (2x - 1)2 0 nên (2x - 1)2 + 4 4
Do đó: 
Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng khi 2x – 1 = 0 => x = 
Đáp số: Mlớn nhất= với x = 
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Hớng dẫn giải:
Ta có: B = = = 
Vì (x - 1)2 0 => (x + 1)2 + 3 3
=> => - 
 Vậy B nhỏ nhất bằng khi x – 1= 0 => x =1
Đáp số: Mnhỏ nhất = với x = 1
Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thờng xuyên lập luận rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất) khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)
 Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức 
Mẫu thức x2 - 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 khi x = 0
Nhng với x = 0 thì không phải là giá trị lớn nhất của phân thức
Chẳng hạn với x = 2 thì 
Nh vậy từ -3 < 1 không thể suy ra - 
Vậy từ a < b chỉ suy ra đợc khi a và b cùng dấu .
dạng 5:Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của phân thức có mẫu là bình phơng của nhị thức
Ví dụ 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Cách 1:
Gợi ý: Hãy viết tử thức dới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi biến bằng cách viết A dới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải: Ta có: x2 + x + 1 = (x2 + 2x + 1) - (x +1) + 1
	 = (x + 1)2 - (x + 1) + 1
 Do đó A = 
 Đặt khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 - y + y2	
Ta có: A = 1 - y + y2 = y2 – 2.y. + ()2 + 
	 = + 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi và chỉ khi:
	 x + 1 = 2
	 x = 1
	Đáp số: 	Anhỏ nhất = khi x = 1
Cách 2:
Gợi ý: Ta có thể viết A dới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:
 (vì )
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi x-1=0 x=1
Đáp số: Anhỏnhất= khi x=1
dạng 6: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng (hoặc )
Ví dụ 10: 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 (Với x thuộc tập hợp số thực)
Hớng dẫn giải:
Gợi ý: Từ M(x) = ta có:
M(x) = = 
 (?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho x2 + 2x + 3 đợc không? Vì sao?
Trả lời: Vì x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x+1)2 > 0 với mọi giá trị của x. nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x2 + 2x + 3 ta đợc
M(x) = 
 (?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 (?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của từ đó suy ra giá trị lớn nhất của M(x)
Trả lời: Vì (x+1)2 0 Với mọi x
Nên (x+1)2 + 2 2 với mọi x
Do đó 
Từ đó ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi x+1=0 hay x=-1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = khi và chỉ khi x=-1
Đáp số: M(x)Lớn nhất = với x = -1